Matematica

GUSTAVO POSTA
EMILIO DE SANTIS

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base nella teoria della probabilità.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria della probabilità su spazi finiti e numerabili, al concetto di vettore aleatorio discreto e al concetto di variabile aleatoria continua.

Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi di probabilità discreta, problemi inerenti vettori casuali discreti e numeri casuali rappresentati da variabili aleatorie continue. Lo studente sarà anche in grado di apprezzare il significato e le implicazioni dell`indipendenza e del condizionamento (nell’ambito di modelli discreti), comprendere il significato di alcuni teoremi limite fondamentali, quali la legge dei grandi numeri.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di analisi e combinatoria (acquisiti nei corsi di Analisi I e trattati nel corso di Fondamenti di Analisi Reale).

Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso relativo ad aspetti più specialistici di teoria della probabilità.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base nella teoria della probabilità.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria della probabilità su spazi finiti e numerabili, al concetto di vettore aleatorio discreto e al concetto di variabile aleatoria continua.

Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi di probabilità discreta, problemi inerenti vettori casuali discreti e numeri casuali rappresentati da variabili aleatorie continue. Lo studente sarà anche in grado di apprezzare il significato e le implicazioni dell`indipendenza e del condizionamento (nell’ambito di modelli discreti), comprendere il significato di alcuni teoremi limite fondamentali, quali la legge dei grandi numeri.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di analisi e combinatoria (acquisiti nei corsi di Analisi I e trattati nel corso di Fondamenti di Analisi Reale).

Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso relativo ad aspetti più specialistici di teoria della probabilità.

Il corso richiede familiarità con gli argomenti del corso di "Algebra Lineare" e con il corso di "Calcolo" (insiemi, classi di equivalenza, funzioni, derivate integrali).
Queste conoscenze sono indispensabili. Non ci sono propedeuticità.

- Introduzione alla teoria della probabilità. Assiomi e regole di corrispondenza.
- Spazi di probabilità discreti, eventi e loro operazioni.
- Calcolo combinatorio: disposizioni, combinazioni, con e senza ripetizione. Coefficienti binomiali e multinomiali.
- Principio di inclusione esclusione ed applicazione al problema di accoppiamento.
- Spazi di probabilità prodotto. Eventi indipendenti. Schemi di Bernoulli.
- Distribuzione binomiale, multinomiale e ipergeometrica.
- Probabilità condizionate. Formule delle probabilità composte, delle probabilità totali e di Bayes.
- Successioni di eventi crescenti e decrescenti. σ-additività e proprietà di continuità della probabilità.
- Passeggiata aleatoria. Problema della rovina del giocatore.
- Variabili aleatorie discrete: distribuzione, valore di attesa, varianza e covarianza.
- Variabili aleatorie indipendenti.
- Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali.
- Variabile geometrica e sua perdita di memoria, variabile binomiale negativa.
- Somma di variabili aleatorie indipendenti.
- Variabile di Poisson come limite di binomiali.
- Distribuzioni congiunte, marginali e condizionate.
- Diseguaglianza di Chebyshev e legge debole dei grandi numeri.
- Valore di attesa condizionato e sua interpretazione geometrica.
- Variabili aleatorie continue: densità di probabilità, funzione di distribuzione, valore di attesa e varianza.
- Variabile aleatoria uniforme. Rappresentazione di Skorohood.
- Variabile esponenziale come limite di geometriche.
- Variabili aleatorie gaussiane. Teorema di De Moivre Laplace sull'approssimazione della distribuzione binomiale con la gaussiana.

F. Caravenna, P. Dai Pra: Probabilità (Springer)
S. Ross: Probabilità. (Apogeo)
F. Spizzichino, G. Nappo: Introduzione al calcolo delle probabilità. (Appunti)

Sarà distribuito materiale didattico relativo agli esercizi.

A. N. Shiryaev: Probability.
W. Feller: An Introduction to Probability Theory and its Applications.

Lezioni frontali (60%), svolgimento di esercizi (40%).

La frequenza alle lezioni e alle esercitazioni non è obbligatoria, ma è consigliata.

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa 3 ore e può essere sostituita da 2 prove intermedie, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda immediatamente a fine corso.
Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti in programma e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati.
Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

Domanda 1. Mi parli di "X".
(X è uno dei punti del programma scelto a caso uniformemente dal docente).
Domanda 2. Svolga l'esercizio "Y".
(Y è uno degli esercizi svolti in aula durante l'anno).

• x
  • Testi di riferimento: z