Economia e finanza

MARIA GIUSEPPINA BRUNO

Il corso ha come principale obiettivo quello di fornire le basi matematiche per la comprensione e formalizzazione delle materie economiche, finanziarie ed aziendali oggetto del corso di laurea nonché gli strumenti quantitativi necessari per lo sviluppo delle relative applicazioni.
Il corso copre argomenti che solitamente fanno parte del programma di matematica svolto nei licei scientifici o negli istituiti sperimentali con indirizzo quantitativo ma ne arricchisce i contenuti con dimostrazioni e considerazioni teoriche atte a rendere la materia meno mnemonica e meno meccanica e nel contempo più facilmente accessibile anche a chi ha una diversa provenienza e formazione.
Il corso presuppone la conoscenza di alcuni argomenti preliminari di insiemistica, algebra e geometria analitica e tratta invece in particolare i seguenti argomenti: risoluzione di sistemi di equazioni lineari; studio di funzione reale di una variabile reale; calcolo integrale; introduzione allo studio di funzioni reali di più variabili reali.

A. Conoscenza e capacità di comprensione

Gli studenti che supereranno l’esame conosceranno le definizioni, i concetti e i metodi di calcolo oggetto del programma, ma soprattutto i ragionamenti logico-intuitivi, le dimostrazioni e le interpretazioni geometriche necessarie per la comprensione del loro concreto significato e la loro applicazione. Conosceranno in particolare: la definizione di sistema di equazioni lineari e il teorema fondamentale per la loro soluzione; la definizione di funzione reale di una variabile reale e le caratteristiche delle diverse tipologie di funzioni; i concetti di limite, derivata e integrale e i relativi teoremi, proprietà e modalità di calcolo; la definizione di funzione reale di più variabili reali e il calcolo delle derivate parziali.

B. Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Gli studenti che supereranno l’esame sapranno impostare e risolvere un sistema di equazioni lineari e sapranno discuterne il risultato al variare di un dato parametro; saranno in grado di studiare i principali “caratteri” di una funzione (quali, per esempio, esistenza, segno, comportamento agli estremi, continuità, derivabilità, crescenza e decrescenza, concavità e convessità, integrabilità), di rappresentarne graficamente il comportamento e di risolvere alcuni problemi geometrici collegati; saranno in grado infine di calcolare le derivate parziali di una funzione reale di più variabili reali.

C. Autonomia di giudizio

Gli studenti svilupperanno l'attitudine al ragionamento matematico, l'abilità nell'uso del linguaggio formale, la capacità di argomentare la validità di un risultato sulla base di una dimostrazione rigorosa e la capacità di interpretare e spiegare un fenomeno attraverso una rappresentazione grafica.

D. Abilità comunicative

L’esame consiste in una prova scritta e in una prova orale. Gli studenti che supereranno l’esame sapranno quindi risolvere gli esercizi assegnati in sede di prova scritta ma anche discuterne all’orale il relativo svolgimento. Sapranno in particolare motivare i metodi di calcolo utilizzati e giustificare e interpretare i risultati ottenuti attraverso un esplicito richiamo agli argomenti teorici oggetto del programma.

E. Capacità di apprendimento

Gli studenti disporranno delle basi matematiche necessarie per sostenere gli altri esami di area quantitativa previsti dal corso di laurea triennale, ma anche gli strumenti utili per formalizzare, comprendere, spiegare e risolvere alcuni semplici problemi oggetto degli insegnamenti delle altre aree.

A. Conoscenza e capacità di comprensione
Gli studenti che supereranno l’esame conosceranno i metodi e gli strumenti di calcolo relativi a tutti gli argomenti oggetto del programma, avranno appreso i ragionamenti logico-intuitivi e le dimostrazioni rigorose alla base della loro costruzione e saranno in grado di comprendere il significato dei relativi risultati. Più nel dettaglio, conosceranno i principi teorici dell’algebra lineare, dell’analisi matematica e del calcolo integrale. Conosceranno la definizione di vettore e matrice e avranno acquisito gli strumenti matematici e computazionali per la formalizzazione, soluzione e interpretazione dei risultati di sistemi di equazioni lineari numerici e parametrici. Conosceranno il concetto di funzione reale di una sola variabile reale e le caratteristiche delle principali funzioni elementari e avranno appreso i teoremi, gli strumenti e le metodologie di calcolo utili per l’analisi del comportamento di funzioni composte. Conosceranno in particolare il concetto, il significato e i metodi di calcolo di dominio, limite e derivata e sapranno servirsene per giungere ad una rappresentazione grafica completa. Conosceranno il metodo di approssimazione mediante polinomio di Taylor e la metodologia di calcolo delle derivate parziali di primo e secondo ordine di funzioni reali di due o più variabili reali. Avranno appreso i concetti di integrale indefinito, integrale definito e funzione integrale e ne conosceranno i metodi risolutivi analitici.
B. Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Gli studenti che supereranno l’esame sapranno: eseguire le principali operazioni con i vettori e le matrici; calcolare il rango di un insieme di vettori e studiare la dipendenza e indipendenza lineare tra essi; calcolare il determinante di una matrice quadrata e la caratteristica di una matrice generica; discutere e, quando possibile, risolvere sistemi di equazioni lineari numerici e parametrici e soprattutto interpretarne i risultati; calcolare limiti e derivate di funzioni reali di una sola variabile reale, svolgerne uno studio analitico completo e sintetizzarne i risultati attraverso una immagine grafica; approssimare una funzione mediante polinomio di Taylor; calcolare le derivate parziali di primo e secondo ordine di funzioni reali di due o più variabili reali; applicare diversi metodi risolutivi analitici per il calcolo degli integrali indefiniti e definiti e calcolare e studiare le funzioni integrali.
C. Autonomia di giudizio
Gli studenti matureranno la capacità di formalizzare autonomamente un problema economico in termini matematici e di spiegarlo, giustificarlo e interpretarne i risultati rigorosamente. Sapranno impostare un sistema di equazioni lineari e discuterne il risultato al variare di un dato parametro; sapranno avvalersi dello studio di funzioni per spiegare la dinamica dei sistemi economici e finanziari, analizzarne la sensibilità a variabili strategiche e formulare previsioni riguardo la possibile evoluzione futura; sapranno servirsi della teoria e dei metodi analitici di risoluzione degli integrali per costruire metodi risolutivi più generali di tipo numerico e affrontare problemi di natura aleatoria. Avranno più in generale sviluppato l’attitudine al ragionamento logico-matematico, l'abilità nell'uso del linguaggio formale, la capacità di argomentare la validità di un risultato sulla base di una dimostrazione rigorosa e la capacità di interpretare e spiegare un fenomeno attraverso una rappresentazione grafica; tutti aspetti utili in qualsiasi ambito applicativo.
D. Abilità comunicative
L’esame prevede una prova scritta e una, eventuale, successiva prova orale. In entrambi i casi, gli studenti dovranno argomentare le risposte e dimostrare di aver appreso i concetti teorici alla base dei calcoli, usando in maniera appropriata la terminologia e simbologia. Gli studenti che supereranno l’esame sapranno quindi risolvere gli esercizi oggetto della prova scritta e mostrarne il relativo svolgimento. In sede di prova orale, dovranno motivare i metodi di calcolo utilizzati e giustificare e interpretare i risultati ottenuti attraverso un esplicito richiamo ai teoremi e agli argomenti teorici oggetto del programma.
E. Capacità di apprendimento
Gli studenti disporranno delle basi matematiche indispensabili per sostenere gli altri esami di area quantitativa previsti dal Corso di Laurea, ma anche degli strumenti utili per tradurre in termini matematici, risolvere, comprendere e spiegare problemi oggetto degli insegnamenti di altre aree.

Il corso presuppone la conoscenza dei seguenti argomenti preliminari:
- cenni di teoria degli insiemi e calcolo logico;
- potenze, radicali, logaritmi, esponenziali;
- fattorizzazione di polinomi e divisione tra polinomi;
- risoluzione di equazioni e disequazioni algebriche di diverso grado;
- risoluzione di equazioni e disequazioni con radicali, logaritmi ed esponenziali;
- risoluzioni di sistemi di disequazioni;
- geometria analitica (retta, parabola, iperbole).
I suddetti argomenti saranno comunque sempre brevemente richiamati durante le lezioni e potranno essere oggetto di approfondimento, insieme agli altri, durante l’orario di ricevimento. Esercizi riguardanti i predetti argomenti potranno inoltre essere svolti durante le attività di tutorato (esercitazioni e gruppi di studio) organizzate dalla Facoltà parallelamente al corso.

Durante il corso, verranno trattati i seguenti argomenti:
- algebra lineare: vettori, matrici, soluzione di sistemi di equazioni lineari numerici e parametrici; (circa 3 settimane)
- funzioni reali di una sola variabile reale: funzioni elementari e composte; dominio, intersezione con gli assi, segno, comportamento agli estremi, crescenza e decrescenza, concavità e convessità, grafico, differenziale, approssimazione mediante polinomio di Taylor; funzioni reali di due variabili reali: cenni al calcolo delle derivate parziali di primo e secondo ordine; (circa 7 settimane)
- integrali: integrali indefiniti, integrali immediati, metodi di integrazione esatta, integrali definiti, funzione integrale. (circa 2 settimane)
Il programma dettagliato sarà pubblicato dalla docente al termine delle lezioni sulla propria pagina web.

Testi di riferimento di teoria ed esercizi
- Blasi A. (2012), Matematica corso base – Teoria ed esercizi, Balzanelli Editore.
- Giorgi G., Molho E. (2015), Elementi di matematica, Giappichelli Editore.
Altri testi consigliati di esercizi
- Attias A., Ferroni P. (2012), Introduzione alla attività matematica. 700 esercizi svolti, CISU Edizioni.
- Castellani M., Gozzi F. (2010), Matematica di base per l’Economia e l’Azienda. Esercizi e testi d’esame svolti, Società editrice Esculapio.
- Guerraggio A. (2020), Matematica, Pearson.
- Salsa S., Squellati A. (2023), Esercizi di Analisi matematica 1 e Algebra lineare, Zanichelli.

Le lezioni ordinarie si svolgono interamente in presenza in modalità frontale/tradizionale. Eventuali lezioni integrative ed esercitazioni saranno svolte dalla docente in presenza o da remoto (in sincrono tramite piattaforma Zoom o Meet e/o sotto forma di videoregistrazioni o altro materiale didattico reso disponibile su piattaforma e-learning Moodle). Altre esercitazioni e prove di autovalutazione saranno organizzate dalla docente su piattaforma e-learning Moodle.

La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente consigliata.

L’esame prevede una prova scritta e una eventuale successiva prova orale, entrambe da svolgersi in presenza. La prova scritta consisterà in domande a risposta multipla e/o a risposta aperta sull’intero programma e si svolgerà in aula informatica su piattaforma Moodle. Le domande avranno carattere numerico e/o teorico-pratico e richiederanno lo svolgimento di calcoli e ragionamenti logici. Pertanto le risposte dovranno essere apposte sul computer ma lo svolgimento di ciascun esercizio dovrà essere riportato su carta, su fogli distribuiti dalla docente, da consegnare al termine della prova. Chi conseguirà il voto massimo alla prova scritta avrà la possibilità di scegliere se sostenere o meno una prova orale integrativa. L’eventuale prova orale si svolgerà in presenza in data successiva a quella dello scritto e consisterà in esercizi e/o domande teoriche su un qualsiasi argomento in programma.
Oltre alla completezza del compito e alla correttezza dei risultati e delle risposte, concorrono alla formazione del giudizio finale: l’ordine; l’uso appropriato della simbologia e della terminologia; la formalizzazione e la descrizione sintetica dei procedimenti risolutivi; il commento, la coerenza e la rappresentazione dei risultati; la chiarezza espositiva, il rigore logico-formale; la padronanza dei ragionamenti teorici e la capacità di sintesi.

Si veda corso Moodle Matematica corso base 2025-26, chiave di accesso 2526bcpv.

• Settimana 1    Introduzione al corso; programma e argomenti
  preliminari; modalità di svolgimento dell’esame.  Richiami su insiemi di numeri; richiami di teoria degli
  insiemi; richiami di calcolo logico. Definizione di vettore a n componenti; uguaglianza tra vettori; spazio
  vettoriale di dimensione n; operazioni con i vettori.


• Settimana 2  Dipendenza lineare di un vettore da altri; dipendenza e
  indipendenza lineare tra vettori nel loro insieme; Teorema fondamentale
  dell’algebra lineare; rango di un insieme di vettori. Definizione di matrice (mxn); matrici quadrate di
  ordine n; matrici rettangolari; matrice trasposta; operazioni con le matrici. Determinante di una matrice quadrata; regola di Laplace.


• Settimana 3        Caratteristica di una matrice; procedimento di calcolo;
  legame tra caratteristica e rango. Numero di minori di ordine k estraibili da una matrice;
  richiami di calcolo combinatorio; calcolo della caratteristica di matrici
  parametriche. Sistemi di m equazioni lineari in n incognite; significato di “soluzione”;
  problema di esistenza e unicità; Teorema di Rouchè-Capelli – prima parte.


• Settimana 4 Teorema di Rouchè-Capelli – seconda parte; regola di
  Cramer; verifica. Sistemi parametrici. Intervalli; intorno simmetrico di un punto; piano cartesiano.


• Settimana 5 Funzione reale di una sola variabile reale; punti di
  uno studio di funzioni, definizioni e grafico. Funzioni elementari: funzioni polinomio di primo grado. Funzioni elementari: funzioni potenza con esponente intero positivo;
  funzioni polinomio di secondo grado; funzioni polinomio di grado qualunque; funzioni
  irrazionali semplici;


• Settimana 6  Funzioni elementari: funzioni potenza con esponente
  intero negativo; funzioni esponenziali semplici; funzioni logaritmiche semplici. Funzioni razionali intere e fratte; funzioni fratte
  generiche; funzioni composte. Studio primi 3 punti di funzioni composte.


• Settimana 7      Limiti: definizione e interpretazione geometrica;
  asintoti. Limiti: continuità e discontinuità; teoremi; regola di
  calcolo e verifica. Limiti: infinitesimi e infiniti; forma indeterminata infinito su
  infinito.


• Settimana 8      Limiti: forma indeterminata infinito meno infinito;
  forma indeterminata zero su zero; altre forme indeterminate; limiti notevoli. Studio primi 4 punti di funzioni composte. Rapporto incrementale; derivata prima di una funzione; derivate
  successive.


• Settimana 9  Regole di derivazione. Crescenza e decrescenza; punti stazionari; massimi e
  minimi relativi. Concavità e convessità; flessi.


• Settimana 10 Studio completo di funzioni composte. Derivabilità e non derivabilità; singolarità; studio di
  funzioni con modulo e di funzioni definite a tratti; studio qualitativo di
  funzioni. Regola di De L’Hospital; differenziale; approssimazione di una funzione
  mediante polinomio di Taylor.


• Settimana 11  Funzioni reali in due variabili reali: derivate
  parziali di primo e secondo ordine. Primitiva di una funzione; integrale indefinito; regole
  di integrazione immediata e loro generalizzazione. Integrali per decomposizione in somma, per sostituzione e con altre
  manipolazioni algebriche.


• Settimana 12    Regola di integrazione per parti; integrale definito;
  proprietà degli integrali definiti. Funzione integrale; regola di calcolo degli integrali
  definiti; studio di funzione integrale; area racchiusa tra due curve.Teoremi: Weierstrass, esistenza zeri; valori intermedi (con
  dimostrazione); Rolle (con dimostrazione), Cauchy (con dimostrazione); Lagrange
  (con dimostrazione); media integrale (con dimostrazione); Torricelli-Barrow
  (con dimostrazione); funzione integrale composta.