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Lezione 1 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Introduzione al corso di Geometria. Come prepararsi ad un esame universitario di matematica. Lezione 2 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Insiemi. Operazioni su insiemi: unione, intersezione, complementare. Insieme delle parti. Prodotto cartesiano di due insiemi. Relazioni. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza. Esempi. Relazione di congruenza. Esercizi. [Cap 1.1, 1.2, 1.3] Lezione 3 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Funzioni o applicazioni, Iniettive, Suriettive, Biettive. Dominio, immagine, controimmagine, permutazioni. Composizione di applicazioni. [Cap 1.4, 1.5] Lezione 4 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Funzione identità. Funzione inversa. Funzioni invertibili. Definizione di operazione binaria. Principio di induzione. [Cap 1.6, 1.7] Lezione 5 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) I numeri reali. I numeri complessi. Coniugato. Modulo. Operazioni sui numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. [Cap 1.8, 1.9, 1.10] Lezione 6 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Formula di DeMoivre. Radici n-esime di un numero complesso. Nozione di spazio vettoriale Rn. Operazioni su n-ple di numeri reali. Combinazione lineare di vettori di Rn. Vettori linearmente dipendenti e proprietà. [Cap. 1.10, 2.1, 2.2] Lezione 7 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Vettori linearmente indipendenti. Sottospazio vettoriale. Generatori di un sottospazio. Base di un sottospazio. Dimensione di un sottospazio. Ogni vettore di un sottospazio è combinazione lineare dei vettori di una base in modo unico. Base canonica o standard di Rn. [Cap. 2.3, 2.4] Lezione 8 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Prodotto scalare tra vettori di Rn. Matrici. Ordine di una matrice. Trasposta di una matrice. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Struttura di spazio vettoriale per matrici dello stesso ordine. [Cap. 3.1, 3.2] Lezione 9 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Algoritmo di riduzione di Gauss (Gauss-Jordan). Forma a gradini di una matrice. Forma a gradini ridotta. Soluzione di un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari sulle equazioni di un sistema. Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Pivot. [Cap. 3.3, 3.4] Lezione 10 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Equazioni lineari. Soluzione di un’equazione lineare. Sistemi lineari. Soluzione di un sistema. Sistemi equivalenti. Matrice del sistema, matrice completa del sistema. Matrici equivalenti per righe. Unicità della forma a gradini ridotta di una matrice. Rango per pivot di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Moltiplicazione righe per colonne di una matrice. Alcune proprietà della moltiplicazione: non commutatività. Matrici nilpotenti. [Cap. 3.4, 3.5, 3.6] Lezione 11 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Invertibilità di una matrice. Definizione di matrice identità e di matrice inversa. Algoritmo di inversione. Inversa del prodotto di due matrici. [Cap. 3.6] Lezione 12 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Proprietà delle matrici invertibili. Condizioni equivalenti all’invertibilità e dimostrazione. [Cap. 3.6] Lezione 13 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Matrici elementari. Introduzione al concetto di determinante. Definizione mediante prodotti competenti e segno secondo la parità della permutazione. [Cap. 3.6, 3.8] Lezione 14 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Cofattori o complementi algebrici. Primo e secondoTeorema di Laplace. Proprietà dei determinanti secondo le operazioni elementari. Legame tra invertibilità di una matrice e valore del determinante. [Cap. 3.8] Lezione 15 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Teorema di Binet. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Matrice aggiunta. Formula per la matrice inversa. Regola di Cramer. [Cap. 3.8] Lezione 16 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Invertibilità di una matrice e indipendenza delle sue righe e colonne. Spazio delle righe e spazio delle colonne di una matrice. Rango per righe e rango per colonne. Rango per minori. Teorema degli orlati. Coincidenza dei ranghi. Rango di una matrice. [Cap. 3.8] Lezione 17 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Come trovare una base per lo spazio delle colonne di una matrice. Alcuni esercizi per la risoluzione di un sistema lineare in dipendenza da un parametro e mediante la regola di Cramer. [Cap. 3.8, 3.9] Lezione 18 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Introduzione e motivazione per la diagonalizzazione di matrici. Definizioni. Autovettori e autovalori. Polinomio caratteristico e equazione caratteristica. [Cap. 4.1, 4.2] Lezione 19 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Diagonalizzabilità in relazione a una base costituita da autovettori. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono indipendenti. Molteplicità algebrica e geometrica. Esempi di matrici non diagonalizzabili. [Cap. 4.2] Lezione 20 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Criterio sufficiente per la diagonalizzazione (autovalori distinti). Criterio necessario e sufficiente. Matrici Simili. Proprietà delle matrici simili. Traccia e determinante di una matrice come coefficienti del polinomio caratteristico. Teorema di Cayley-Hamilton . Calcolo dell’inversa e delle potenze di una matrice quadrata mediante il teorema di Cayley-Hamilton. [Cap. 4.3] Lezione 21 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Vettori liberi o geometrici come classi di equipollenza. Operazioni sui vettori liberi e struttura di spazio vettoriale su V2. Significato geometrico di dipendenza e indipendenza lineare. Due vettori di V2 sono dipendenti se e solo se sono paralleli. Tre o più vettori sono sempre dipendenti. Sistema di riferimento cartesiano nel piano. Rappresentazione cartesiana di vettori. Coordinate di un vettore libero. Prodotto scalare e suo significato geometrico. [Cap. 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.7] Lezione 22 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Parallelismo tra vettori. Proiezione ortogonale e coefficiente di Fourier. Versore e normalizzazione di un vettore. Formula intrinseca per il prodotto scalare. Formula per il coseno dell’angolo tra due vettori. Punto medio di un segmento. Area di un triangolo. [Cap. 5.6, 5.7, 5.8, 5.9] Lezione 23 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Equazione cartesiana di una retta. Varie forme dell’equazione. Parametri direttori e coseni direttori di una retta. Significato geometrico dei coseni direttori. Angolo tra due rette. Scelta di una orientazione su una retta. [Cap. 5.10, 5.11, 5.14, 5.15] Lezione 24 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Intersezione e parallelismo di rette. Fasci propri e impropri di rette. Equazioni parametriche di una retta. Condizione di perpendicolarità. Forma ridotta di una retta. Coefficiente angolare. Espressione delle condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tramite il coefficiente angolare. [Cap. 5.12, 5.13, 5.15] Lezione 25 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Distanza punto-retta. Cambiamenti di riferimento nel piano. Sistemi equiversi e contraversi. Matrice del cambiamento. Definizione di matrice ortogonale. [Cap. 5.16, 5.17] Lezione 26 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Cambiamento di coordinate di punto. Matrici ortogonali. Esercizi. La circonferenza. [5.17, 6.1] Lezione 27 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Ancora sulla circonfrenza. Introduzione alle coniche. Luoghi geometrici determinati da un fuoco F, una direttrice d, una eccentricità e. Caso dell’ellisse. [6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5] Lezione 28 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Ancora su equazioni canoniche di ellisse, iperbole, parabola. Esercizi. [6.4,6.5,6.6] [Capitolo 6 del libro di esercizi] Lezione 29 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Classificazione delle coniche. Coniche generali e coniche degeneri. Coniche generali a centro. Centro di simmetria e assi di simmetria. Asintoti di un’iperbole. [7.1, 7.2, 7.4] Lezione 30 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Asse di simmetria di una parabola. Riduzione a forma canonica di coniche generali. [7.3,7.5] Lezione 31 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Metodo degli invarianti. Ampliamento del piano e punti impropri. Equazioni in coordinate omogenee. [7.6, 7.7] Lezione 32 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Coniche classificate mediante i punti all’infinito. Ricerca di punti doppi e coniche degeneri. Centro di una conica. [7.7,7.8] Lezione 33 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Curve piane. Curve in coordinate polari. Equazioni delle coniche in coordinate polari. La cardioide. Equazioni parametriche di curve piane. Introduzione alla geometria dello spazio. [Cap 8] Lezione 34 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Orientazione dello spazio: terne equiverse e contraverse. Definizione di prodotto vettoriale. Formula per il calcolo del prodotto vettoriale. Significato geometrico del modulo del prodotto vettoriale. [Cap. 9.1, 9.2] Lezione 35 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Prodotto misto e suo significato geometrico. Equazione cartesiana di un piano. Parallelismo tra piani. Parametri di giacitura. Vettore normale al piano. Euqazioni cartesiane di una retta nello spazio. [9.3, 9.4, 9.5, 9.6, 9.7] Lezione 36 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Formule per i parametri direttori di una retta nello spazio. Parallelismo di rette. Complanarità di rette, rette sghembe. [9.8, 9.9, 9.10] Lezione 37 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Mutue posizioni di rette. Stelle e fasci di rette. Parallelismo retta-piano. Perpendicolarità retta –piano. Distanza punto-piano, tra due piani, tra rette parallele, punto –retta , tra rette sghembe. [9.11, 9.12, 9.14, 9.15, 9.18] Lezione 38 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Metodo dei punti mobili. Retta perpendicolare e incidente a due rette sghembe. Angoli: tra due rette, tra due piani, tra piano e retta. [9.13, 9.16, 9.17] Lezione 39 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Sfera. Quadriche in forma canonica. Qualche esempio di quadrica degenere: cono e cilindro. [9.19, 9.20] Lezione 40 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Introduzione alla nozione astratta di spazio vettoriale. Vari esempi. Equazioni cartesiane di sottospazi di Rn. Base e dimensione. Lemma dello scambio di Steinitz (con dimostrazione). [10.1, 10.2, 10.3, 10.4] Lezione 41 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Operazioni sui sottospazi: somma e intersezione. Relazione di Grassmann (senza dim.). Somma diretta di sottospazi. [10.5] Lezione 42 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Introduzione alle trasformazioni lineari. Definizione e vari esempi: rotazione, proiezione ortogonale, riflessione. Esempi di matrici corrispondenti. Definizione di nucleo e immagine di una trasformazione. Il nucleo è un sottospazio. [11.1,11.2,11.3] Lezione 43 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) L’immagine di una applicazione lineare è un sottospazio. Calcolo del nucleo e dell’immagine e relazione con i sistemi lineari. Monomorfismi e nucleo nullo. Teorema delle dimensioni (con dimostrazione). [11.3] Lezione 44 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Dimostrazione del Teorema delle dimensioni. Corollario. Coordinate di un vettore rispetto ad una base ordinata. [11.3] Lezione 45 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Modello universale di spazio vettoriale. Matrici associate ad una trasformazione lineare. [11.4, 11.5] Lezione 46 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Matrice della composizione di due applicazioni. Matrice di cambiamento di base. Legame tra due matrici di uno stesso endomorfismo. Definizione di determinante di un endomorfismo, traccia di un endomorfismo, autovettori e autovalori di un endomorfismo. [11.5, 11.6, 11.7] Lezione 47 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Endomorfismi e Diagonalizzazione. Dimostrazione della relazione tra due matrici di uno stesso endomorfismo. Nozioni metriche. Procedimento di Gram-Schmidt. [11.8, 12.1] Lezione 48 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Disuguaglianza di Schwarz. Complemento ortogonale di un sottospazio. Somma diretta di un sottospazio e del suo complemento ortogonale. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Sviluppo di Fourier. [12.1] Lezione 49 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Teorema di approssimazione. Proprietà importanti delle matrici simmetriche. Diagonalizzazione ortogonale. Teorema degli Assi Principali. [12.2] Lezione 50 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Forme quadratiche. Definizione di forme quadratiche definite positive, definite negative, semidefinite, indefinite. Loro caratterizzazione mediante il Teorema degli assi principali. Caratterizzazione mediante i minori principali (senza dim.). [12.3] Lezione 51 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Metodo dei minimi quadrati. Equazioni normali.Relazione tra il rango di una matrice A e di ATA. Invertibilità di ATA. Pseudoinversa di A. Matrice standard della proiezione ortogonale su un sottospazio. Introduzione agli spazi euclidei generali. [12.4, 12.6] Lezione 52 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Nozione generale di spazio euclideo e di prodotto scalare. Vari esempi. Definizione di base ortogonale. Procedimento di Gram-Schmidt. Polinomi interpolatori di Lagrange. [12.6] Lezione 53 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Una applicazione dei polinomi di Lagrange. Matrice di un prodotto scalare. Definizione di curva parametrica. Curva semplice e curva regolare. [12.7, 13.1, 13.2, 13.3] Lezione 54 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Curve piane e curve sghembe. Curve regolari a tratti. Lunghezza di una curva. Elica. Astroide. Rette secanti e tangenti. Piano osculatore. [13.4, 13.5, 13.9] Lezione 55 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame. Lezione 56 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame. Lezione 57 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame. Lezione 58 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame. Lezione 59 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame. Lezione 60 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame.

Prerequisiti di matematica solitamente acquisiti nella scuola secondaria: geometria elementare, algebra (polinomi, equazioni, disequazioni), trigonometria

S. Capparelli – A. Del Fra: Geometria, Nuova edizione, (Esculapio, 2015) S. Capparelli: Esercitazioni di Geometria, Esculapio, 2019

Il corso si svolge mediante lezioni frontali del docente che contengono sia una presentazione motivata della materia di studio sia, contemporanemente, una necessaria esemplificazione ed esercitazione. Le due cose (presentazione di materiale nuovo ed esercitazione) procedono di pari passo.

La frequenza è facoltativa

Nella prova scritta della durata di 2-3 ore ci sara' un congruo numero di esercizi riguardanti LE NOZIONI DI BASE DELL’ALGEBRA LINEARE (MATRICI, DETERMINANTI, SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI, SPAZI VETTORIALI, APPLICAZIONI LINEARI) E DELLA GEOMETRIA ANALITICA IN DIMENSIONE DUE E TRE (RETTE, PIANI, CENNI ALLE CURVE E SUPERFICI, CONICHE E QUADRICHE). Ci potranno essere anche esercizi che richiedano LA TRADUZIONE ANALITICA DI SEMPLICI PROBLEMI E LA INTERPRETAZIONE DI RISULTATI ALGEBRICI o piccole dimostrazioni che evidenzino la comprensione del materiale e la capacità di applicare la conoscenza. Segue poi una interrogazione orale facoltativa per coloro che hanno superato pienamente la prova scritta e aspirano al voto massimo. La prova scritta è da considerarsi come prova di ammissione alla prova orale. Il voto finale non è una media tra i due voti ma l'espressione numerica di un giudizio complessivo.

S. Capparelli – A. Del Fra: Geometria, Nuova edizione, (Esculapio, 2015) S. Capparelli: Esercitazioni di Geometria, Esculapio, 2019

Il corso si svolge mediante lezioni frontali del docente che contengono sia una presentazione motivata della materia di studio sia, contemporanemente, una necessaria esemplificazione ed esercitazione. Le due cose (presentazione di materiale nuovo ed esercitazione) procedono di pari passo.