Frequentare

STEFANO CAPPARELLI

THE PRINCIPAL AIM OF THE COURSE IS TO GIVE TO THE STUDENTS THE BASIC NOTIONS OF LINEAR ALGEBRA (MATRICES, DETERMINANTS, SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS, VECTOR SPACES, LINEAR APPLICATIONS) AND OF ANALYTIC GEOMETRY IN DIMENSION TWO AND THREE (LINES AND PLANES, BRIEF INTRO TO CURVES AND SURFACES.) THE STUDENTS WILL BE EDUCATED TO TRANSLATE SIMPLE GEOMETRIC PROBLEMS IN ANALYTIC FORM AND TO INTERPRET THE ALGEBRAIC RESULTS.
AT THE END OF THE COURSE , THE SUCCESSFUL STUDENT
• WILL HAVE LEARNED THE METHODS, THE PROBLEMS, AND THE POSSIBLE APPLICATIONS OF GEOMETRY AND LINEAR ALGEBRA.
• WILL BE ABLE TO UNDERSTAND, TACKLE AND SOLVE SIMPLE PROBLEMS RELATED TO GEOMETRY AND LINEAR ALGEBRA..
• THROUGH WRITTEN ESSAYS AND POSSIBLE ORAL PRESENTATIONS HE/SHE WILL DEVELOP APPROPRIATE CAPACITY OF JUDGEMENT AND CRITICISM.
• AT THE SAME TIME HE/SHE WILL EXERCISE HIS/HER ABILITY TO PRESENT AND TRANSMIT WHAT HE/SHE HAS LEARNED.
• PERSONAL, INDIVIDUAL STUDY WILL TRAIN HIS/HER CAPACITY OF INDEPENDENT AND AUTONOMOUS LEARNING ACTIVITY.

Mastering the fundamentals of geometry and linear algebra both at the theoretical level and at the computational level.

The usual high-school matematics that includes elementary geometry, algebra (polynomials, equations, inequalities) and trigonometry

Lesson 1
Introduction the course. Motivations. How to study for university level mathematics.

Lesson 2
Sets. Operations on sets: union, intersection, complementary. Power set. Cartesiano product of two sets. Relations. Equivalence relations. Equivalence classes. Examples. The congruence relation.
Exercises
[Cap 1.1, 1.2, 1.3]

Lesson 3
Functions or applications, Injective, Surjective, Bijective maps. Domain, range, image, preimage, permutations. Composition of applications.
[Cap 1.4, 1.5]

Lesson 4
Identity map. Inverse function. Invertible functions. Binary operation. Induction Principle.
[Cap 1.6, 1.7]

Lesson 5
Real numbers. Complex numbers. Conjugate of a number. Absolute value. Operations on complex numbers. Trigonometric form
[Cap 1.8, 1.9, 1.10]

Lesson 6
DeMoivre Formula. n-th roots of a complex number. Vector space Rn. Operations on n-ple of real numbers. Linear combinatons of vectors in Rn. Linearly dependent and independent vectors and their properties. [Cap. 1.10, 2.1, 2.2]

Lesson 7
Linearly independent vectors. Vector subspace. Generators of a subspace. Basis of a subspace. Dimension of a subspace. Every vector in a subspace is a unique linear combination of vectors in a basis. Canonical basis of Rn.
[Cap. 2.3, 2.4]

Lesson 8
Prodotto scalare tra vettori di Rn. Matrici. Ordine di una matrice. Trasposta di una matrice. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Struttura di spazio vettoriale per matrici dello stesso ordine.
[Cap. 3.1, 3.2]

Lezione 9
Algoritmo di riduzione di Gauss (Gauss-Jordan). Forma a gradini di una matrice. Forma a gradini ridotta. Soluzione di un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari sulle equazioni di un sistema. Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Pivot.
[Cap. 3.3, 3.4]

Lezione 10
Equazioni lineari. Soluzione di un’equazione lineare. Sistemi lineari. Soluzione di un sistema. Sistemi equivalenti. Matrice del sistema, matrice completa del sistema. Matrici equivalenti per righe. Unicità della forma a gradini ridotta di una matrice. Rango per pivot di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Moltiplicazione righe per colonne di una matrice. Alcune proprietà della moltiplicazione: non commutatività. Matrici nilpotenti.
[Cap. 3.4, 3.5, 3.6]

Lezione 11
Invertibilità di una matrice. Definizione di matrice identità e di matrice inversa. Algoritmo di inversione. Inversa del prodotto di due matrici.
[Cap. 3.6]

Lezione 12
Proprietà delle matrici invertibili. Condizioni equivalenti all’invertibilità e dimostrazione.
[Cap. 3.6]

Lezione 13
Matrici elementari. Introduzione al concetto di determinante. Definizione mediante prodotti competenti e segno secondo la parità della permutazione.
[Cap. 3.6, 3.8]

Lezione 14
Cofattori o complementi algebrici. Primo e secondoTeorema di Laplace. Proprietà dei determinanti secondo le operazioni elementari. Legame tra invertibilità di una matrice e valore del determinante.
[Cap. 3.8]

Lezione 15
Teorema di Binet. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Matrice aggiunta. Formula per la matrice inversa. Regola di Cramer.
[Cap. 3.8]

Lezione 16
Invertibilità di una matrice e indipendenza delle sue righe e colonne. Spazio delle righe e spazio delle colonne di una matrice. Rango per righe e rango per colonne. Rango per minori. Teorema degli orlati. Coincidenza dei ranghi. Rango di una matrice.
[Cap. 3.8]

Lezione 17
Come trovare una base per lo spazio delle colonne di una matrice. Alcuni esercizi per la risoluzione di un sistema lineare in dipendenza da un parametro e mediante la regola di Cramer.
[Cap. 3.8, 3.9]

Lezione 18
Introduzione e motivazione per la diagonalizzazione di matrici. Definizioni. Autovettori e autovalori. Polinomio caratteristico e equazione caratteristica.
[Cap. 4.1, 4.2]

Lezione 19
Diagonalizzabilità in relazione a una base costituita da autovettori. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono indipendenti. Molteplicità algebrica e geometrica. Esempi di matrici non diagonalizzabili.
[Cap. 4.2]

Lezione 20
Criterio sufficiente per la diagonalizzazione (autovalori distinti). Criterio necessario e sufficiente. Matrici Simili. Proprietà delle matrici simili. Traccia e determinante di una matrice come coefficienti del polinomio caratteristico. Teorema di Cayley-Hamilton . Calcolo dell’inversa e delle potenze di una matrice quadrata mediante il teorema di Cayley-Hamilton.
[Cap. 4.3]

Lezione 21
Vettori liberi o geometrici come classi di equipollenza. Operazioni sui vettori liberi e struttura di spazio vettoriale su V2. Significato geometrico di dipendenza e indipendenza lineare. Due vettori di V2 sono dipendenti se e solo se sono paralleli. Tre o più vettori sono sempre dipendenti. Sistema di riferimento cartesiano nel piano. Rappresentazione cartesiana di vettori. Coordinate di un vettore libero. Prodotto scalare e suo significato geometrico.
[Cap. 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.7]

Lezione 22
Parallelismo tra vettori. Proiezione ortogonale e coefficiente di Fourier. Versore e normalizzazione di un vettore. Formula intrinseca per il prodotto scalare. Formula per il coseno dell’angolo tra due vettori. Punto medio di un segmento. Area di un triangolo.
[Cap. 5.6, 5.7, 5.8, 5.9]

Lezione 23
Equazione cartesiana di una retta. Varie forme dell’equazione. Parametri direttori e coseni direttori di una retta. Significato geometrico dei coseni direttori. Angolo tra due rette. Scelta di una orientazione su una retta.
[Cap. 5.10, 5.11, 5.14, 5.15]

Lezione 24
Intersezione e parallelismo di rette. Fasci propri e impropri di rette. Equazioni parametriche di una retta. Condizione di perpendicolarità. Forma ridotta di una retta. Coefficiente angolare. Espressione delle condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tramite il coefficiente angolare.
[Cap. 5.12, 5.13, 5.15]

Lezione 25
Distanza punto-retta. Cambiamenti di riferimento nel piano. Sistemi equiversi e contraversi. Matrice del cambiamento. Definizione di matrice ortogonale.
[Cap. 5.16, 5.17]

Lezione 26 Cambiamento di coordinate di punto. Matrici ortogonali. Esercizi. La circonferenza.
[5.17, 6.1]

Lezione 27 Ancora sulla circonfrenza. Introduzione alle coniche. Luoghi geometrici determinati da un fuoco F, una direttrice d, una eccentricità e. Caso dell’ellisse.
[6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5]

Lezione 28 Ancora su equazioni canoniche di ellisse, iperbole, parabola. Esercizi.
[6.4,6.5,6.6] [Capitolo 6 del libro di esercizi]

Lezione 29 Classificazione delle coniche. Coniche generali e coniche degeneri. Coniche generali a centro. Centro di simmetria e assi di simmetria. Asintoti di un’iperbole.
[7.1, 7.2, 7.4]


Lezione 30
Asse di simmetria di una parabola. Riduzione a forma canonica di coniche generali.
[7.3,7.5]

Lezione 31
Metodo degli invarianti. Ampliamento del piano e punti impropri. Equazioni in coordinate omogenee.
[7.6, 7.7]

Lezione 32
Coniche classificate mediante i punti all’infinito. Ricerca di punti doppi e coniche degeneri. Centro di una conica.
[7.7,7.8]

Lezione 33
Curve piane. Curve in coordinate polari. Equazioni delle coniche in coordinate polari. La cardioide. Equazioni parametriche di curve piane. Introduzione alla geometria dello spazio.
[Cap 8]

Lezione 34
Orientazione dello spazio: terne equiverse e contraverse. Definizione di prodotto vettoriale. Formula per il calcolo del prodotto vettoriale. Significato geometrico del modulo del prodotto vettoriale.
[Cap. 9.1, 9.2]



Lezione 35
Prodotto misto e suo significato geometrico. Equazione cartesiana di un piano. Parallelismo tra piani. Parametri di giacitura. Vettore normale al piano. Euqazioni cartesiane di una retta nello spazio.
[9.3, 9.4, 9.5, 9.6, 9.7]

Lezione 36
Formule per i parametri direttori di una retta nello spazio. Parallelismo di rette. Complanarità di rette, rette sghembe.
[9.8, 9.9, 9.10]

Lezione 37
Mutue posizioni di rette. Stelle e fasci di rette. Parallelismo retta-piano. Perpendicolarità retta –piano. Distanza punto-piano, tra due piani, tra rette parallele,
punto –retta , tra rette sghembe.
[9.11, 9.12, 9.14, 9.15, 9.18]

Lezione 38
Metodo dei punti mobili. Retta perpendicolare e incidente a due rette sghembe. Angoli: tra due rette, tra due piani, tra piano e retta.
[9.13, 9.16, 9.17]

Lezione 39
Sfera. Quadriche in forma canonica. Qualche esempio di quadrica degenere: cono e cilindro.
[9.19, 9.20]

Lezione 40
Introduzione alla nozione astratta di spazio vettoriale. Vari esempi. Equazioni cartesiane di sottospazi di Rn. Base e dimensione. Lemma dello scambio di Steinitz (con dimostrazione).
[10.1, 10.2, 10.3, 10.4]

Lezione 41
Operazioni sui sottospazi: somma e intersezione. Relazione di Grassmann (senza dim.). Somma diretta di sottospazi.
[10.5]

Lezione 42
Introduzione alle trasformazioni lineari. Definizione e vari esempi: rotazione, proiezione ortogonale, riflessione. Esempi di matrici corrispondenti.
Definizione di nucleo e immagine di una trasformazione. Il nucleo è un sottospazio.
[11.1,11.2,11.3]

Lezione 43
L’immagine di una applicazione lineare è un sottospazio. Calcolo del nucleo e dell’immagine e relazione con i sistemi lineari. Monomorfismi e nucleo nullo. Teorema delle dimensioni (con dimostrazione).
[11.3]

Lezione 44
Dimostrazione del Teorema delle dimensioni. Corollario. Coordinate di un vettore rispetto ad una base ordinata.
[11.3]

Lezione 45
Modello universale di spazio vettoriale. Matrici associate ad una trasformazione lineare.
[11.4, 11.5]

Lezione 46
Matrice della composizione di due applicazioni. Matrice di cambiamento di base. Legame tra due matrici di uno stesso endomorfismo. Definizione di determinante di un endomorfismo, traccia di un endomorfismo, autovettori e autovalori di un endomorfismo.
[11.5, 11.6, 11.7]

Lezione 47
Endomorfismi e Diagonalizzazione. Dimostrazione della relazione tra due matrici di uno stesso endomorfismo. Nozioni metriche. Procedimento di Gram-Schmidt.
[11.8, 12.1]

Lezione 48
Disuguaglianza di Schwarz. Complemento ortogonale di un sottospazio. Somma diretta di un sottospazio e del suo complemento ortogonale. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Sviluppo di Fourier.
[12.1]

Lezione 49
Teorema di approssimazione. Proprietà importanti delle matrici simmetriche. Diagonalizzazione ortogonale. Teorema degli Assi Principali.
[12.2]

Lezione 50
Forme quadratiche. Definizione di forme quadratiche definite positive, definite negative, semidefinite, indefinite. Loro caratterizzazione mediante il Teorema degli assi principali. Caratterizzazione mediante i minori principali (senza dim.).
[12.3]

Lezione 51
Metodo dei minimi quadrati. Equazioni normali.Relazione tra il rango di una matrice A e di ATA. Invertibilità di ATA. Pseudoinversa di A. Matrice standard della proiezione ortogonale su un sottospazio.
Introduzione agli spazi euclidei generali.
[12.4, 12.6]

Lezione 52
Nozione generale di spazio euclideo e di prodotto scalare. Vari esempi. Definizione di base ortogonale. Procedimento di Gram-Schmidt. Polinomi interpolatori di Lagrange.
[12.6]

Lezione 53
Una applicazione dei polinomi di Lagrange. Matrice di un prodotto scalare. Definizione di curva parametrica. Curva semplice e curva regolare.
[12.7, 13.1, 13.2, 13.3]

Lezione 54
Curve piane e curve sghembe. Curve regolari a tratti. Lunghezza di una curva. Elica. Astroide. Rette secanti e tangenti. Piano osculatore.
[13.4, 13.5, 13.9]

Lezione 55
Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame.

Lezione 56
Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame.

Lezione 57
Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame.

Lezione 58
Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame.

Lezione 59
Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame.

Lezione 60
Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame.

S. Capparelli – A. Del Fra: Geometria, Nuova edizione, (Esculapio, 2015)
S. Capparelli: Esercitazioni di Geometria, Esculapio, 2019

S. Capparelli – A. Del Fra: Geometria, Nuova edizione, (Esculapio, 2015)
S. Capparelli: Esercitazioni di Geometria, Esculapio, 2019

The course is presented via traditional classroom lectures containing a suitable amount of motivation and new material, as well as the necessary examples and exercises. Both new material and exercises are presented together.

Attendance is optional

The written test will last 2-3 hours and contain a suitable number of exercises concerning THE BASIC NOTIONS OF LINEAR ALGEBRA (MATRICES, DETERMINANTS, SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS, VECTOR SPACES, LINEAR APPLICATIONS) AND OF ANALYTIC GEOMETRY IN DIMENSION TWO AND THREE (LINES AND PLANES, BRIEF INTRO TO CURVES AND SURFACES.) There might also be problems requiring the student TO TRANSLATE SIMPLE GEOMETRIC PROBLEMS IN ANALYTIC FORM AND TO INTERPRET THE ALGEBRAIC RESULTS as well as simple proofs. The test is aimed at checking the understanding of the material and the ability to apply it in simple cases. The written test is then followed by an optional oral examination only for those who completely passed the written test and aspire to a top grade.
The final grade will not be an average between the written test and the oral exam, rather a numerical expression of a final evaluation.

Classify a conic section. State and prove the dimension theorem