Economia e finanza

DAVIDE PETTURITI

Il corso ha come principale obiettivo quello di fornire le basi matematiche per la comprensione e formalizzazione delle materie economiche, finanziarie ed aziendali oggetto del corso di laurea nonché gli strumenti quantitativi necessari per lo sviluppo delle relative applicazioni.
Il corso copre argomenti che solitamente fanno parte del programma di matematica svolto nei licei scientifici o negli istituiti sperimentali con indirizzo quantitativo ma ne arricchisce i contenuti con dimostrazioni e considerazioni teoriche atte a rendere la materia meno mnemonica e meno meccanica e nel contempo più facilmente accessibile anche a chi ha una diversa provenienza e formazione.
Il corso presuppone la conoscenza di alcuni argomenti preliminari di insiemistica, algebra e geometria analitica e tratta invece in particolare i seguenti argomenti: risoluzione di sistemi di equazioni lineari; studio di funzione reale di una variabile reale; calcolo integrale; introduzione allo studio di funzioni reali di più variabili reali.

A. Conoscenza e capacità di comprensione

Gli studenti che supereranno l’esame conosceranno le definizioni, i concetti e i metodi di calcolo oggetto del programma, ma soprattutto i ragionamenti logico-intuitivi, le dimostrazioni e le interpretazioni geometriche necessarie per la comprensione del loro concreto significato e la loro applicazione. Conosceranno in particolare: la definizione di sistema di equazioni lineari e il teorema fondamentale per la loro soluzione; la definizione di funzione reale di una variabile reale e le caratteristiche delle diverse tipologie di funzioni; i concetti di limite, derivata e integrale e i relativi teoremi, proprietà e modalità di calcolo; la definizione di funzione reale di più variabili reali e il calcolo delle derivate parziali.

B. Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Gli studenti che supereranno l’esame sapranno impostare e risolvere un sistema di equazioni lineari e sapranno discuterne il risultato al variare di un dato parametro; saranno in grado di studiare i principali “caratteri” di una funzione (quali, per esempio, esistenza, segno, comportamento agli estremi, continuità, derivabilità, crescenza e decrescenza, concavità e convessità, integrabilità), di rappresentarne graficamente il comportamento e di risolvere alcuni problemi geometrici collegati; saranno in grado infine di calcolare le derivate parziali di una funzione reale di più variabili reali.

C. Autonomia di giudizio

Gli studenti svilupperanno l'attitudine al ragionamento matematico, l'abilità nell'uso del linguaggio formale, la capacità di argomentare la validità di un risultato sulla base di una dimostrazione rigorosa e la capacità di interpretare e spiegare un fenomeno attraverso una rappresentazione grafica.

D. Abilità comunicative

L’esame consiste in una prova scritta e in una prova orale. Gli studenti che supereranno l’esame sapranno quindi risolvere gli esercizi assegnati in sede di prova scritta ma anche discuterne all’orale il relativo svolgimento. Sapranno in particolare motivare i metodi di calcolo utilizzati e giustificare e interpretare i risultati ottenuti attraverso un esplicito richiamo agli argomenti teorici oggetto del programma.

E. Capacità di apprendimento

Gli studenti disporranno delle basi matematiche necessarie per sostenere gli altri esami di area quantitativa previsti dal corso di laurea triennale, ma anche gli strumenti utili per formalizzare, comprendere, spiegare e risolvere alcuni semplici problemi oggetto degli insegnamenti delle altre aree.

* Conoscenza e comprensione: Lo studente sarà in grado di conoscere i concetti fondamentali di derivazione e integrazione per funzioni di una variabile reale e i concetti fondamentali dell'algebra lineare per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari.

* Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente sarà in grado di risolvere problemi per via analitica.

* Autonomia di giudizio: Lo studente sarà in grado di riconoscere la metodologia utilizzata per la risoluzione di problemi di matematica di base (analisi e algebra lineare).

* Abilità comunicative: Lo studente sarà in grado di descrivere con linguaggio sufficientemente tecnico gli argomenti appresi durante il corso.

* Capacità di apprendimento: Lo studente avrà la capacità di comprendere i principali aspetti teorici di base dell’analisi matematica e dell’algebra lineare.

Il corso presuppone che lo studente possegga le nozioni matematiche basilari, trattate in tutte le scuole secondarie superiori. In particolare, il calcolo algebrico, la risoluzione di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, e fratte.

Durante il corso verranno trattati in maniera ampia e approfondita gli argomenti elencati di seguito.

ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE: vettori e matrici, operazioni con vettori e matrici – dipendenza e indipendenza lineare tra vettori e rango di un insieme di vettori – determinante di una matrice quadrata, caratteristica o rango di una matrice.

SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI: Teorema di Rouché-Capelli e Teorema di Cramer – soluzione di sistemi numerici e parametrici – sistemi lineari omogenei.

NUMERI: numeri reali e retta reale naturali, interi, razionali, irrazionali – natura e cardinalità degli insiemi – maggioranti, minoranti, massimi e minimi di un insieme – intervalli – intorno di un punto, insiemi aperti e chiusi, punti di accumulazione per un insieme.

FUNZIONI REALI DI UNA SOLA VARIABILE REALE: funzione e rappresentazione cartesiana di una funzione – funzioni elementari (retta, parabola, cubica, iperbole, esponenziale, logaritmiche) – segno, monotonia e invertibilità delle funzioni – Funzioni potenza, polinomiali, razionali fratte – funzione valore assoluto – funzioni composte.

STUDIO DI FUNZIONI: limiti, continuità, derivabilità, massimi e minimi di una funzione, punti di flesso, asintoti, polinomio di Taylor e di Mc Laurin.

INTEGRALI: definizione e proprietà, integrali definiti e indefiniti, significato geometrico, funzione integrale – calcolo di integrali, integrali immediati, metodi di integrazione.

FUNZIONI A VALORI REALI DI PIU' VARIABILI REALI: calcolo delle derivate parziali.

Il programma dettagliato sarà pubblicato al termine delle lezioni.

A. Guerraggio. Matematica. Edizione MyLab Pearson.

Altro materiale didattico sarà caricato sulla pagina del corso nella piattaforma Moodle:
https://elearning.uniroma1.it/course/view.php?id=19825

Altri testi consigliati:
* A. Blasi. Matematica corso base. Balzanelli Editore.
* L. Peccati, S. Salsa, M.A. Squellati. Matematica per l'economia e l'azienda. Egea.
* A. Attias, P. Ferroni. Introduzione alla attività matematica. CISU Edizioni.

Il corso è impartito in maniera tradizionale con lezioni frontali volte principalmente all’illustrazione e spiegazione dei concetti formali della teoria e degli strumenti quantitativi di rappresentazione e risoluzione di problemi. Per le nozioni teoriche i concetti vengono definiti e caratterizzati in maniera rigorosa, spiegando anche cosa significa dimostrare un risultato (teorema, proprietà, caratterizzazione) attraverso l’argomentazione di un ragionamento logico-matematico. Una parte dei risultati presentati a lezione vengono accertati formalmente illustrando la relativa dimostrazione. Ogni concetto teorico introdotto viene illustrato nella sua applicazione pratica attraverso esempi ed esercizi svolti in classe.

In parallelo alle lezioni vengono erogate delle esercitazioni.

Per questo insegnamento è altamente consigliata la frequenza delle lezioni ai fini di una comprensione piena degli argomenti teorici del programma. Lo studente che frequenta le lezioni ha la possibilità di vedere gli argomenti illustrati e commentati dal docente in aula e ha la facoltà di intervenire, durante o alla fine della lezione, per porre eventuali domande.

La frequenza e la partecipazione attiva alle lezioni e alle esercitazioni potenzia le capacità di ragionamento e apprendimento e permette allo studente di capire come si illustra un argomento formale attraverso un ragionamento basato su implicazioni logiche.

Per gli studenti che non possono seguire le lezioni, verrà prodotto materiale integrativo (su teoria e esercizi) disponibile e scaricabile dalle pagine web dedicate all’insegnamento.

L'esame mira ad accertare il possesso delle conoscenze teoriche trasmesse durante il corso e delle capacità di utilizzare tali conoscenze per formalizzare, analizzare e risolvere problemi pratici. È fondamentale nella prova d’esame verificare che lo studente abbia acquisito sia le nozioni teoriche sia le capacità pratiche di analisi e di ragionamento, unitamente alle non meno importanti capacità di presentazione e argomentazione di un risultato.

La prova d’esame è finalizzata alla valutazione delle capacità acquisite dallo studente sotto due aspetti diversi:
1) l’aspetto pratico di applicazione degli strumenti logico-matematici per la risoluzione di problemi;
2) la conoscenza dal punto di vista teorico di tali strumenti e delle loro proprietà.

L’esame consiste in una prova scritta con eventuale prova orale.

ESEMPIO 1:
Dato l'insieme di vettori
v1 = [1, 0, 1, 5], v2 = [1, -1, 3, 0], v3 = [3, -2, 7, 5], v4 = [0, 1, -3, -2]
dire, motivando la risposta per iscritto nei fogli allegati, quale delle seguenti affermazioni è corretta:
a) il rango è 4
b) i vettori sono proporzionali
c) il rango è 3
d) i vettori sono linearmente indipendenti
e) il rango è 5

ESEMPIO 2:
Data la seguente funzione
f(x) = (x^2 + 1) / (x^2 - 1)
dire, motivando la risposta per iscritto nei fogli allegati, quale delle seguenti affermazioni è corretta:
a) f ha un asintoto verticale per x -> 2+
b) f ha un asintoto orizzontale per x -> +infinito
c) f ha un asintoto obliquo per x -> - infinito
d) f non ha asintoti orizzontali
e) f non ha asintoti verticali

ESEMPIO 3:
Data la seguente funzione
f(x) = 3x / (x^2 + 1)
dire, motivando la risposta per iscritto nei fogli allegati, quale delle seguenti affermazioni è corretta:
a) l'integrale definito di f da -2 e 2 è positivo
b) l'integrale definito di f da -2 e 2 è 0
c) l'integrale definito di f da -2 e 2 non è calcolabile
d) l'integrale definito di f da -2 e 2 è negativo
e) l'integrale definito di f da -2 e 2 non esiste

• SETTIMANA 1: Introduzione
  al corso: informazioni, programma, modalità d’esame. Insiemi, operazioni sugli insiemi e loro proprietà.
  
  L’insieme dei numeri naturali, interi, razionali e reali.
  
  Estremo inferiore, superiore, massimo e minimo di un
  insieme.


• SETTIMANA 2: Spazi vettoriali. Operazioni tra
  vettori: somma e moltiplicazione per uno scalare e loro proprietà. Vettori
  linearmente dipendenti e indipendenti. Prodotto scalare e norma di un vettore.
  Rango di un insieme di vettori. Esempi. Matrici. Operazioni tra matrici: somma,
  moltiplicazione per uno scalare.


• SETTIMANA 3: Moltiplicazione righe per colonne
  tra matrici.  Determinante di una matrice
  quadrata, metodo di Laplace e metodo di Sarrus (valido solo per matrici 3x3).
  Proprietà dei determinanti.  Richiami
  sull’equazione di una retta del piano e introduzione ai sistemi lineari di 2
  equazioni e 2 incognite e loro interpretazione geometrica. Risoluzione
  analitica di sistemi lineari di 2 equazioni e 2 incognite.  Il Teorema di Cramér.  Caratteristica o Rango di una matrice.


• SETTIMANA 4: Il metodo di Kronecker per il calcolo del rango di una matrice. Il Teorema di Rouché-Capelli, esempi. Connessione con la nozione di rango di un insieme di vettori. Esercizi sui sistemi lineari. I sistemi lineari parametrici. 


• SETTIMANA 5: Il concetto di funzione, dominio e codominio.  Funzioni reali a valori reali: il grafico di una funzione.  Funzioni pari e funzioni dispari, esempi. Funzioni iniettive e funzioni invertibili. Funzioni crescenti e decrescenti. Composizione di funzioni. Le funzioni elementari. La funzione potenza e le sue proprietà.


• SETTIMANA 6: 
  La funzione l’esponenziale e le sue proprietà. La funzione logaritmo e le sue proprietà. Esercizi sulle disequazioni esponenziali e logaritmiche. Definizione di limite unitaria e dettagliata per i diversi casi. Asintoti verticali e orizzontali. Limiti delle funzioni elementari. Verifica tramite la definizione.


• SETTIMANA 7: Teorema di unicità del limite. Il teorema della permanenza del segno. Il teorema del confronto o dei due carabinieri. Le operazioni con i limiti e le forme indeterminate. Esempi. Gli infiniti. Ordine di un infinito. Il teorema sugli infiniti. I limiti notevoli. Gli asintoti obliqui. Esercizi sugli asintoti di una funzione e le forme indeterminate infinito-infinito.


• SETTIMANA 8: Esercizi sugli asintoti. Gli infinitesimi: le forme indeterminate 0/0. Esempi. Limiti notevoli. Definizione di continuità. Classificazione dei punti di discontinuità. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Il concetto di derivata. Significato geometrico. Calcolo diretto della derivata delle funzioni elementari.


• SETTIMANA 9: Regole di derivazione, dimostrazione della derivata della somma e del prodotto e della funzione composta.  Esercizi sul calcolo delle derivate e sulla determinazione dell’equazione della retta tangente al grafico di una funzione. Definizione di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat, di Rolle, Lagrange e Cauchy. Criterio di monotonia. Massimi e minimi relativi.


• SETTIMANA 10: Criterio di monotonia. Massimi e minimi relativi. Teorema di De L’Hopital, derivate successive, funzioni convesse e concave. Criterio di convessità.


• SETTIMANA 11: Definizione di primitiva di una funzione. Definizione di integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati e quasi immediati. Metodi d’integrazione per parti e per sostituzione.  Integrali di funzioni razionali tramite decomposizione in somma.  Costruzione dell’integrale definito: somme inferiori e somme superiori. Proprietà dell’integrale definito.  Il teorema del valor medio integrale.


• SETTIMANA 12: Il Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula per il calcolo dell’integrale definito. Esercizi sugli integrali definiti, calcolo di aree. La formula di Taylor con il resto di Peano e di Lagrange. Calcolo delle derivate parziali di una funzione di più variabili.