Fisica

IRENE ROSANA GIARDINA

OBIETTIVI GENERALI: Il primo ovvio obiettivo del Corso di Meccanica Statistica (MS) e' di introdurre gli studenti ai concetti fondamentali della materia in questione. In generale gli studenti devono comprendere come ottenere la descrizione termodinamica di un sistema macroscopico, note le sue leggi microscopiche. Queste conoscenze sono di ovvia importanza per il bagaglio culturale degli studenti e sono necessarie come base per il proseguimento degli studi in Fisica.
OBIETTIVI SPECIFICI:
A - Conoscenza e capacità di comprensione
OF 1) Concetti di base della MS di equilibrio e richiami di teoria della probabilita';
OF 2) regole di calcolo della MS Classica [ensembles microcanonico, canonico e gran canonico]; equivalenza delle differenti regole di calcolo con applicazioni a sistemi non interagenti.
OF 3) Cenni ai sistemi interagenti (equazione di van der Waals).
OF 4) Concetti fondamentali e regole di calcolo della MS Quantistica; applicazione ai gas perfetti quantistici e distribuzioni di Bose-Einstein e di Fermi-Dirac.
OF 5) Proprieta' termodinamiche dei sistemi quantistici bosonici e fermionici; limiti di alta e bassa temperatura, espansione di Sommerfeld per i gas di Fermioni; calore specifico di un solido; teoria di Debye.
OF 6) Richiami di quantizzazione della radiazione elettromagnetica e radiazione di corpo nero.

B – Capacità applicative
OF 7) Il secondo obiettivo e' di mettere in grado gli studenti di affrontare attivamente problemi di fisica in cui sono necessari concetti di MS. Questo deve avvenire in primo luogo per problemi il cui schema concettuale sia gia' stato visto e applicato a lezione, ma, con l'avanzare della preparazione e della maturazione degli studenti, e' auspicabile che essi sappiano anche applicare i concetti della MS a problemi nuovi e in ambiti diversi.
C - Autonomia di giudizio
OF 8) Il terzo, piu ambizioso obiettivo, e' quindi di trasmettere agli studenti la capacita' di pensare in termini probabilistici e statistici usando i concetti della MS come strumento di "problem solving" sia in ambito fisico che, eventualmente, in campi diversi e piu' ampi (sistemi fisici, sistemi economico-sociali, biologici, medici, ...).

D – Abilità nella comunicazione
OF 9) Alla chiarezza dei concetti acquisiti deve corrispondere anche la capacità dello studente di esprimere e raccontare in modo chiaro e diretto tali concetti.
E - Capacità di apprendere
OF 10) Avere la capacità di consultare autonomamente testi e articoli scientifici al fine di approfondire in modo autonomo alcuni argomenti introdotti durante il corso.

a) E’ indispenzabile conoscere i concetti base: i) della meccanica classica e della meccanica analitica (in particolare il formalismo Hamiltoniano); ii) di teoria della probabilità; iii) di termodinamica come variabili termodinamiche, funzioni di stato (energia interna, entropia, energia libera); iv) di meccanica quantistica (in particolare di stato quantistico, di livelli energetici; v) particella libera ed oscillatore armonico quantistici
b) E’ importante avere familiarità con le principali distribuzioni di probabilità (Gaussiana, Poissoniana, Binomiale, etc.) e di esempi di fenomeni fisici che sono regolati da queste distribuzioni; conoscere le basi dell’analisi matematica e della teoria delle distribuzioni (p. es. la delta di Dirac).

Meccanica Statistica e Termodinamica

Introduzione: Meccanica Statistica e Termodinamica
Invarianza per inversione temporale, teorema di Poincaré e definizione di equilibrio termodinamico.
Variabili Estensive ed Intensive.
Spazio delle Fasi, regione del moto ed osservabili termodinamici.
Equilibrio e Trasformazioni reversibili
Lavoro, Calore ed Entropia
Postulato Fondamentale della Meccanica Statistica
Ensemble statistici
Teorema di Liouville
Ensemble Microcanonico
Ipotesi Ergodica
Traiettorie e volume della regione del moto
Lunghezze e volumi in spazi ad alta dimensionalita'
Integrazione di picco e Formula di Stirling


Richiami di Teoria della Probabilita'

Probabilita' e statistica
Definizione generale di probabilita', spazio di probabilita'
Eventi indipendenti
Probabilita' condizionata
Legge della probabilita' completa
Variabili aleatorie discrete e continue
Distribuzione di probabilita' e densita' di probabilita' di una o pi� variabili
Marginalizzazione, distribuzione di probabilita' condizionata, medie
Trasformazione di variabili aleatorie
Somma di due variabili aleatorie, cambio di variabile, trasformazione lineare
Distribuzione di probabilita' Binomiale
Distribuzione di probabilita' di Poisson
Densita' di probabilita' Gaussiana in una e pi� variabili
Trasformata di Fourier della densita' di probabilita' Gaussiana e rappresentazione integrale della delta di Dirac
Funzione generatrice dei momenti, o funzione caratteristica, di una distribuzione di probabilita': distribuzione Gaussiana e suoi momenti
Legge dei grandi numeri
Cumumanti di una distribuzione e funzione generatrice: distribuzione Gaussiana e suoi cumulanti
Teorema del limite centrale

Meccanica Statistica: regole di calcolo

Valore medio e distribuzione di probabilita' delle variabili macroscopiche
Richiami sui potenziali termodinamici
Sottosistemi e condizioni di equilibrio
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
Teorema di equipartizione e teorema del viriale
Entropia gas perfetto
Paradosso di Gibbs e equazione di Sackur-Tetrode
Equazione Barometrica gas perfetto
Gas perfetto di oscillatori armonici
Gas perfetto di particelle classiche relativistiche
Regola a temperatura costante: Ensemble canonico
Regola a temperatura e pressione costante: Ensemble (T,p)
Fluttuazioni di energia nell'ensemble canonico
Teorema di equipartizione nell'ensemble canonico
Regola per sistemi aperti a temperatura costante: Ensemble gran canonico
Fluttuazioni di densita'
Gas classico interagente, espansione del viriale
Cenni sul modello di Ising (campo medio)


Meccanica Statistica Quantistica

Postulato di Nernst (Terzo principio della termodinamica)
Postulato Fondamentale della Meccanica Statistica Quantisitica
Operatore matrice densità
Ensemble Quantistici
Gas Ideali quantistici: Bose e Fermi
Numeri di occupazione e funzioni di stato dei gas ideali quantistici
Gas di Fermi/Bose: limite di bassa densita' ed alta temperatura
Gas di Fermi: limite di alta densita' e bassa temperatura, energia di Fermi
Gas di Bose: limite di alta densita' e bassa temperatura, condensazione di Bose-Einstein.
Gas di oscillatori armonici quantistici (fononi) : modelli di Einstein e di Debye
Il corpo nero

- K. Huang (H), "Statistical Mechanics", (Wiley, 1987)
- L.D. Landau e E.M. Lifsits (LL), "Fisica Statistica" (parte I), (Editori Riuniti, 1978)
- J. Sethna: "Statistical Mechanics: entropy, order parameters and complexity" (Oxford Un. Press, 2006)
- S-K Ma, Statistical Mechanics, World Scientific, Singapore (1985)

Dettagli su quale argomento viene presentato in modo più simile a uno dei due testi verrano dati a lezione e appaiono regolarmente nel resoconto quotidiano delle lezioni che appare nel sito del docente.
https://sites.google.com/uniroma1.it/irene-giardina/teaching/meccanica-statistica

Lezioni frontali ed esercitazioni svolte alla lavagna.
Le lezioni serviranno ad introdurre e spiegare i vari concetti si di base che accessori.
Le esercitazioni servono al duplice scopo di chiarire ed esemplificare i concetti trattati a lezione e a far acquisire agli studenti la capacità di risolvere autonomamente problemi di diversi livelli di difficoltà.
Lezioni ed esercitazioni sono strettamente interconnessi e non ci sarà una specifica e precisa separazione oraria tra le due modalità.

Gli studenti frequenteranno le lezioni su base facoltativa, anche se raccomandata soprattutto in relazione allo svolgimento dei problemi e degli esercizi in aula.

L'esame consiste in una prova scritta ed una orale.
Nella prova scritta (di durata compresa tra 2.5 e 3 ore) si vuole verificare la capacità dello studente/della studentessa di risolvere problemi di meccanica statistica classica e quantistica del tipo di quelli svolti in aula durante le esercitazioni.
Il colloquio orale, solitamente della durata di 30-40 minuti, verte sui temi più rilevanti illustrati nel corso. Per superare l'esame lo studente/la studentessa deve essere in grado di presentare un argomento o ripetere un calcolo discusso durante il corso. Allo/a studente/studentessa verrà richiesto di applicare i metodi appresi in esercizi o ad esempi e situazioni simili a quelle discusse durante il corso.
Nella valutazione si tiene conto di:
- correttezza e completezza dei concetti esposti;
- chiarezza e rigore espositivo;
- capacità di sviluppo analitico della teoria;
- attitudine nel problem solving (metodo e risultati).