Matematica

ANDREA SAMBUSETTI

Obiettivi Formativi

Obiettivi generali:
acquisire conoscenze di base su sistemi di equazioni lineari, spazi vettoriali, applicazioni lineari, spazi affini, spazi euclidei.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati
di base relativi alla risoluzione di sistemi lineari,
al calcolo matriciale, alla teoria degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari tra essi, agli spazi affini, spazi vettoriali
euclidei e spazi affini euclidei.

Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere
sistemi di equazioni lineari in un arbitrario numero (finito) di variabili, di riconoscere problemi matematici
rappresentati da applicazioni lineari tra spazi vettoriali e utilizzare questo fatto per la loro risoluzione; sarà
in grado di operare con le matrici e di stabilire la risolubilità di un sistema lineare e l'invertibilità di un'applicazione lineare
mediante considerazioni sul rango e mediante il calcolo del determinante delle matrici associate; sarà in grado di
calcolare gli autovalori di un endomorfismo lineare e determinare la decomposizione in autospazi ad esso associata; sapra'
risolvere problemi in cui intervengono prodotti euclidei;
sapra' risolvere problemi su spazi affini, spazi affini euclidei; acquisirà
inoltre i primi rudimenti di strutture algebriche fondamentali che saranno poi approfondite nei corsi successivi, come ad esempio, il
concetto di gruppo.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di teoria dei gruppi (che vedrà nel corso di Algebra 1), funzioni reali più variabili (che vedrà nel corso di Analisi 2), geometria delle quadriche e dello spazio proiettivo (che vedrà nel corso di Geometria 1).

Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli
eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o
impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici della teoria degli operatori lineari non più limitati al caso di dimensione finita,
di quella delle famiglie di spazi vettoriali (fibrati vettoriali), di quella delle decomposioni in autospazi relativa ad algebre commutative di endomorfismi, e della geometria riemanniana.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base su sistemi di equazioni lineari, spazi vettoriali, applicazioni lineari, spazi affini, spazi euclidei.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: Al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla risoluzione di sistemi lineari, al calcolo matriciale, alla teoria degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari tra essi, agli spazi affini, spazi vettoriali euclidei e spazi affini euclidei.

Applicare conoscenza e comprensione: Al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere sistemi di equazioni lineari, di riconoscere problemi matematici rappresentati da applicazioni lineari tra spazi vettoriali e utilizzare questo fatto per la loro risoluzione; sarà in grado di operare con le matrici e di stabilire la risolubilità di un sistema lineare e l'invertibilità di un'applicazione lineare mediante considerazioni sul rango e mediante il calcolo del determinante delle matrici associate; sarà in grado di calcolare gli autovalori di un endomorfismo lineare e determinare la decomposizione in autospazi ad esso associata; sapra' risolvere problemi in cui intervengono prodotti euclidei; sapra' risolvere problemi su spazi affini, spazi affini euclidei.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di teoria dei gruppi (che vedrà nel corso di Algebra 1), funzioni di più variabili reali (che vedrà nel corso di Analisi 2), geometria delle quadriche e dello spazio proiettivo (che vedrà nel corso di Geometria 1).

Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici della teoria degli operatori lineari non più limitati al caso di dimensione finita, di quella delle famiglie di spazi vettoriali (fibrati vettoriali), di quella delle decomposioni in autospazi relativa ad algebre commutative di endomorfismi, e della geometria riemanniana.

Nessun prerequisito specifico.

Insiemi, funzioni, relazioni, induzione matematica. Anelli, campi. Spazi vettoriali, dipendenza lineare, basi. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari, isomorfismi. Matrici e applicazioni lineari. Duale di uno spazio vettoriale. Spazi affini. Applicazioni affini. Coordinate affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini. Applicazioni multilineari. Determinanti. Formula di Binet, sviluppo di Laplace. Endomorfismi, autovalori, autospazi, polinomio caratteristico. Matrici coniugate, matrici diagonalizzabili. Prodotto scalare euclideo su uno spazio vettoriale reale, basi ON, proiezione ortogonale, algoritmo di Gram-Schmidt. Prodotto scalare hermitiano su uno spazio vettoriale complesso. Gruppo ortogonale e unitario. Spazi affini euclidei (di dimensione finita). Isometrie. Classificazione delle isometrie in dimensione bassa. Gruppi discreti di isometrie di un piano euclideo.

- Abate, De Fabritiis: Geometria analitica con elementi di algebra lineare, McGraw-Hill
- Abate, De Fabritiis: Esercizi di Geometria, McGraw-Hill
- Sernesi: Geometria I, Boringhieri
- O'Grady, Algebra Lineare e Geometria.
- Manetti, Algebra lineare, per matematici.

Lezioni ed esercitazioni

La frequenza non e' obbligatoria, ma e' fortemente consigliata.

L'esame consiste in una prova scritta (con problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (con domande sui temi più rilevanti illustrati nel corso).
Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo/a studente/ssa deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti principali e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati.
Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo/a studente/ssa deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

si vedano i fogli di esercizi pubblicati sulla pagina classroom del corso