Matematica

GIACOMO FILIPPO DI GESU'
GIACOMO FILIPPO DI GESU'

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria dei processi stocastici e nella modellizzazione stocastica
di fenomeni reali.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base riguardanti i processi stocastici a tempo discreto e a tempo continuo, su strutture discrete quali ad esempio grafi oppure su spazi continui.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di modellizzare l'evoluzione temporale di vari fenomeni reali tramite i processi stocastici, di analizzare la stazionarieta` e/o la reversibilita` temporale dei processi stocastici, di calcolare probabilita` di assorbimento e tempi attesi di assorbimento, di simulare processi stocastici e di stimare la velocita` di convergenza all'equilibrio.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per studiare sistemi dinamici stocastici e acquisire la capacita` di valutare la bonta` di un modello rispetto ad altri nella modellizzazione di fenomeni reali.

Capacità comunicative: dovendo sostenere una prova orale di teoria, gli studenti svilupperanno le capacita` comunicative necessarie per bene esporre la teoria matematica e i vari modelli considerati nel corso.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio più approfondito dei processi stocastici sia su spazi discreti che continui, aiutando lo studente nello studio di altri corsi quali ad esempio calcolo stocastico.

1. acquisire metodi analitici che permettano di determinare le proprietà di ricorrenza di catene di Markov e, in particolare, delle marce aleatorie sulle reti.
2. descrivere il comportamento a tempo infinito delle catene di Markov su spazi degli stati finiti o infiniti.
3. utilizzare i metodi della teoria potenziale e delle reti elettriche per descrivere il comportamento di una marcia aleatoria su una rete, ad esempio attraverso l’utilizzo di leggi di riduzione o di monotonia che permettono di ridurre il livello di complessità della rete
4. sviluppare l’intuizione necessaria alla comprensione dell’evoluzione di un processo stocastico
5. acquisire dei metodi che permettano di utilizzare i processi stocastici per modellizzare fenomeni fisici, biologici, economici, sociali, epidemiologici, etc…
6. sviluppare le capacità di “problem solving”

Frequentazione del corso Probabilità 1 (Laurea triennale in Matematica) o equivalente. Può essere utile (ma non è indispensabile) aver frequentato il corso Istituzioni di Probabilità.

Prerequisiti: conoscenza di base di analisi, spazi di probabilità, variabili casuali, expectation, conditional expectation.

Catene di Markov a tempo discreto. Classificazione di stati. Criteri per la transienza e la ricorrenza. Probabilità e tempo medio di assorbimento nelle classi ricorrenti. Leggi invarianti. Teoremi limite. Convergenza verso leggi invarianti. Reversibilità.

Catene di Markov a tempo continuo. Matrice dei tassi ed equazioni di Chapman-Kolmogorov. Tempo della prima uscita da uno stato della catena, leggi invarianti, catena dei salti, catene di nascita e morte, processo di Poisson.

- Appunti del docente
-Markov Chains, J.R. Norris, University of Cambridge
-Markov Chains and Mixing Times, D. A. Levin and Y. Peres, American Mathematical Society

-Markov Chains, J.R. Norris, University of Cambridge
-Markov Chains and Mixing Times, D. A. Levin and Y. Peres, American Mathematical Society

Il corso verrà erogato in presenza tramite didattica frontale. Periodicamente verranno organizzate delle esercitazioni. Gli studenti avranno la possibilità di consegnare la soluzione degli esercizi assegnati in classe al docente.

Frequenza consigliata.

Le prove servono a valutare l'apprendimento e la comprensione generale degli argomenti trattati, e la capacità di applicare tali concetti. A tal fine, nella prova scritta si richiede di giustificare in modo chiaro quanto scritto. Durante la prova orale si valuta l'esposizione appropriata della teoria vista a lezione, la capacità di ragionare e dimostrare i principali risultati ottenuti, di svolgere gli esercizi proposti e di saper trovare esempi e controesempi.

Un elenco di possibili domande è disponibile qui
https://drive.google.com/drive/folders/1CL1eCUYVfPvt9K_6AzlZIayTnruVweOk