Sustainable Building Engineering - Ingegneria per l'Edilizia Sostenibile (sede di Rieti)

emanuele rosatelli

Lo scopo del corso è di introdurre i concetti fondamentali della geometria euclidea con l'uso dell'algebra lineare, e di dare i primi elementi della teoria delle curve con l'uso del calcolo differenziale.

Certamente. Ecco la stesura completa dei Risultati di Apprendimento Attesi (RAA) per il programma di Algebra Lineare, strutturata secondo i Descrittori di Dublino, prima in lingua italiana e a seguire in lingua inglese.

Risultati di Apprendimento Attesi (RAA)
Versione Italiana
1. Conoscenza e capacità di comprensione
Al termine del corso, lo studente dovrà dimostrare di:

Comprendere i concetti di base dei sistemi lineari, inclusi i metodi di risoluzione algoritmica come la riduzione di Gauss.

Conoscere le proprietà degli spazi vettoriali, dei sottospazi e le definizioni di base, dimensione e rango.

Comprendere la teoria delle trasformazioni lineari e il loro legame intrinseco con l'algebra matriciale.

Conoscere il calcolo dei determinanti e la teoria degli autovalori e autovettori per l'analisi delle matrici.

2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente sarà in grado di:

Risolvere sistemi lineari complessi e determinare l'indipendenza lineare di un insieme di vettori.

Calcolare matrici inverse e determinanti per risolvere problemi geometrici e algebrici.

Diagonalizzare matrici quadrate e gestire autovalori complessi e matrici stocastiche.

Applicare le proiezioni ortogonali e il metodo dei minimi quadrati per risolvere problemi di approssimazione di dati.

3. Autonomia di giudizio
Lo studente dovrà sviluppare la capacità di:

Identificare la strategia più efficiente per la risoluzione di un sistema di equazioni.

Valutare l'invertibilità di una matrice e le proprietà di una trasformazione (iniettività/suriettività) basandosi su teoremi fondamentali.

Interpretare criticamente il significato geometrico dei risultati ottenuti (es. volumi, orientazione).

4. Abilità comunicative
Lo studente saprà:

Utilizzare con rigore il linguaggio matematico dell'algebra lineare (es. Span, Kernel, Immagine).

Argomentare formalmente la validità di una proprietà lineare o di una base di uno spazio vettoriale.

5. Capacità di apprendimento
Lo studente acquisirà le basi per:

Approfondire autonomamente applicazioni dell'algebra lineare in ambiti avanzati come il Machine Learning, l'Analisi Numerica o la Meccanica Quantistica.

1. Calcolo Algebrico e Risoluzione di EquazioniLa capacità di manipolare espressioni simboliche è il requisito tecnico più importante.Manipolazione di polinomi: Scomposizione in fattori e prodotti notevoli.Sistemi di equazioni elementari: Saper risolvere sistemi di 2 o 3 equazioni con i metodi di sostituzione e riduzione.Numeri Complessi: Conoscenza di base dell'unità immaginaria $i$ e delle operazioni algebriche tra numeri complessi (fondamentale per lo studio degli autovalori).2. Geometria Analitica e Vettori nel PianoL'algebra lineare è, in gran parte, la generalizzazione della geometria analitica.Vettori nel piano e nello spazio: Rappresentazione grafica, somma di vettori e moltiplicazione per uno scalare.Retta e Piano: Equazioni cartesiane e parametriche della retta; concetto di pendenza e intersezione.Proprietà geometriche: Concetto di parallelismo, perpendicolarità e distanza tra punti.3. Logica e Linguaggio MatematicoIl corso richiede di comprendere e scrivere brevi dimostrazioni.Insiemistica base: Concetti di appartenenza ($\in$), inclusione ($\subset$), unione ($\cup$) e intersezione ($\cap$).Connettivi logici: Implicazione ($\Rightarrow$), doppia implicazione ($\Leftrightarrow$), e i quantificatori universale ($\forall$) ed esistenziale ($\exists$).Funzioni: Definizioni di dominio, immagine, funzione iniettiva, suriettiva e biettiva (fondamentale per le trasformazioni lineari).

1. Sistemi di Equazioni Lineari: Algebra
1.1 Sistemi di Equazioni Lineari
1.2 Riduzione per Righe (Algoritmo di Gauss)
1.3 Forma Parametrica delle Soluzioni

2. Sistemi di Equazioni Lineari: Geometria
2.1 Vettori
2.2 Equazioni Vettoriali e Generazione (Span)
2.3 Equazioni Matriciali
2.4 Insiemi di Soluzioni
2.5 Indipendenza Lineare
2.6 Sottospazi Vettoriali
2.7 Base e Dimensione
2.9 Il Teorema del Rango

3. Trasformazioni Lineari e Algebra Matriciale
3.1 Trasformazioni Matriciali
3.2 Trasformazioni Iniettive (One-to-one) e Suriettive (Onto)
3.3 Trasformazioni Lineari
3.4 Moltiplicazione tra Matrici
3.5 Matrici Inverse
3.6 Il Teorema delle Matrici Invertibili

4. Determinanti
4.1 Definizione di Determinante
4.2 Sviluppo di Laplace (Espansione dei Cofattori)
4.3 Determinanti e Volumi

5. Autovalori e Autovettori
5.1 Autovalori e Autovettori
5.2 Il Polinomio Caratteristico
5.4 Diagonalizzazione
5.5 Autovalori Complessi
5.6 Matrici Stocastiche

6. Ortogonalità
6.1 Prodotto Scalare e Ortogonalità
6.2 Complementi Ortogonali
6.3 Proiezione Ortogonale
6.5 Il Metodo dei Minimi Quadrati

INTERCATIVE LINEAR ALGEBRA - DAN MAGALIT AND JOE RABINOFF

David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Pearson.

Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press.

Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer. (Highly recommended for theoretical depth).

Il corso si articola principalmente in lezioni frontali teoriche in cui vengono presentati i concetti cardine dell'Algebra Lineare. Ogni sessione teorica è seguita da esempi numerici e geometrici per facilitare l'apprendimento.

Sono previste ore dedicate esclusivamente alla risoluzione di esercizi tipo (riduzione di Gauss, calcolo di autovalori, proiezioni ortogonali). Queste sessioni servono a preparare lo studente alla prova scritta.

È fondamentale l'integrazione delle lezioni con lo studio individuale sui testi consigliati. Il docente è disponibile per chiarimenti durante le ore di ricevimento settimanali.

La frequenza alle lezioni frontali e alle esercitazioni è vivamente consigliata. Data la natura sequenziale e propedeutica degli argomenti di Algebra Lineare , la partecipazione costante facilita la comprensione dei passaggi logici e la preparazione graduale all'esame.

Gli studenti che non possono frequentare le lezioni sono tenuti a preparare l'esame utilizzando la bibliografia essenziale e i materiali caricati sulla piattaforma didattica. Si consiglia vivamente di contattare il docente durante le ore di ricevimento per concordare eventuali approfondimenti.

Metodi di Valutazione
L'esame è volto ad accertare il raggiungimento dei RAA attraverso due fasi integrate:

Prova Scritta: Focalizzata sulla Capacità di applicare conoscenza (RAA 2). Include la risoluzione di sistemi lineari, calcolo di determinanti, diagonalizzazione di matrici e problemi di ortogonalità.

Prova Orale: Focalizzata sulla Conoscenza e capacità di comprensione (RAA 1), sull'Autonomia di giudizio (RAA 3) e sulle Abilità comunicative (RAA 4). Verrà richiesta la discussione di teoremi, definizioni e la giustificazione logica dei passaggi algoritmici.

Graduazione del Voto in relazione ai RAA
Il voto finale (espresso in trentesimi) riflette il livello di padronanza dei descrittori di Dublino:

18 – 23 (Sufficiente/Discreto): Lo studente risolve esercizi procedurali standard (es. riduzione di Gauss) ma con limitata autonomia critica. Dimostra una conoscenza base delle definizioni (RAA 1, 2).

24 – 26 (Buono): Lo studente mostra una buona padronanza del calcolo matriciale e sa applicare i teoremi principali. È in grado di collegare i concetti di base e dimensione con il rango (RAA 1, 2, 3).

27 – 29 (Molto Buono): Lo studente risolve problemi complessi (es. minimi quadrati, autovalori complessi) con precisione. Dimostra rigore logico e una terminologia matematica appropriata (RAA 4).

30 e Lode (Eccellente): Lo studente raggiunge pienamente tutti i RAA. Dimostra capacità di astrazione, sa navigare con fluidità tra algebra e geometria e mostra autonomia nel risolvere problemi non convenzionali (RAA 5).

1. Prova Scritta (Focus: Applicazione e Calcolo - RAA 2)Esercizio A: Sistemi e BasiSia dato il sistema lineare $Ax = b$ con:$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 4 \\ 8 \\ 2 \end{bmatrix}$$Ridurre la matrice $A$ in forma a gradini.Determinare una base per il Kernel (Nucleo) di $A$ e la sua dimensione.Il sistema è compatibile? Se sì, scriverne la soluzione in forma parametrica.Esercizio B: DiagonalizzazioneData la matrice $M = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$:Calcolare il polinomio caratteristico e trovare gli autovalori.Determinare gli autovettori associati.La matrice $M$ è diagonalizzabile? Se sì, trovare la matrice $P$ tale che $P^{-1}MP = D$.

2. Prova Orale (Focus: Teoria e Rigore - RAA 1, 3, 4)Domanda Teorica 1: Indipendenza Lineare"Cosa significa che un insieme di vettori $\{v_1, v_2, \dots, v_k\}$ è linearmente indipendente? Se aggiungiamo un vettore che è combinazione lineare degli altri, cosa succede alla dimensione dello Span?"Domanda Teorica 2: Il Teorema del Rango"Enunciare il Teorema del Rango (Rank-Nullity Theorem). Se ho una matrice $A$ di dimensioni $5 \times 7$ e il suo rango è 3, quanti parametri liberi avrà la soluzione del sistema omogeneo $Ax = 0$?"Domanda di Collegamento: Determinanti e Geometria"Qual è il significato geometrico del determinante di una matrice $2 \times 2$? Cosa implica un determinante uguale a zero per quanto riguarda l'invertibilità della matrice e l'iniettività della trasformazione associata?"

• 1. Sistemi di Equazioni Lineari: Algebra1.1 Sistemi di Equazioni Lineari1.2 Riduzione per Righe (Algoritmo di Gauss)1.3 Forma Parametrica delle Soluzioni


• 2. Sistemi di Equazioni Lineari: Geometria2.1 Vettori2.2 Equazioni Vettoriali e Generazione (Span)2.3 Equazioni Matriciali2.4 Insiemi di Soluzioni2.5 Indipendenza Lineare2.6 Sottospazi Vettoriali2.7 Base e Dimensione2.9 Il Teorema del Rango


• 3. Trasformazioni Lineari e Algebra Matriciale3.1 Trasformazioni Matriciali3.2 Trasformazioni Iniettive (One-to-one) e Suriettive (Onto)3.3 Trasformazioni Lineari3.4 Moltiplicazione tra Matrici3.5 Matrici Inverse3.6 Il Teorema delle Matrici Invertibili


• 4. Determinanti4.1 Definizione di Determinante4.2 Sviluppo di Laplace (Espansione dei Cofattori)4.3 Determinanti e Volumi


• 5. Autovalori e Autovettori5.1 Autovalori e Autovettori5.2 Il Polinomio Caratteristico5.4 Diagonalizzazione5.5 Autovalori Complessi5.6 Matrici Stocastiche


• 6. Ortogonalità6.1 Prodotto Scalare e Ortogonalità6.2 Complementi Ortogonali6.3 Proiezione Ortogonale6.5 Il Metodo dei Minimi Quadrati