Ingegneria Informatica e Automatica

EMILIO DE SANTIS
EMILIO DE SANTIS

Descrittore di Dublino 1.
Al completamento del corso lo studente avrà familiarità con le basi del calcolo delle probabilità, i risultati fondamentali della teoria e i modelli rilevanti nelle applicazioni ingegneristiche. Conoscerà inoltre i concetti fondamentali dell'approccio frequentista all'induzione statistica.

Descrittore di Dublino 2.
Al completamento del corso, lo studente dovrebbe essere in grado di selezionare i modelli da applicare in semplici problemi provenienti dalla pratica ingegneristica e selezionare gli strumenti statistici opportuni per la stima dei parametri e la verifica delle ipotesi sul modello, utilizzando i software statistici di uso più comune.

Descrittore di Dublino 5.
Anche se i concetti sono sempre esposti nelle situazioni più semplici, eventuali difficoltà tecniche connesse all'estensione di tali concetti a situazioni più generali vengono sottolineate mediante distribuzione di materiale ad hoc. Allo stesso modo le problematiche legate ai fondamenti dell'induzione statistica secondo l'approccio frequentista vengono messe in evidenza.

Lo studente dopo il corso avrà conoscenze di base del calcolo delle probabilità e della statistica con la capacità di risolvere esercizi e problemi analoghi a quelli presentati durante il corso. Dal punto di vista teorico si richiede la comprensione dei teoremi presentati a lezione con le relative dimostrazioni. La capacità di risolvere esercizi e problemi nel campo della probabilità e statistica sarà un'abilità che lo studente avrà al superamento dell'esame. Inoltre si svilupperà una capacità critica che permette di distinguere le affermazioni false in campo probabilistico.

I prerequisiti sono la matematica che si insegna alle scuole secondarie superiori. Essendo un corso del primo anno primo semestre non si richiedono conoscenze preliminari di tipo universitario.

Esperimenti casuali. Spazio degli esiti (o spazio dei campioni). Eventi e operazioni insiemistiche. Leggi di De Morgan. Definizione di misura di probabilità. Misura uniforme su spazi degli esiti finiti e calcolo combinatorio. Proprietà e primi teoremi relativi alle probabilità di unioni di eventi e di inclusione fra eventi. Probabilità condizionata: legge delle probabilità composte; probabilità totali. Teorema di Bayes. Indipendenza di due eventi e in una famiglia di eventi. Variabili aleatorie discrete. Distribuzioni di probabilità discrete e densità di probabilità discreta (o funzione di massa). Cenni sulla funzione di ripartizione. Variabili aleatorie due dimensionali. Densità congiunte di due variabili aleatorie definite sullo stesso spazio e densità marginali. Distribuzioni condizionate. Indipendenza tra variabili aleatorie ed eredità della proprietà di indipendenza per trasformazioni di variabili aleatorie. Caratterizzazione dell’indipendenza per variabili aleatorie discrete tramite la densità di probabilità discreta. Valore atteso e propriet` a di linearit`a. Valore atteso condizionato. Teorema sul valore atteso del valore atteso condizionato. Varianza e covarianza. Varianza ottenuta dal valore atteso condizionato. Calcolo della varianza per la somma di variabili aleatorie. Coefficiente di correlazione e sue proprietà. L’esistenza del momento k-esimo implica l’esistenza del momento di ordine inferiore. Teorema di continuità della misura (senza dimostrazione). Variabili aleatorie speciali: Variabile aleatoria di Bernoulli, binomiale, uniforme, ipergeometrica, geometrica, di Pascal (o Bernoulli negativa). Per tutte le variabili aleatorie menzionate si ` e calcolato valore atteso e varianza. Assenza di memoria per la variabile aleatoria geometrica. Minimo fra variabili aleatorie geometriche indipendenti ` e ancora una v.a. geometrica. Successioni di lettere indipendenti e variabili aleatorie geometriche. Variabile aleatoria di Poisson: definizione e prime proprietà. Approssimazione della Binomiale tramite la Poisson. Somma di Poisson indipendenti. Somma di un numero N ∼ Poi(λ) di Bernoulli indipendenti di parametro p. Distribuzione di una Poisson condizionata alla somma di Poisson (collegamento con la binomiale). Funzione generatrice delle probabilità e funzione generatrice dei 1momenti o trasformata di Laplace (cenni del loro utilizzo senza dimostrazioni complete). Disuguaglianza di Markov. Disuguaglianza di Chebyshev. Legge debole dei grandi numeri. Variabile aleatoria uniforme (su un intervallo) e metodo Monte Carlo per calcolare gli integrali (si ` e visto solo per integrali in una dimensione). Cenni sulla distribuzione Gaussiana. Somma di Gaussiane indipendenti. Uso delle tavole Gaussian e standardizzazione di una variabile aleatoria. Cenni al Teorema del limite centrale. Uso dell’approssimazione normale attraverso due tipologie di esercizi. Statistica. Definizione di stimatore. Stimatori non distorti. Stimatore non distorto per media. Stimatore non distorto per varianza nei casi di media nota o ignota. Definizione di intervallo di confidenza. Regressione lineare (cenni senza dimostrazione).

Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze. Autore Sheldon Ross
CALCOLO DELLE PROBABILITA' 2/ED Autore Paolo Baldi

Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze. Autore S. Ross
CALCOLO DELLE PROBABILITA' 2/ED Autore Paolo Baldi

Le lezioni sono separate in parte teorica e a seguire esempi ed esercizi relativi ai teoremi dimostrati. La parte di esercizi scritti sarà incentivata dando degli esercizi settimanali sui quali gli studenti possono esercitarsi e che verranno successivamente corretti in classe.

E' fortemente consigliata la frequenza del corso per avere un maggior coinvolgimento sia nell'apprendimento della parte teorica che nella soluzione degli esercizi proposti.

Gli studenti per passare l'esame dovranno superare una prova scritta che consiste in esercizi e problemi da risolvere usando le conoscenze e le abilità sviluppate durante il corso. Coloro che superano la prova scritta possono richiedere di fare l'orale per migliorare il voto e dovranno esporre gli aspetti teorici presentati a lezione.

Esercizio. Su un tavolo ci sono due urne indistinguibili. Un'urna contiene
8 palline rosse e 16 verdi mentre l'altra urna contiene 25 palline rosse e 50
verdi. Si estraggono 5 palline senza reinserimento da un'urna scelta a caso.
a) Scrivere la la probabilità che si estraggano 5 palline rosse.
b) Calcolare il valore atteso e la varianza del numero di palline rosse estratte.
c) Sapendo che si sono estratte 5 palline rosse calcolare la probabilità che
si stia usando l'urna contenente 75 palline.