Matematica

GUIDO PEZZINI

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria elementare dei numeri e campi finiti (utili qualora si studino in altri corsi o contesti la crittografia a chiave pubblica o la teoria dei codici).

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria elementare dei numeri, alla risoluzione di equazioni alle confruenze (con particolare riguardo alle equazioni polinomiali), akke funzioni aritmetiche, alla teoria dei residui quadratici, al problema degli ampliamenti, alle estensioni e alla struttura dettagliata dei campi finiti.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche legate alle equazioni alle congruenze, alle funzioni aritmetiche più importanti; sarà in grado di descrivere in modo concreto un campo finito e il suo gruppo di Galois.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per usare gli strumenti che sono alla base della crittografia a chiave pubblica e alla teoria dei codici correttori di errore. Scopo del corso, di natura esclusivamente teorica, è quindi di permettere agli studenti interessati in seguito agli ambiti applicativi crittografici di poter manipolare agevolmente gli oggetti matematici del corso.

Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti standard di teoria dei numeri e dei campi finiti.

Conoscere le definizioni di base di gruppi di Lie di matrici (la mappa esponenziale, l'algebra di Lie di un gruppo, il differenziale di un omomorfismo continuo, ecc.), di algebre di Lie (nilpotenza, risolubilità, semisemplicità, ecc.) e dei sistemi di radici (basi, gruppo di Weyl, ecc.). Conoscere la classificazione delle algebre di Lie semisemplici in termini dei sistemi di radici, e gli strumenti teorici necessari a dimostrarla. Saper studiare esempi concreti di tali gruppi, algebre e sistemi di radici, riconoscendo se soddisfano le proprietà viste nel corso, e saper dimostrare enunciati generali riguardo a questi argomenti, semplici o simili ad enunciati visti durante il corso.

Il corso richiede familiarità con gli argomenti del corso di Algebra I, in particolare con le tutte strutture algebriche ivi introdotte (gruppo, anello, campo) e con gli strumenti di base dell'algebra lineare introdotti nel corso di Algebra Lineare (spazi vettoriali, applicazioni lineari). Queste conoscenze sono indispensabili. Non ci sono propeduticità.

Gruppi di Lie di matrici:
- Definizioni, esempi
- Mappa esponenziale e coordinate logaritmiche
- Relazione fra sottogruppi e loro algebre di Lie
- Rappresentazioni dei gruppi

Algebre di Lie
- Definizioni di base (algebre, sottoalgebre, ideali, ecc.)
- Algebre di Lie nilpotenti e risolubili
- Teoria delle rappresentazioni delle algebre di Lie
- Struttura delle algebre di Lie semisemplici: sottoalgebre di Cartan, sistemi di radici
- Sistemi di radici e loro classificazione
- Classificazione delle algebre di Lie semisemplici

Brian C. Hall, "Lie Groups, Lie Algebras, and Representations"
James Humphreys, "Introduction to Lie algebras and representation theory''.

Brian C. Hall, "Lie Groups, Lie Algebras, and Representations"
James Humphreys, "Introduction to Lie algebras and representation theory''.

Lezioni frontali (75%), svolgimento di esercizi (25%).

Lezioni frontali (75%), svolgimento di esercizi (25%).

L'esame mira a valutare l'apprendimento tramite delle esercitazioni settimanali, una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso).
Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30.
Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti del programma, e di essere in grado di svolgere gli esercizi assegnati.
Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

Determinare proprietà di una rappresentazione continua di un gruppo di Lie di matrici.

Dimostrare che una data algebra di Lie, descritta per generatori e relazioni o come insieme di matrici, è risolubile, o nilpotente, o semisemplice, ecc.

Trovare elementi di un sistema di radici che soddisfano certe condizioni, studiare proprietà di elementi di un gruppo di Weyl.

• Gruppi di Lie di matrici
  • Testi di riferimento: Brian C. Hall, "Lie Groups, Lie Algebras, and Representations"


• Algebre di Lie
  • Testi di riferimento: James Humphreys, "Introduction to Lie algebras and representation theory''.


• Sistemi di radici
  • Testi di riferimento: James Humphreys, "Introduction to Lie algebras and representation theory''.