Frequentare

EUGENIO MONTEFUSCO
EUGENIO MONTEFUSCO

OBIETTIVI GENERALI:
Il corso intende fornire gli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili necessari per la comprensione delle principali discipline scientifiche, con particolare attenzione alle scienze fisiche.

OBIETTIVI SPECIFICI:
A - Conoscenza e capacità di comprensione
OF 1) Conoscere i principi del calcolo differenziale e integrale in più variabili
OF 2) Conoscere la teoria dei campi vettoriali e delle forme differenziali lineari
OF 3) Comprendere la teoria di base delle equazioni differenziali

B – Capacità applicative
OF 4) Trattare problemi che coinvolgono funzioni scalari di più variabili (ad es: ottimizzazione; calcolo di aree e volumi), campi vettoriali (ad es.: calcolo del lavoro e del flusso) ed equazioni differenziali (ad es. risoluzione e studio qualitativo delle soluzioni)

C - Autonomia di giudizio
OF 5) Avere gli strumenti essenziali per successivi approcci all'analisi funzionale, alla teoria di una variabile complessa, alla teoria della misura, alla meccanica Quantistica.
OF 6) Saper affrontare autonomamente nuovi problemi, applicando gli strumenti
matematici appresi a fenomeni o processi che si incontreranno nel corso di studi e nelle attività lavorative successive.

D – Abilità nella comunicazione
OF 7) Saper comunicare utilizzando propriamente il linguaggio matematico

E - Capacità di apprendere
OF 8) Approfondire in modo autonomo alcuni argomenti introdotti durante il corso

Il corso intende fornire gli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili necessari per la comprensione delle principali discipline scientifiche, con particolare attenzione alle scienze fisiche.
A - Conoscenza e capacità di comprensione
OF1. Conoscere i principi del calcolo differenziale e integrale in più variabili
OF2. Conoscere la teoria dei campi vettoriali e delle forme differenziali lineari
OF3. Comprendere la teoria di base delle equazioni differenziali
B – Capacità applicative
OF4. Trattare problemi che coinvolgono funzioni scalari di più variabili (ad es: ottimizzazione; calcolo di aree e volumi), campi vettoriali (ad es.: calcolo del lavoro e del flusso) ed equazioni differenziali (ad es. risoluzione e studio qualitativo delle soluzioni)
C - Autonomia di giudizio
OF5. Avere gli strumenti essenziali per successivi approcci all'analisi funzionale, alla teoria di una variabile complessa, alla teoria della misura, alla meccanica Quantistica.
OF6. Saper affrontare autonomamente nuovi problemi, applicando gli strumenti
matematici appresi a fenomeni o processi che si incontreranno nel corso di studi e nelle attività lavorative successive.
D – Abilità nella comunicazione
OF7. Saper comunicare utilizzando propriamente il linguaggio matematico
E - Capacità di apprendere
OF8. Approfondire in modo autonomo alcuni argomenti introdotti durante il corso.

Il corso richiede familiarità con la teoria delle funzioni reali di variabile reale, sviluppata nel corso di "Analisi I" e con alcuni aspetti dell'Algebra Lineare affrontati nel corso di "Geometria". Non sono previste propedeuticità.

Elementi di topologia in R^n.. Funzioni di più variabili. Funzioni continue, derivate direzionali, differenziabilità e formula di derivazione delle funzioni composte. Teorema del differenziale totale, derivate seconde e teorema di Schwarz. Formula di Taylor in più variabili. Massimi e minimi liberi per funzioni di più variabili.
Teorema di Dini o teorema delle funzioni implicite, estremi vincolati: teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
Curve, parametrizzazioni e sostegno di una curva. Integrali curvilinei di una funzione scalare. Lavoro di un campo vettoriale. Rotore di un campo vettoriale, campi vettoriali irrotazionali. Campi vettoriali conservativi. Forme differenziali lineari chiuse ed esatte. Insiemi semplicemente connessi. Relazione tra campi conservativi e irrotazionali. Campi conservativi in domini con lacune.
Misura di Lebesgue e integrale di Lebesgue in più variabili. Funzioni integrabili in senso improprio secondo Riemann e funzioni sommabili secondo Lebesgue. Integrali doppi e tripli e formule di riduzione. Cambiamento di variabili negli integrali doppi e tripli. Teorema di Guldino per il volume di solidi di rotazione.
Convergenza, in varie norme, di successioni di funzioni. Convergenza di serie di funzioni con particolare attenzione alle serie di potenze.
Superfici regolari. Piano tangente, versore normale e superfici orientabili. Area di superfici. Teorema di Guldino per l’area di superfici di rotazione. Integrali di superficie. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Formule di Gauss-Green. Divergenza e rotore di campi vettoriali nello spazio. Teoremi della divergenza e del rotore (di Stokes) nel piano e nello spazio.
Richiami su equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Equazioni a variabili separabili, equazioni di Bernoulli, equazioni autonome. Problema di Cauchy: esistenza e unicità in piccolo, soluzione massimale, studio qualitativo di equazioni differenziali.

C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica II, Springer 2014.
F. Lanzara, E. Montefusco, Esercizi svolti di Analisi Vettoriale e complementi di teoria, Kindle Direct Publishing 2023.
J.J. Callahan, Advanced Calculus A Geometric View, Springer 2010.
S.J. Colley, Vector Calculus, Pearson 2012.

E. Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri 1989.
J.J. Callahan, Advanced Calculus A Geometric View, Springer 2010.
M. Giaquinta, G. Modica, Mathematical Analysis Foundations and Advanced Techniques for Functions of Several Variables, Springer 2012.

Lezioni di teoria (40 ore) ed esercitazioni (48 ore). Settimanalmente verranno assegnati esercizi da svolgere a casa, poi discussi in aula.

La partecipazione alle lezioni è fortemente consigliata, ma non obbligatoria.

L'esame mira a valutare l'apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa due ore e può essere sostituita da due prove intermedie, entrambe della durata di due ore, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda immediatamente a fine corso.
Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. La studentessa e lo studente devono dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente dei principali argomenti trattati durante il corso, e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 con lode, lo studente e la studentessa devono invece dimostrare di aver acquisito un’ottima conoscenza di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di usarli in modo logico e coerente, oltre a saper svolgere correttamente gli esercizi assegnati.

esempi di prove scritte e domande d'esame sono reperibili nel canale e-learning del corso.