Fisica

SERGIO CAPRARA

OBIETTIVI GENERALI: Il primo ovvio obiettivo del Corso di Meccanica Statistica (MS) e' di introdurre gli studenti ai concetti fondamentali della materia in questione. In generale gli studenti devono comprendere come ottenere la descrizione termodinamica di un sistema macroscopico, note le sue leggi microscopiche. Queste conoscenze sono di ovvia importanza per il bagaglio culturale degli studenti e sono necessarie come base per il proseguimento degli studi in Fisica.
OBIETTIVI SPECIFICI:
A - Conoscenza e capacità di comprensione
OF 1) Concetti di base della MS di equilibrio e richiami di teoria della probabilita';
OF 2) regole di calcolo della MS Classica [ensembles microcanonico, canonico e gran canonico]; equivalenza delle differenti regole di calcolo con applicazioni a sistemi non interagenti.
OF 3) Cenni ai sistemi interagenti (equazione di van der Waals).
OF 4) Concetti fondamentali e regole di calcolo della MS Quantistica; applicazione ai gas perfetti quantistici e distribuzioni di Bose-Einstein e di Fermi-Dirac.
OF 5) Proprieta' termodinamiche dei sistemi quantistici bosonici e fermionici; limiti di alta e bassa temperatura, espansione di Sommerfeld per i gas di Fermioni; calore specifico di un solido; teoria di Debye.
OF 6) Richiami di quantizzazione della radiazione elettromagnetica e radiazione di corpo nero.

B – Capacità applicative
OF 7) Il secondo obiettivo e' di mettere in grado gli studenti di affrontare attivamente problemi di fisica in cui sono necessari concetti di MS. Questo deve avvenire in primo luogo per problemi il cui schema concettuale sia gia' stato visto e applicato a lezione, ma, con l'avanzare della preparazione e della maturazione degli studenti, e' auspicabile che essi sappiano anche applicare i concetti della MS a problemi nuovi e in ambiti diversi.
C - Autonomia di giudizio
OF 8) Il terzo, piu ambizioso obiettivo, e' quindi di trasmettere agli studenti la capacita' di pensare in termini probabilistici e statistici usando i concetti della MS come strumento di "problem solving" sia in ambito fisico che, eventualmente, in campi diversi e piu' ampi (sistemi fisici, sistemi economico-sociali, biologici, medici, ...).

D – Abilità nella comunicazione
OF 9) Alla chiarezza dei concetti acquisiti deve corrispondere anche la capacità dello studente di esprimere e raccontare in modo chiaro e diretto tali concetti.
E - Capacità di apprendere
OF 10) Avere la capacità di consultare autonomamente testi e articoli scientifici al fine di approfondire in modo autonomo alcuni argomenti introdotti durante il corso.

a) E` indispensabile conoscere i concetti base: i) della meccanica classica e della meccanica analitica (in particolare il formalismo Hamiltoniano); ii) della teoria della probabilità; iii) della termodinamica come variabili termodinamiche, funzioni di stato (energia interna, entropia, energia libera); iv) della meccanica quantistica (in particolare, di stato quantistico, di livelli energetici); v) della descrizione della particella libera ed dell’oscillatore armonico quantistici.

b) E` importante avere familiarità con le principali distribuzioni di probabilità (Gaussiana, Poissoniana, Binomiale, etc.) e di esempi di fenomeni fisici che sono regolati da queste distribuzioni; conoscere le basi dell’analisi matematica e della teoria delle distribuzioni (p. es. la delta di Dirac).

Meccanica Statistica e Termodinamica

Introduzione: Meccanica Statistica e Termodinamica.
Invarianza per inversione temporale, teorema di Poincaré e definizione di equilibrio termodinamico.
Variabili Estensive ed Intensive.
Spazio delle Fasi, regione del moto ed osservabili termodinamici.
Equilibrio e Trasformazioni reversibili.
Lavoro, Calore ed Entropia.
Postulato Fondamentale della Meccanica Statistica.
Ensemble statistici.
Teorema di Liouville.
Ensemble Microcanonico.
Ipotesi Ergodica.
Traiettorie e volume della regione del moto.
Lunghezze e volumi in spazi ad alta dimensionalità.
Integrazione di picco e Formula di Stirling.


Richiami di Teoria della Probabilità

Probabilità e statistica.
Definizione generale di probabilità, spazio di probabilità.
Eventi indipendenti.
Probabilità condizionata.
Legge della probabilità completa.
Variabili aleatorie discrete e continue.
Distribuzione di probabilità e densità di probabilità di una o più variabili.
Marginalizzazione, distribuzione di probabilità condizionata, medie.
Trasformazione di variabili aleatorie.
Somma di due variabili aleatorie, cambio di variabile, trasformazione lineare.
Distribuzione di probabilità Binomiale.
Distribuzione di probabilità di Poisson.
Densità di probabilità Gaussiana in una e più variabili.
Trasformata di Fourier della densità di probabilità Gaussiana e rappresentazione integrale della delta di Dirac.
Funzione generatrice dei momenti, o funzione caratteristica, di una distribuzione di probabilità: distribuzione Gaussiana e suoi momenti.
Legge dei grandi numeri.
Cumumanti di una distribuzione e funzione generatrice: distribuzione Gaussiana e suoi cumulanti.
Teorema centrale del limite .

Meccanica Statistica: regole di calcolo

Valore medio e distribuzione di probabilità delle variabili macroscopiche.
Richiami sui potenziali termodinamici.
Sottosistemi e condizioni di equilibrio.
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann.
Teorema di equipartizione e teorema del viriale.
Entropia gas perfetto.
Paradosso di Gibbs e equazione di Sackur-Tetrode.
Equazione Barometrica gas perfetto.
Gas perfetto di oscillatori armonici.
Gas perfetto di particelle classiche relativistiche.
Regola a temperatura costante: Ensemble canonico.
Regola a temperatura e pressione costante: Ensemble (T,p).
Fluttuazioni di energia nell'ensemble canonico.
Teorema di equipartizione nell'ensemble canonico.
Regola per sistemi aperti a temperatura costante: Ensemble gran canonico.
Fluttuazioni di densità.
Gas classico interagente, espansione del viriale.

Meccanica Statistica Quantistica

Postulato di Nernst (Terzo principio della termodinamica).
Postulato Fondamentale della Meccanica Statistica Quantisitica.
Operatore matrice densità.
Ensemble Quantistici.
Gas Ideali quantistici: Bose e Fermi.
Numeri di occupazione e funzioni di stato dei gas ideali quantistici.
Gas di Fermi/Bose: limite di bassa densità ed alta temperatura.
Gas di Fermi: limite di alta densità e bassa temperatura, energia di Fermi.
Gas di Bose: limite di alta densità e bassa temperatura, condensazione di Bose-Einstein.
Gas di oscillatori armonici quantistici (fononi) : modelli di Einstein e di Debye.
Il corpo nero.

1) Meccanica Statistica, K. Huang, Zanichelli (1997)
2) Fisica Statistica - parte prima, L. D. Landau, E. M. Lifshits, L. P. Pitaevskij, Editori Riuniti (1978)

Lezioni frontali ed esercitazioni svolte alla lavagna.
Le lezioni serviranno ad introdurre e spiegare i vari concetti si di base che accessori.
Le esercitazioni servono al duplice scopo di chiarire ed esemplificare i concetti trattati a lezione e a far acquisire agli studenti la capacità di risolvere autonomamente problemi di diversi livelli di difficoltà.
Lezioni ed esercitazioni sono strettamente interconnessi e non ci sarà una specifica e precisa separazione oraria tra le due modalità.

Gli studenti beneficeranno del confronto diretto con il docente e della possibilità di discutere idee e metodologie con i colleghi. La successione degli argomenti sviluppati, gli esercizi svolti, e il materiale di supporto, saranno resi disponibili sul sito del docente https://www2.phys.uniroma1.it/doc/caprara/SCaprara/sergio-caprara-MS.html

L'esame consiste in una prova scritta ed una orale.
Nella prova scritta (di durata compresa tra 2.5 e 3 ore) si vuole verificare la capacità dello studente/della studentessa di risolvere problemi di meccanica statistica classica e quantistica del tipo di quelli svolti in aula durante le esercitazioni.
Il colloquio orale, solitamente della durata di 30-40 minuti, verte sui temi più rilevanti illustrati nel corso. Per superare l'esame lo studente/la studentessa deve essere in grado di presentare un argomento o ripetere un calcolo discusso durante il corso. Allo/a studente/studentessa verrà richiesto di applicare i metodi appresi in esercizi o ad esempi e situazioni simili a quelle discusse durante il corso.
Nella valutazione si tiene conto di:
- correttezza e completezza dei concetti esposti;
- chiarezza e rigore espositivo;
- capacità di sviluppo analitico della teoria;
- attitudine nel problem solving (metodo e risultati).