Economia e finanza

CLAUDIA CECI

Il corso ha come principale obiettivo quello di fornire le basi matematiche per la comprensione e formalizzazione delle materie economiche, finanziarie ed aziendali oggetto del corso di laurea nonché gli strumenti quantitativi necessari per lo sviluppo delle relative applicazioni.
Il corso copre argomenti che solitamente fanno parte del programma di matematica svolto nei licei scientifici o negli istituiti sperimentali con indirizzo quantitativo ma ne arricchisce i contenuti con dimostrazioni e considerazioni teoriche atte a rendere la materia meno mnemonica e meno meccanica e nel contempo più facilmente accessibile anche a chi ha una diversa provenienza e formazione.
Il corso presuppone la conoscenza di alcuni argomenti preliminari di insiemistica, algebra e geometria analitica e tratta invece in particolare i seguenti argomenti: risoluzione di sistemi di equazioni lineari; studio di funzione reale di una variabile reale; calcolo integrale; introduzione allo studio di funzioni reali di più variabili reali.

A. Conoscenza e capacità di comprensione

Gli studenti che supereranno l’esame conosceranno le definizioni, i concetti e i metodi di calcolo oggetto del programma, ma soprattutto i ragionamenti logico-intuitivi, le dimostrazioni e le interpretazioni geometriche necessarie per la comprensione del loro concreto significato e la loro applicazione. Conosceranno in particolare: la definizione di sistema di equazioni lineari e il teorema fondamentale per la loro soluzione; la definizione di funzione reale di una variabile reale e le caratteristiche delle diverse tipologie di funzioni; i concetti di limite, derivata e integrale e i relativi teoremi, proprietà e modalità di calcolo; la definizione di funzione reale di più variabili reali e il calcolo delle derivate parziali.

B. Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Gli studenti che supereranno l’esame sapranno impostare e risolvere un sistema di equazioni lineari e sapranno discuterne il risultato al variare di un dato parametro; saranno in grado di studiare i principali “caratteri” di una funzione (quali, per esempio, esistenza, segno, comportamento agli estremi, continuità, derivabilità, crescenza e decrescenza, concavità e convessità, integrabilità), di rappresentarne graficamente il comportamento e di risolvere alcuni problemi geometrici collegati; saranno in grado infine di calcolare le derivate parziali di una funzione reale di più variabili reali.

C. Autonomia di giudizio

Gli studenti svilupperanno l'attitudine al ragionamento matematico, l'abilità nell'uso del linguaggio formale, la capacità di argomentare la validità di un risultato sulla base di una dimostrazione rigorosa e la capacità di interpretare e spiegare un fenomeno attraverso una rappresentazione grafica.

D. Abilità comunicative

L’esame consiste in una prova scritta e in una prova orale. Gli studenti che supereranno l’esame sapranno quindi risolvere gli esercizi assegnati in sede di prova scritta ma anche discuterne all’orale il relativo svolgimento. Sapranno in particolare motivare i metodi di calcolo utilizzati e giustificare e interpretare i risultati ottenuti attraverso un esplicito richiamo agli argomenti teorici oggetto del programma.

E. Capacità di apprendimento

Gli studenti disporranno delle basi matematiche necessarie per sostenere gli altri esami di area quantitativa previsti dal corso di laurea triennale, ma anche gli strumenti utili per formalizzare, comprendere, spiegare e risolvere alcuni semplici problemi oggetto degli insegnamenti delle altre aree.

Conoscenza e comprensione:
Lo studente sarà in grado di conoscere i concetti fondamentali di derivazione e integrazione per funzioni di una variabile reale e i concetti fondamentali dell'algebra lineare per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Lo studente sarà in grado di risolvere problemi per via analitica.

Autonomia di giudizio:
Lo studente sarà in grado di riconoscere la metodologia utilizzata per la risoluzione di problemi di matematica di base (analisi e algebra lineare)

Abilità comunicative:
Lo studente sarà in grado di descrivere con linguaggio sufficientemente tecnico gli argomenti appresi durante il corso.

Capacità di apprendimento:
Lo studente sarà in grado di comprendere le principali applicazioni dell’analisi matematica e dell’algebra lineare in ambito economico e finanziario.

Matematica delle scuole superiori: algebra elementare – potenze ad esponente reale – radicali – logaritmi – equazioni e disequazioni – geometria analitica del piano – cenni di teoria degli insiemi.

Durante il corso verranno trattati in maniera ampia e approfondita gli argomenti elencati di seguito.
ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE: vettori e matrici, operazioni con vettori e matrici – dipendenza e indipendenza lineare tra vettori e rango di un insieme di vettori – determinante di una matrice quadrata, caratteristica o rango di una matrice.
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI: Teorema di Rouché-Capelli e Teorema di Cramer – soluzione di sistemi numerici e parametrici – sistemi lineari omogenei.
NUMERI: numeri reali e retta reale naturali, interi, razionali, irrazionali – natura e cardinalità degli insiemi –maggioranti, minoranti, massimi e minimi di un insieme – intervalli –intorno di un punto, insiemi aperti e chiusi, punti di accumulazione per un insieme.
FUNZIONI REALI DI UNA SOLA VARIABILE REALE: funzione e rappresentazione cartesiana di una funzione – funzioni elementari (retta, parabola, cubica, iperbole, esponenziale, logaritmiche) – segno, monotonia e invertibilità delle funzioni – Funzioni potenza, polinomiali, razionali fratte – funzione valore assoluto – funzioni composte.
STUDIO DI FUNZIONI: limiti, continuità, derivabilità, massimi e minimi di una funzione, punti di flesso, asintoti, polinomio di Taylor e di Mc Laurin.
INTEGRALI: definizione e proprietà, integrali definiti e indefiniti, significato geometrico, funzione integrale – calcolo di integrali, integrali immediati, metodi di integrazione.
FUNZIONI A VALORI REALI DI PIU' VARIABILI: calcolo delle derivate parziali.

Il programma dettagliato sarà pubblicato al termine delle lezioni.

A.Guerraggio Matematica, Pearson, 2020

F. Cesarone, M. Corradini, L. Lampariello: Matematica
generale, Giappichelli

Il materiale del corso: slides delle lezioni, dispense scritte dal docente, avvisi sul tutorato (esercitazioni e gruppi di studio), sono disponibili al link
https://classroom.google.com/c/ODA2MzIzMTM5ODUx?hl=it&cjc=tkzytpkv

Quiz d'esame sono disponibili su corso Moodle Matematica corso base 2025-26
https://elearning.uniroma1.it/login/index.php, chiave di accesso: 2526bcpv.

Il corso è impartito in maniera tradizionale con lezioni frontali volte principalmente all’illustrazione e spiegazione dei concetti formali della teoria e degli strumenti quantitativi di rappresentazione e risoluzione di problemi. Per le nozioni teoriche i concetti vengono definiti e caratterizzati in maniera rigorosa, spiegando anche cosa significa dimostrare un risultato (teorema, proprietà, caratterizzazione) attraverso l’argomentazione di un ragionamento logico-matematico. Una parte dei risultati presentati a lezione vengono accertati formalmente illustrando la relativa dimostrazione. Ogni concetto teorico introdotto viene illustrato nella sua applicazione pratica attraverso esempi ed esercizi svolti in classe.
In parallelo alle lezioni vengono erogate delle esercitazioni.

Per questo insegnamento è altamente consigliata la frequenza delle lezioni ai fini di una comprensione piena degli argomenti teorici del programma. Lo studente che frequenta le lezioni ha la possibilità di vedere gli argomenti illustrati e commentati dal docente in aula e ha la facoltà di intervenire, durante o alla fine della lezione, per porre eventuali domande.
La frequenza e la partecipazione attiva alle lezioni e alle esercitazioni potenzia le capacità di ragionamento e apprendimento e permette allo studente di capire come si illustra un argomento formale attraverso un ragionamento basato su implicazioni logiche.
Per gli studenti che non possono seguire le lezioni, verrà prodotto materiale integrativo (su teoria e esercizi) disponibile e scaricabile dalle pagine web dedicate all’insegnamento.

L'esame mira ad accertare il possesso delle conoscenze teoriche trasmesse durante il corso e delle capacità di utilizzare tali conoscenze per formalizzare, analizzare e risolvere problemi pratici. È fondamentale nella prova d’esame verificare che lo studente abbia acquisito sia le nozioni teoriche sia le capacità pratiche di analisi e di ragionamento, unitamente alle non meno importanti capacità di presentazione e argomentazione di un risultato.
La prova d’esame è finalizzata alla valutazione delle capacità acquisite dallo studente sotto due aspetti diversi: 1) l’aspetto pratico di applicazione degli strumenti logico-matematici per la risoluzione di problemi; 2) la conoscenza dal punto di vista teorico di tali strumenti e delle loro proprietà.
L’esame prevede una prova scritta.

- Discussione di un sistema lineare numerico e parametrico;
- Studio di funzione (dominio, segno, limiti, massimi e minimi, rappresentazione grafica);
- Calcolo di integrali indefiniti immediati, quasi-immediati e regole di integrazione per parti e per sostituzione; Calcolo integrali definiti;
- Calcolo dello sviluppo di Taylor;
- Calcolo delle derivate parziali di una funzione di più variabili.

• Introduzione al corso: informazioni, programma, modalità
  d’esame
  
  Insiemi, operazioni sugli insiemi e loro proprietà.
  
  L’insieme dei numeri naturali, interi, razionali e reali.
  
  Estremo inferiore,
  superiore, massimo e minimo di un insieme. Esempi  


• Spazi vettoriali. Operazioni tra vettori: somma e
  moltiplicazione per uno scalare e loro proprietà.
  
  Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Prodotto
  scalare e norma di un vettore.
  
  Rango di un
  insieme di vettori. Esempi. Matrici. Operazioni tra matrici:
  
  somma,
  moltiplicazione per uno scalare.  


• Moltiplicazione righe per colonne tra matrici.
  
  Determinante di una matrice quadrata, metodo di Laplace
  (complementi algebrici).
  
  e metodo di Sarrus (valido solo per matrici 3x3).Proprietà
  dei determinanti.
  
  Richiami sull’equazione di una retta del piano e
  introduzione ai sistemi lineari di 2 equazioni e 2 incognite e loro
  interpretazione geometrica.
  
  Risoluzione analitica di sistemi lineari di 2 equazioni e 2
  incognite.  Il Teorema di Cramér.
  
  Caratteristica o Rango di una matrice.  


• Il metodo di Kronécher per il calcolo del rango di una
  matrice.
  
  Il Teorema di Rouchè-Capelli, esempi.
  
  Connessione con la nozione di rango di un insieme di
  vettori.
  
  Esercizi sui sistemi lineari. I sistemi lineari parametrici.  


• Il concetto di funzione, dominio e codominio.  Funzioni reali a valori reali: il grafico di
  una funzione.  Funzioni pari e funzioni
  dispari, esempi. Funzioni iniettive e funzioni invertibili. Funzioni crescenti
  e decrescenti. Composizione di funzioni. Le funzioni elementari. La funzione
  potenza e le sue proprietà.  


• La funzione l’esponenziale e le sue proprietà. La funzione
  logaritmo e le sue proprietà. Esercizi sulle disequazioni esponenziali e
  logaritmiche.
  
  Definizione di limite unitaria e dettagliata per i diversi
  casi. Asintoti verticali e
  orizzontali. Limiti delle funzioni elementari. Verifica tramite la
  definizione.  


• Teorema di unicità del limite. Il teorema della permanenza del segno. Il teorema del
  confronto o dei 2 carabinieri. Le operazioni con i limiti e le forme
  indeterminate. Esempi.
  
  Gli infiniti.
  Ordine di un infinito. Il teorema sugli infiniti. I limiti notevoli. Gli
  asintoti obliqui. Esercizi sugli asintoti di una funzione e le forme
  indeterminate infinito-infinito.  


• Esercizi
  sugli asintoti. Gli infinitesimi: le forme indeterminate 0/0. Esempi.
  
  Limiti
  notevoli. Definizione di continuità.
  Classificazione dei punti di discontinuità.Teorema di Weierstrass. Teorema di
  esistenza degli zeri. 
  
  Teorema  dei valori
  intermedi. Il concetto di derivata. Significato geometrico. Calcolo diretto
  della derivata delle funzioni elementari.  


• Regole di derivazione, dimostrazione della derivata della
  somma e del prodotto e della funzione composta. 
  Esercizi sul calcolo delle derivate e sulla determinazione
  dell’equazione della retta tangente al grafico di una funzione. Definizione di
  massimo e minimo relativo.
  
  Teorema di Fermat, di Rolle, Lagrange e Cauchy.
  
  Criterio di
  monotonia. Massimi e minimi relativi.   


• Criterio di
  monotonia. Massimi e minimi relativi.
  
  Teorema di De
  L’Hopital, derivate successive, funzioni convesse e concave. Criterio di
  convessità.  


• Definizione di primitiva di una funzione. Definizione di
  integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati e quasi immediati. Metodi
  d’integrazione per parti e per sostituzione. 
  Integrali di funzioni razionali tramite decomposizione in somma.
  
  Costruzione dell’integrale definito: somme inferiori e somme
  superiori. Proprietà dell’integrale definito. 
  Il teorema del valor medio integrale.    


• Il Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula per
  il calcolo dell’integrale definito. Esercizi sugli integrali definiti, calcolo
  di aree.
  
  La formula di
  Taylor con il resto di Peano e di Lagrange. Calcolo delle derivate parziali di
  una funzione di più variabili.