Matematica

PAOLO BUTTA'

Obiettivi generali
acquisire conoscenze di base sulla modellizzazione e risoluzione di problemi classici di fisica del continuo.

Obiettivi specifici

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente conoscerà le equazioni fondamentali della fisica matematica (trasporto, onde, Laplace, calore), la loro derivazione da problemi fisici concreti e le tecniche classiche di risoluzione.

Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di risolvere l'equazione del trasporto e di Liouville, risolvere semplici problemi ai valori iniziali e al contorno per le equazioni delle onde e del calore e problemi al contorno per l'equazione di Laplace e Poisson, utilizzando le tecniche classiche della fisica matematica, quali funzioni di Green e metodo di Fourier.

Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di riconoscere un approccio di tipo fisico-matematico ai problemi, collegando le proprietà matematiche dei modelli basati sulle equazioni alle derivate parziali alla descrizione concreta dei problemi di fisica del continuo.

Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare concetti, idee e metodologie della fisica matematica legata alla fisica del continuo.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o
impartito in altri insegnamenti, relativo ad aspetti più specialistici dei metodi della fisica matematica.

Obiettivi generali:
Acquisire conoscenze di base sulla modellizzazione e risoluzione di problemi classici di fisica del continuo.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente conoscerà le equazioni fondamentali della fisica matematica (trasporto, onde, Laplace, calore), la loro derivazione da problemi fisici concreti e le tecniche classiche di risoluzione.

Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di risolvere l'equazione del trasporto e di Liouville, risolvere semplici problemi ai valori iniziali e al contorno per le equazioni delle onde e del calore e problemi al contorno per l'equazione di Laplace e Poisson, utilizzando le tecniche classiche della fisica matematica, quali funzioni di Green e metodo di Fourier.

Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di riconoscere un approccio di tipo fisico-matematico ai problemi, collegando le proprietà matematiche dei modelli basati sulle equazioni alle derivate parziali alla descrizione concreta dei problemi di fisica del continuo.

Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare concetti, idee e metodologie della fisica matematica legata alla fisica del continuo.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in altri insegnamenti, relativo ad aspetti più specialistici dei metodi della fisica matematica.

Il corso richiede la conoscenza di concetti e metodi di base dei corsi di Meccanica Razionale, Analisi Matematica II, Analisi Reale ed Algebra Lineare acquisiti nei primi due anni della laurea triennale.

L’equazione della corda vibrante
1. Modello microscopico: catene di oscillatori.
2. La lagrangiana per l’equazione delle onde; equazioni del moto; condizioni al contorno.
3. Formula di D’Alembert. Soluzione fondamentale.
3. Equazione forzata e formula di Duhamel.
4. Serie di Fourier. Il metodo di Fourier con applicazioni a vari problemi al contorno.

Distribuzioni
1. Spazio delle funzioni fondamentali; distribuzioni.
2. Esempi, funzione δ di Dirac, operazioni sulle distribuzioni.
3. La soluzione fondamentale come soluzione in senso generalizzato.

L'equazione d'onda in dimensione due e tre
1. Membrana vibrante, condizioni al contorno e loro significato fisico. Equazioni di Maxwell.
2. Problemi ben posti ed unicità delle soluzioni regolari.
3. Serie di Fourier in più dimensioni; l'equazione delle onde in domini rettangolari e soluzione per serie.
4. La funzione di Green e le formule di Kichhoff e Poisson.
5. Cono di influenza e dominio di dipendenza; principio di Huygens.
6. Pacchetto d’onda; velocità di fase e velocità di gruppo.

Introduzione alla teoria del potenziale
1. L’equazione per il potenziale elettrostatico/newtoniano, equazioni di Laplace e Poisson.
2. Soluzione fondamentale dell'operatore di Laplace. Funzioni di Green in dimensione 2 e 3 e loro interpretazione fisica.
3. Identità di Green.
4. Funzioni armoniche e loro proprietà.
5. Separazione delle variabili.
6. Problema di Laplace nel disco con dato continuo al bordo: derivazione della formula di Poisson con il metodo di Fourier.
8. Funzione di Green in domini limitati e sue proprietà. Metodo delle cariche immagine. Formula di Poisson per il problema di Laplace nella palla in tre dimensioni con dato continuo al bordo.
9. Potenziale generato da una distribuzione di carica: l'equazione di Poisson nello spazio in dimensione due e tre.

Equazione del calore
1. Leggi di conservazione in forma divergenza; legge di Fourier.
2. La funzione di Green per l’equazione del calore.
3. Il principio del massimo parabolico; l’unicità della soluzione in domini limitati e in tutto lo spazio.
4. Il metodo di Fourier per l'equazione del calore in domini limitati. Comportamento asintotico delle soluzioni.
5. Dalla passeggiata casuale simmetrica all'equazione del calore.

Appendici
1. Introduzione alla trasformata di Fourier.
2. Trasformata di Fourier nello spazio di Schwartz e sue proprietà. Esempi.
3. Trasformata di Fourier di una distribuzione.
4. Calcolo delle soluzioni fondamentali con la trasformata di Fourier.

- Dispense del corso disponibili in rete (http://www1.mat.uniroma1.it/~butta/didattica/note_FM.pdf)
- S. Salsa, Equazioni a Derivate Parziali: Metodi, Modelli e Applicazioni. Milano, Springer, 2010.

- V.I. Arnold, Lectures on Partial Differential Equations (Coll. Universitext). Berlin: Springer 2004.
- L.C. Evans, Partial Differential Equations. Providence: A.M.S. 2004.
- A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale. Mosca: MIR 1980.
- V.I. Smirnov, Corso di Matematica Superiore Vol. II. Roma: Editori Riuniti 1977.
- A.N. Tichonov, A.A. Samarskij, Equazioni della fisica matematica. Mosca: MIR 1981.
- S. Vladimirov, Equazioni della Fisica Matematica. Mosca: MIR 1987.

Lezioni frontali (60% circa), esempi e esercizi (40% circa).

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata per una buona comprensione dei contenuti del corso.

L’esame è una prova orale, che consiste nella discussione di alcuni tra gli argomenti più rilevanti illustrati nel corso e nella risoluzione di un semplice esercizio. Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti del programma e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi trattati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di esporli in modo logico e coerente.

Le domande di teoria riguardano uno o più degli argomenti più rilevanti del corso. Gli esercizi sono abbastanza semplici e sulla falsariga di quelli contenuti in varie schede di esercizi che vengono pubblicate e successivamente corrette in aula durante il corso.