Informatica - erogato in modalità prevalentemente a distanza

GIOVANNI FRANZINA

Obiettivi generali:
acquisire conoscenze di base nella teoria della probabilità.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:
al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria della probabilità su spazi finiti e numerabili, al concetto di vettore aleatorio discreto e al concetto di variabile aleatoria continua.

Applicazione di conoscenza e comprensione:
gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di applicare le nozioni di base del calcolo combinatorio in vari problemi matematici, derivare varie leggi di probabilità di variabili aleatorie discrete, di apprezzare il significato e le implicazioni dell`indipendenza e del condizionamento (nell’ambito di modelli discreti), comprendere il significato di alcuni teoremi limite fondamentali, quali la legge dei grandi numeri.

Autonomia di giudizio:
lo studente avrà le basi per analizzare e costruire modelli probabilistici in semplici situazioni di interesse fisico, biologico e tecnologico, utilizzare tavole e software di simulazione delle leggi discrete di più comune applicazione, nonchè della legge gaussiana, e di comprendere l’utilizzazione di strumenti statistici elementari nell`inferenza, nel campionamento statistico e nella simulazione .

Abilità comunicative:
capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.

Capacità di apprendimento successivo:
le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso relativo ad aspetti più specialistici di teoria della probabilità.

Al termine del corso, gli studenti saranno in grado di:

(Ricordare) richiamare le definizioni dei concetti probabilistici di base, come spazio campionario, evento, indipendenza, probabilità condizionata, variabile aleatoria, valore atteso e varianza.

(Comprendere) spiegare le differenze tra i principali modelli discreti (ad es. Bernoulliano, Binomiale, Ipergeometrico, Geometrico, Poisson).

(Applicare) calcolare probabilità, valori attesi e varianze in problemi concreti che coinvolgono spazi campionari finiti, esperimenti binomiali e probabilità condizionata.

(Analizzare) scomporre una distribuzione congiunta in parti marginali e condizionate; analizzare se variabili aleatorie sono indipendenti; e derivare proprietà come la linearità dell’attesa per somme di variabili aleatorie.

(Valutare) verificare se le ipotesi di un modello probabilistico sono soddisfatte in contesti applicativi/computazionali (ad es. campionamento casuale, approssimazioni per “eventi rari”) e l’appropriatezza di approssimazioni come Poisson per Binomiale.

(Creare) formulare e risolvere un nuovo problema di informatica che coinvolge la probabilità (ad es. analisi di algoritmi, strutture casuali), progettare un modello probabilistico, simularlo (analiticamente o via codice) e interpretarne i risultati.

Conoscenze di base di analisi di funzioni di una variabile, algebra lineare elementare, teoria degli insiemi e logica.

[1] Cenni storici sulla nascita della probabilit`a.
[2] Modelli matematici per gli esperimenti aleatori mediante la teoria degli insiemi.
[3] Spazi di probabilit`a finiti e funzioni indicatrici.
[4] Leggi di De Morgan, principio di inclusione ed esclusione, cardinalit`a di un’unione.
[5] Modello classico: spazi finiti di eventi equiprobabili.
[6] Conteggi: calcolo combinatorio elementare.
[7] Combinatoria: scelte ordinate e non.
[8] Modelli probabilistici di estrazione da un’urna (con o senza reinserimento).
[9] Assiomi della Probabilit`a. Problemi classici (compleanni, di accoppiamento, collezionista).
[10] Probabilit`a condizionata. Indipendenza di eventi.
[11] Teoremi della probabilit`a totale e di Bayes.
[12] Problema delle parti.
[13] Eventi indipendenti e correlazione fra eventi.
[14] Variabili aleatorie discrete, densit`a discreta di probabilit`a e funzione di distribuzione.
[15] Modelli di v.a. su spazi finiti: Bernoulliane, Binomiali, Ipergeometriche, Uniformi.
[16] Valor medio di v.a. bernoulliane, binomiali, ipergeometriche, uniformi.
[17] Densit`a congiunte e marginali, marginalizzazione, funzioni di distribuzione congiunte e marginali. Indipendenza
di v.a. aleatorie e propriet`a di fattorizzazione.
[18] Valor medio della somma; valor medio del prodotto di v.a. indipendenti. Varianza. Varianza della somma di v.a.
indipendenti. Varianza di v.a. bernoulliane, binomiali, ipergeometriche, uniformi.
[19] Cammini aleatori.
[20] Valor medio condizionato.
[21] Spazi di probabilit`a numerabili: conseguenze degli assiomi, legge delle attese totali.
[22] V.a. su spazi di probabilit`a numerabili: v.a. geometriche (valore atteso, varianza, tempi di attesa, propriet`a di
assenza di memoria).
[23] V.a. su spazi di prob. numerabili: v.a. di Poisson (valor medio, varianza, approssimazione di binomiali, numero
di eventi rari in un intervallo)
[24] Legge dei grandi numeri, concentrazione della probabilit`a (disuguaglianza di Chebyshev).

Ross, Sheldon M. A First Course in Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.

Il corso si articola in 24 argomenti, ciascuno approfondito in una lezione videoregistrata. In quattro incontri sincroni online, i contenuti saranno esplorati attraverso esercizi pratici, favorendo l’interazione e la sperimentazione. Inoltre, sarà attivo un forum dedicato sulla piattaforma del corso, dove gli studenti potranno discutere, porre domande e confrontarsi sugli argomenti trattati.

Corso da remoto.

L’esame si articola in due prove distinte: uno scritto (obbligatorio) e un orale (facoltativo).

La prova scritta consiste in una serie di domande teoriche ed esercizi pratici progettati per verificare la preparazione e le competenze dello studente sugli argomenti trattati durante il corso. Più che sulla correttezza dei calcoli e delle soluzioni, la valutazione si concentrerà sulla capacità di applicare i concetti teorici ai problemi concreti proposti e sulla chiarezza espositiva. La prova scritta è obbligatoria e costituisce la base principale per il voto finale. Sono ammessi formulari, libri, appunti. È vietato ogni dispositivo elettronico.

La prova orale è facoltativa e può essere sostenuta da chi abbia superato lo scritto ma desideri approfondire ulteriormente la propria preparazione, migliorando il voto ottenuto nella prova scritta. Durante l'orale, lo studente sarà invitato a discutere e argomentare su temi teorici specifici del corso, con particolare attenzione alla comprensione e alla capacità di comunicare i concetti in modo chiaro e preciso.

Valutazione finale: Il punteggio finale si basa sul risultato della prova scritta, mentre l’orale può essere utilizzato per modificare il voto ottenuto nello scritto. In assenza di prova orale, il voto finale dipenderà esclusivamente dalla prova scritta.

- Mescolato un mazzo di 52 carte, che contiene 13 carte (ognuna di un valore differente) per ciascuno dei quattro semi (♥, ♦, ♠, ♣), ne vengono estratte a caso due (senza reinserimento). Calcolare la probabilit`a dei seguenti eventi: “le due carte estratte sono dello stesso seme”, “le due carte estratte hanno lo stesso valore”, “almeno una delle due carte estratte è un 0.

- Un'urna contiene inizialmente 3 palline bianche e 3 palline rosse; un'altra ne contiene inizialmente 2 verdi e 3 bianche. Si svolgono le seguenti operazioni: una prima persona estrae a caso una pallina dall’urna 1 e la trasferisce nell’urna 2; una seconda persona estrae poi a caso una pallina dall’urna 2. Qual è la probabilità che le due palline estratte (quella presa dalla prima persona dall’urna 1 e quella presa dalla seconda persona dall’urna 2) siano di colori diversi?

- Dati due eventi A,B in uno spazio di probabilita supponiamo che la probabilita che si verifichi A ma non B sia 5/12, che la probabilita che si verifichi B ma non A sia 1/12 e che la probabilita che si verifichi A sia il triplo di quella che si verifichi B. Calcolare le probabilita di A e B; usare il risultato per dire se gli eventi A,B sono indipendenti.

- Per diagnosticare una malattia, si applica un test. Se il paziente è effettivamente malato, il test dà un risultato positivo nel 96% dei casi. Ma può succedere che il risultato del test sia positivo anche se il paziente è sano, con una probabilit`a del 2%. Sapendo che, in media, lo 0,05 % dei pazienti è malato, calcolare la probabilità che un paziente sia malato dato che il suo test è risultato positivo.

- Disegnare il grafico di una funzione di distribuzione F che passi da almeno 3 dei pallini in figura e sia X una variabile aleatoria avente F come funzione di distribuzione; determinare media e varianza di X.

- Si estraggono due palline (senza reinserimento) da un’urna contenente: tre palline con il numero 1, due palline, cinque palline col numero 3. Determinare la funzione di ripartizione della variabile aleatoria X che rappresenta la somma dei numeri scritti sulle due palline estratte e calcolare P(2
- Siano X,Y∼Bin(2,0.5) indipendenti e sia Z= XY. Dire che valori può assumere Z; calcolare la funzione di distribuzione di Z; determinare media e varianza di Z.

- Un’urna contiene 10 palline rosse e 5 palline bianche. Si estraggono 4 palline senza reinserimento. Sia X il numero di palline rosse estratte. Trovare la distribuzione di X. Dire quanto valgono E[X] e Var(X).

- Si lancia una moneta non truccata per tre volte di seguito. Indichiamo con X il numero di volte che esce testa nei primi due lanci e con Y il numero di volte in cui esce croce negli ultimi due. Fornire in forma di tabella la densità congiunta; determinare le marginali; calcolare Cov(X,Y) e dire se X e Y sono indipendenti.

- Lanciando una moneta, guadagno 2 euro con “testa” e perdo 1 euro con “croce”. Supponendo che la moneta non sia truccata, trovare N abbastanza grande affinché la media empirica del guadagno in N lanci sia compresa fra 0.40 e 0.60 euro con più del 75% di probabilità.

- Disegnare il grafico della funzione di distribuzione F di una v.a. discreta X su uno spazio di probabilità finito, in modo che il grafico contenga almeno due dei pallini rappresentati in Figura. Che tipo di variabile aleatoria discreta è (Bernoulli, Binomiale, Poisson. . . )? Calcolare media e varianza della somma S di 25 v.a. indipendenti distribuite come X. Dare una stima della probabilità con cui S si discosta di più di 4 dalla propria media.

• Introduzione


• Modelli matematici per gli esperimenti aleatori mediante la teoria degli insiemi
  • Testi di riferimento: Chap. "Axioms of Probability" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Spazi di probabilità finiti e funzioni indicatrici
  • Testi di riferimento: Chap. "Axioms of Probability" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Leggi di De Morgan, principio di inclusione ed esclusione, cardinalità di un’unione.
  • Testi di riferimento: Chap. "Axioms of Probability" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Modello classico: spazi finiti di eventi equiprobabili
  • Testi di riferimento: Chap. "Axioms of Probability" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Conteggi: calcolo combinatorio elementare
  • Testi di riferimento: Chap. "Combinatorial Analysis" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Combinatorics: ordered and unordered selections.
  • Testi di riferimento: Chap. "Combinatorial Analysis" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Probabilistic models of drawing from an urn (with or without replacement).
  • Testi di riferimento: Chap. "Axioms of probability" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Axioms of probability. Classic problems (birthdays, matching, collector’s problem).
  • Testi di riferimento: Chap. "Axioms of probability" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Conditional probability. Independence of events.
  • Testi di riferimento: Chap. "Conditional probabilities" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Total probability and Bayes’ theorems.
  • Testi di riferimento: Chap. "Conditional probabilities" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Partition problems
  • Testi di riferimento: Chap. "Axioms of probability" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Independent events and correlation between events.
  • Testi di riferimento: Chap. "Conditional probabilities" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Discrete random variables, discrete probability mass function and distribution function.
  • Testi di riferimento: Chap. "Random Variables" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Models of random variables on finite spaces: Bernoulli, Binomial, Hypergeometric, Uniform.
  • Testi di riferimento: Chap. "Random Variables" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Valor medio di v.a. bernoulliane, binomiali, ipergeometriche, uniformi.
  • Testi di riferimento: Chap. "Random Variables" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Joint and marginal densities, marginalization, joint and marginal
  distribution functions.Independence of random variables and
  factorization properties.
  • Testi di riferimento: Chap. "Jointly Distributed Random Variables" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Expected value of the sum; expected value of the product of independent
  random variables.Variance. Variance of the sum of independent random
  variables.Variance of Bernoulli, Binomial, Hypergeometric, Uniform
  random variables.
  • Testi di riferimento: Chap. "Random Variables" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Random walks. Probablistic method.
  • Testi di riferimento: Chap. "Random Variables" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Conditional expectation.
  • Testi di riferimento: Chap. "Properties of Expectation" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Countable probability spaces: consequences of the axioms, law of total expectation.
  • Testi di riferimento: Chap. "Properties of Expectation" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Random variables on countable probability spaces: geometric random
  variables (expected value, variance, waiting times, memoryless
  property).
  • Testi di riferimento: Chap. "Random Variables" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Random variables on countable probability spaces: Poisson random
  variables (expected value, variance, approximation of binomials, number
  of rare events in an interval).
  • Testi di riferimento: Chap. "Random Variables" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.


• Law of large numbers, concentration of probability (Chebyshev’s inequality).
  • Testi di riferimento: Chap. "Limit theorems" of Ross, Sheldon M. A First Course in
    
    Probability. 10th ed., Pearson Education, 2019. ISBN 978-0134753119.