| 1031385 | MODELLI ANALITICI PER LE APPLICAZIONI | 1º | 1º | 6 | MAT/05 | ITA |
Obiettivi formativi Obiettivi Formativi
Obiettivi generali:
Acquisire conoscenze di base in modellistica basata su equazioni differenziali ordinarie e parziali, nei contesti presentati nel programma. In particolare, sara’ in grado di trattare equazioni differenziali per reti di reazioni chimiche, diffusione di epidemie, cinetica di enzimi, propagazione di impulsi nervosi; inoltre, saprà trattare modelli in cui e’ presente anche la dipendenza dallo spazio con termini di tipo diffusivo.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi ad alcune classi di equazioni differenziali ordinarie e di equazioni alle derivate parziali utili per la descrizione di modelli, principalmente in ambito biochimico ed epidemiologico.
Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di presentare modelli di base in ambito biomatematico, discutendone le proprietà e caratteristiche. Sarà altresì in grado di utilizzare il calcolatore elettronico per realizzare simulazioni numeriche di base di equazioni differenziali nonlineari utilizzando librerie pre-esistenti.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti acquisiti in corsi precedenti dello stesso ambito, riconoscendone criticamente le caratteristiche salienti.
Capacità comunicative: lo studente avrà sviluppato la capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale e collegiale, dei successivi corsi della LM che richiedano competenze di tipo modellistico.
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| 10595860 | METODI MATEMATICI IN MECCANICA STATISTICA | 2º | 1º | 6 | MAT/07, MAT/06 | ITA |
Obiettivi formativi Obiettivi generali:
acquisire conoscenze specialistiche di base su un approccio rigoroso alla meccanica statistica di equilibrio
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione:
conoscenza degli ensemble statistici, delle misure di Gibbs e dei funzionali termodinamici; comprensione delle transizioni di fase per modelli paradigmatici di particelle su reticolo.
Applicare conoscenza e comprensione:
al termine del corso lo studente sarà' in grado di descrivere modelli semplici di particelle attraverso gli ensemble statistici, di fare il limite termodinamico della funzione di partizione e determinare i funzionali termodinamici, e di intuire eventuali transizioni di fase per modelli semplici su reticolo.
Capacità' critiche e di giudizio:
capacità' di descrivere il comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un grande numero di particelle.
Capacità comunicative:
capacità' di enucleare i punti significativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più' interessanti, di discutere matematicamente dei punti più' sottili, almeno per modelli semplici.
Capacità' di apprendimento:
le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare studi avanzati, anche a livello di dottorato, relativi alla meccanica statistica di equilibrio e non, e di utilizzare gli strumenti di base della meccanica statistica in altri contesti.
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| 10593295 | CALCOLO DELLE VARIAZIONI | 1º | 2º | 6 | MAT/05 | ITA |
Obiettivi formativi Obiettivi generali:
Molti modelli della fisica matematica e in generale delle scienze naturali hanno come fondamento principi variazionali (principio di minimo energia, di minima azione,...) che ne descrivono le configurazioni di equilibrio e le evoluzioni dinamiche.
L’obiettivo del corso è rendere gli studenti consapevoli della varietà di problemi che possono essere affrontati con tecniche variazionali e fornire loro gli strumenti di base e il linguaggio matematico per l’analisi dei modelli presenti nelle varie scienze naturali.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione:
al temine del corso la/lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi sul metodo diretto del calcolo delle variazioni, le condizioni di semicontinuità, l’analisi asintotica via Gamma convergenza, e potrà applicare questo metodo in vari contesti di cui verranno fornite le basi funzionali almeno in dimensione 1 (funzionali integrali e spazi di Sobolev, funzionali geometrici e cenni di teoria geometrica della misura).
Applicare conoscenza e comprensione:
al temine del corso la/lo studente sarà in grado di cominciare lo studio di argomenti avanzati di calcolo delle variazioni. Sarà inoltre in grado di formulare un semplice modello variazionale (per esempio collegato a una specifica applicazione) e analizzarne il comportamento asintotico o e individuarne le caratteristiche che lo rendono un modello robusto.
Capacità critiche e di giudizio:
la/lo studente avrà le basi per collegare e utilizzare strumenti trattati in vari momenti della sua preparazione dalla analisi, fisica matematica e la probabilità. Sarà quindi in grado di apprezzarne l’interesse di una questione matematica in relazione anche al suo utilizzo per rispondere a una domanda proveniente da un problema applicato.
Capacità comunicative:
capacità di esporre in maniera rigorosa i contenuti teorici del corso e anche capacità di formulare il problema in esame comprendendo il ruolo della formulazione del modello giusto e della sua analisi. Capacità di spiegare quindi il risultato teorico nel linguaggio relativo all’applicazione in esame potenzialmente quindi spiegabile a pubblico non esperto di calcolo delle variazioni.
Capacità di apprendimento:
le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare un eventuale lavoro di tesi magistrale nell’ambito della matematica applicata alle scienze sia con un approccio più teorico sia in collegamento all’analisi di uno specifico modello di interesse applicativo.
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| 1031365 | SISTEMI DINAMICI | 1º | 2º | 6 | MAT/07 | ITA |
Obiettivi formativi Obiettivi generali: Acquisire conoscenze avanzate della teoria dei sistemi dinamici.
Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno acquisito conoscenze teoriche rigorose ed avanzate nel campo della teoria dei sistemi dinamici, con particolare attenzione ai sistemi iperbolici e alle applicazioni in meccanica, come la teoria della stabilità. Inoltre, impareranno parte della teoria generale degli insiemi invarianti iperbolici, con applicazioni a intersezioni omocline, moti caotici e teoria ergodica, nel contesto di sistemi meccanici concreti.
Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) studiare problemi di stabilità dell’equilibrio sia quando questa è riconosciuta dalla parte lineare che con i metodi della teoria di Liapunov; iii) analizzare sistemi planari che presentano fenomeni di auto-oscillazione; iv) formalizzare in problemi concreti i concetti di intersezione di varietà stabile ed instabile ed i connessi fenomeni caotici; v) applicare le tecniche di base della teoria ergodica in problemi concreti.
Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di utilizzare le conoscenze acquisite nell'analisi dei modelli evolutivi non lineari che si presentano nelle scienze applicate.
Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare ed esporre concetti, idee e metodologie della teoria dei sistemi dinamici.
Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di approfondire, in modo individuale ed autonomo, tecniche e metodologie della teoria dei sistemi dinamici.
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| 10593299 | TEORIA DEL CONTROLLO | 2º | 1º | 6 | MAT/05 | ITA |
Obiettivi formativi 1) Conoscenza e capacità di comprensione
Alla fine del corso, lo studente/la studentessa avranno appreso:
a) il concetto di sistema di controllo, di inclusione differenziale e le loro proprietà fondamentali;
b) il concetto di controllo ottimale e le condizioni necessarie e/o sufficienti per la sua esistenza;
c) il legame fra soluzioni ottimali di un sistema di controllo e l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman;
d) il concetto di soluzione di viscosità per l'equazione di Hamilton-Jacobi.
2) Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Alla fine del corso, lo studente/la studentessa sarà in grado di:
a) formulare in termini matematici un problema di ottimizzazione basato su un sistema di controllo;
b) individuare, tramite l'uso del Principio di Massimo di Pontryagin, le eventuali soluzioni ottimali di un problema di controllo ottimo;
c) affrontare l'analisi teorica delle soluzioni ottimali di un problema di controllo ottimo attraverso lo studio dell'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman ad esso associata.
3) Autonomia di giudizio
Durante il periodo delle lezioni verranno proposti problemi da affrontare autonomamente.
Attraverso lo studio in autonomia di questi problemi e il loro successivo svoltimento collegiale in classe, lo studente/la studentessa
acquisirà sia la capacità di valutare le proprie competenze, che la capacità di affrontare un ampio spettro di problemi di controllo ottimo.
4) Abilità comunicative
Lo svolgimento in forma scritta degli esercizi assegnati, sia in classe che durante le prove d'esame, e lo svolgimento della prova orale, permetteranno allo studente/alla studentessa di valutare le proprie capacità di comunicare ad altri, in forma corretta, le conoscenze acquisite durante il corso.
5) Capacità di apprendimento
Alla fine del corso lo studente/la studentessa sarà in grado di affrontare lo studio problemi di controllo e ottimizzazione; tale abilità viene acquisita grazie allo svolgimento dei problemi distribuiti durante il periodo delle lezioni.
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| 1031358 | ALGEBRA SUPERIORE | 2º | 1º | 6 | MAT/02 | ITA |
Obiettivi formativi Obiettivi generali: acquisire conoscenze specialistiche in teoria delle rappresentazioni di algebre di Lie.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito nozioni e i risultati avanzati relativi alla teoria delle rappresentazioni delle algebre di Lie di dimensione finita e avrà acquisito una prima familiarità con i metodi omologici in teoria delle rappresentazioni.
Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di leggere articoli di ricerca relativi agli argomento del corso.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e i loro sviluppi in teoria delle rappresentazioni e algebra omologica.
Capacità comunicative: capacità di esporre in seminari argomenti che utilizzano tecniche e risultati affrontati nel corso.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno l'avviamento alla ricerca in algebra, geometria.
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| 10596056 | METODI MATEMATICI IN MECCANICA QUANTISTICA | 2º | 1º | 6 | MAT/07 | ITA |
Obiettivi formativi Obiettivi generali
Il corso si propone di trasmettere agli studenti una conoscenza approfondita della struttura matematica della Meccanica Quantistica, delle motivazioni storico-critiche che hanno condotto alla sua formulazione e delle relazioni con altre discipline matematiche (analisi funzionale, teoria degli operatori, teoria dei gruppi di Lie e delle loro rappresentazioni unitarie).
Obiettivi specifici
A) Conoscenze e capacità di comprensione
Al temine del corso lo studente avrà acquisito alcune nozioni fondamentali relative alla teoria di Fourier, all'analogia formale tra meccanica classica e ottica geometrica, al percorso storico-critico che ha condotto al superamento della meccanica classica in favore della più generale meccanica quantistica, e alla struttura matematica delle teorie quantistiche. Particolare spazio sarà dedicato agli aspetti dinamici (evoluzione temporale) e all'analisi matematica delle simmetrie dei sistemi fisici considerati (rappresentazioni del gruppo di simmetria del sistema).
B) Capacità di applicare conoscenza e comprensione
La conoscenza della teoria generale sarà completata dall'applicazione delle nozioni generali ad alcuni modelli specifici, e dalla capacità di analizzare le simmetrie e la dinamica di semplici sistemi quantistici. Tra essi una particella in un potenziale lineare, in un potenziale armonico, in un campo magnetico uniforme e in un potenziale Kepleriano (atomo idrogenoide). Lo studente sarà potenzialmente in grado di applicare autonomamente le nozioni acquisite all'analisi di sistemi più complessi, tra cui atomi non-idrogenoidi, molecole e solidi cristallini.
C) Autonomia di giudizio
L'analisi del percorso storico-critico che ha condotto al superamento della meccanica classica in favore della più generale meccanica quantistica condurrà lo studente ad acquisire la capacità di giudicare autonomamente i presupposti concettuali su cui si basa una teoria fisico-matematica, e quindi a comprenderne l'ambito di applicazione e i limiti di validità. In tal modo, lo studente conquisterà la capacità di valutare in modo critico la validità di una teoria fisica, privilegiando un approccio epistemologico apofantico rispetto ad uno apodittico.
Lo studente sarà inoltre in grado di giudicare in autonomia la validità di un enunciato matematico, attraverso la disanima critica delle ipotesi e delle deduzioni che conducono alla dimostrazione rigorosa dell'enunciato stesso, e di
formulare, in modo autonomo, controesempi ad enunciati matematici in cui una delle ipotesi sia negata.
D) Abilità comunicative
Lo studente svilupperà la capacità di comunicare quanto appreso nella redazione di temi d'esame scritti e nell'esposizione svolta nel corso della prova orale. Sarà inoltre guidato a sviluppare la capacità di articolare un discorso in modo logicamente strutturato, distinguendo chiaramente tra ipotesi, procedimento deduttivo e conclusioni.
E) Capacità di apprendimento
Lo studente sarà in grado di identificare i temi più rilevanti delle materie trattate e connettere in modo logico le conoscenze acquisite.
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| 10605830 | FOURIER ANALYSIS | 2º | 1º | 6 | MAT/05 | ENG |
Obiettivi formativi Obiettivi generali: acquisire nozioni di base di analisi armonica relative alla trasformata continua e discreta di Fourier e alle serie di Fourier, e conoscere le principali applicazioni a problemi sia teorici che pratici di tali metodi.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avra' acquisito le principali nozioni su trasformata di Fourier continua e discreta, serie di Fourier, wavelets, e loro uso in alcuni ambiti teorici e pratici (equazioni differenziali, trattamento di immagini, teroia dei segnali).
Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sara' in grado di risolvere problemi di livello base di analisi armonica, avra' acquisito familarita' con trasformate e serie di Fourier, e sara' in grado di applicare tali tecniche alla soluzione di vari problemi concreti.
Capacita' critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per comprendere quando tecniche di analisi armonica possono essere utili come strumenti per la soluzione di problemi in vari ambiti dell'analisi e delle sue applicazioni.
Capacita' comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e rispondere a quesiti teorici.
Capacita' di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso, relativo ad aspetti più avanzati dell'analisi armonica, e di argomenti applicativi piu' specifici.
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| 10605751 | STOCHASTIC CALCULUS AND APPLICATIONS | 2º | 1º | 6 | MAT/06 | ENG |
Obiettivi formativi Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite:Gli studenti conosceranno varie caratterizzazioni del moto Browniano, le proprieta' fondamentali dei processi di diffusioni e i risultati principali del calcolo stocastico, tra i quali la formula di ItoRisultati di apprendimento - Competenze acquisite:Gli studenti saranno in grado di applicare il calcolo stocastico in vari contesti applicativi, dalla finanza matematica, alla fisica e alla biologia.
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| 10605832 | ADVANCED TOPICS IN GEOMETRY | 2º | 1º | 6 | MAT/03 | ENG |
Obiettivi formativi Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base di Geometria Algebrica su un anello qualsiasi.
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria
degli schemi, coomologia di fasci coerenti, teoria delle curve e superfici proiettive.
Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di leggere e comprendere alcuni articoli di ricerca in Geometria Algebrica.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente apprezzera` le analogie tra la Geometria Algebrica classica (sui complessi) e la Teoria dei numeri.
Capacità comunicative: lo studente dovrà avere la capacità di esporre i contenuti del corso, in particolare sapendoli illustrare su esempi concreti.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di dottorato, relativo ad aspetti più avanzati della Geometria Algebrica.
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