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ANDREA TERRACINA
ANDREA TERRACINA

OBIETTIVI GENERALI:
Il corso intende fornire gli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili necessari per la comprensione delle principali discipline scientifiche, con particolare attenzione alle scienze fisiche.

OBIETTIVI SPECIFICI:
A - Conoscenza e capacità di comprensione
OF 1) Conoscere i principi del calcolo differenziale e integrale in più variabili
OF 2) Conoscere la teoria dei campi vettoriali e delle forme differenziali lineari
OF 3) Comprendere la teoria di base delle equazioni differenziali

B – Capacità applicative
OF 4) Trattare problemi che coinvolgono funzioni scalari di più variabili (ad es: ottimizzazione; calcolo di aree e volumi), campi vettoriali (ad es.: calcolo del lavoro e del flusso) ed equazioni differenziali (ad es. risoluzione e studio qualitativo delle soluzioni)

C - Autonomia di giudizio
OF 5) Avere gli strumenti essenziali per successivi approcci all'analisi funzionale, alla teoria di una variabile complessa, alla teoria della misura, alla meccanica Quantistica.
OF 6) Saper affrontare autonomamente nuovi problemi, applicando gli strumenti
matematici appresi a fenomeni o processi che si incontreranno nel corso di studi e nelle attività lavorative successive.

D – Abilità nella comunicazione
OF 7) Saper comunicare utilizzando propriamente il linguaggio matematico

E - Capacità di apprendere
OF 8) Approfondire in modo autonomo alcuni argomenti introdotti durante il corso

OBIETTIVI GENERALI:
Il corso intende fornire gli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili necessari per la comprensione delle principali discipline scientifiche, con particolare attenzione alle scienze fisiche.

OBIETTIVI SPECIFICI:
A - Conoscenza e capacità di comprensione
OF 1) Conoscere i principi del calcolo differenziale e integrale in più variabili
OF 2) Conoscere la teoria dei campi vettoriali e delle forme differenziali lineari
OF 3) Comprendere la teoria di base delle equazioni differenziali

B – Capacità applicative
OF 4) Trattare problemi che coinvolgono funzioni scalari di più variabili (ad es: ottimizzazione; calcolo di aree e volumi), campi vettoriali (ad es.: calcolo del lavoro e del flusso) ed equazioni differenziali (ad es. risoluzione e studio qualitativo delle soluzioni)

C - Autonomia di giudizio
OF 5) Avere gli strumenti essenziali per successivi approcci all'analisi funzionale, alla teoria di una variabile complessa, alla teoria della misura, alla meccanica Quantistica.
OF 6) Saper affrontare autonomamente nuovi problemi, applicando gli strumenti
matematici appresi a fenomeni o processi che si incontreranno nel corso di studi e nelle attività lavorative successive.

D – Abilità nella comunicazione
OF 7) Saper comunicare utilizzando propriamente il linguaggio matematico

E - Capacità di apprendere
OF 8) Approfondire in modo autonomo alcuni argomenti introdotti durante il corso

Il corso richiede familiarità con la teoria delle funzioni reali di variabile reale, sviluppata nel corso di Analisi. Non ci sono propedeuticità.

Elementi di topologia in R^N. Funzioni di più variabili. Funzioni continue, derivate direzionali, differenziabilità e formula di derivazione delle funzioni composte.

Teorema del differenziale totale, derivate seconde e teorema di Schwarz. Formula di Taylor in più variabili. Massimi e minimi liberi per funzioni di più variabili.

Teorema di Dini o teorema delle funzioni implicite, estremi vincolati: teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

Curve, parametrizzazioni e sostegno di una curva. Integrali curvilinei di una funzione scalare.

Lavoro di un campo vettoriale. Rotore di un campo vettoriale, campi vettoriali irrotazionali. Campi vettoriali conservativi. Forme differenziali lineari chiuse ed esatte. Insiemi semplicementi connessi. Relazione tra campi conservativi e irrotazionali. Campi conservativi in domini con lacune.

Successioni uniformemente convergenti e continuità della funzione limite. Convergenza di serie di funzioni: puntuale, uniforme, assoluta, totale. Serie di potenze.

Misura di Lebesgue e integrale di Lebesgue in più variabili. Funzioni integrabili in senso improprio secondo Riemann e funzioni sommabili secondo Lebesgue. Integrali doppi e tripli e formule di riduzione. Cambiamento di variabili negli integrali doppi e tripli. Teorema di Guldino per il volume di solidi di rotazione.

Superfici regolari. Piano tangente, versore normale e superfici orientabili. Area di superfici. Teorema di Guldino per l’area di superfici di rotazione. Integrali di superficie. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie.

Formule di Gauss-Green. Divergenza di un campo vettoriale. Teoremi della divergenza e del rotore (o di Stokes) nel piano e nello spazio.

Richiami su equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Equazioni a variabili separabili, equazioni di Bernoulli, equazioni di Eulero, equazioni autonome. Problema di Cauchy: esistenza e unicità in piccolo, soluzione massimale, studio qualitativo di equazioni differenziali.

N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore
F. Lanzara, E. Montefusco, Esercizi svolti di Analisi Vettoriale e complementi di teoria - Edizioni La Dotta 2017

E. Giusti: Analisi Matematica 2 – Casa Editrice Bollati Boringhieri 1989
C. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2 – Casa Editrice Zanichelli 2009

Lezioni di teoria (48 ore) ed esercitazioni (36 ore). Settimanalmente vengono assegnati esercizi da svolgere a casa.

La partecipazione alle lezioni è consigliata, ma non obbligatoria.

L'esame mira a valutare l'apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni)
e una prova orale (consistente nella discussione dei temi illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa due ore e mezza e può essere sostituita da due prove intermedie, entrambe della durata di due ore,
la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda immediatamente a fine corso.
Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente dei principali argomenti trattati durante il corso, e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati.

Per conseguire un punteggio pari a 30/30 con lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente, oltre a saper svolgere correttamente tutti gli esercizi assegnati.

Nella pagina elearning dedicata al corso ci saranno esempi di domande di esame, in particolare verranno caricati vecchi compiti di esame