Finanza e assicurazioni - Finance and insurance

MASSIMILIANO FREZZA

ll corso fornisce agli studenti le conoscenze matematiche avanzate necessarie per l’analisi quantitativa dei fenomeni economici e finanziari e per la costruzione di modelli interpretativi e previsivi. Gli studenti approfondiranno la teoria delle trasformazioni lineari e l’analisi di autovalori e autovettori, utili per la rappresentazione e la sintesi di dati economico-finanziari complessi; lo studio delle funzioni di più variabili e delle tecniche di ottimizzazione, impiegate per analizzare problemi di allocazione delle risorse e di gestione dei portafogli; apprenderanno i metodi risolutivi per le equazioni differenziali ordinarie, applicate alla modellizzazione dinamica di tassi di interesse, prezzi di attività finanziarie e altre variabili macroeconomiche. Al termine del corso gli studenti conosceranno la modellistica economico-finanziaria e sapranno applicare in modo rigoroso gli strumenti matematici di base per la risoluzione di problemi economico-finanziari. Sapranno valutare i problemi reali e saranno in grado di riconoscere i modelli matematici e le metodologie da applicare per i diversi di problemi, identificando per ciascuno il modello più adatto e interpretando correttamente i risultati nel contesto economico-finanziario studiato. Saranno in grado di presentare in modo chiaro e rigoroso i risultati delle analisi quantitative, illustrando le metodologie e i modelli utilizzati con linguaggio formale. Avranno acquisito un metodo di studio critico e autonomo indispensabile per seguire con profitto i successivi insegnamenti del corso di laurea magistrale Finass, come Teoria del rischio, Finanza quantitativa, Metodi e modelli per la finanza, Analisi delle serie storiche, Matematica attuariale per le assicurazioni private.

ll corso fornisce agli studenti le conoscenze matematiche avanzate necessarie per l’analisi quantitativa dei fenomeni economici e finanziari e per la costruzione di modelli interpretativi e previsivi.

Obiettivi specifici (Descrittori di Dublino):

Conoscenza e comprensione. Consolidando le conoscenze degli strumenti matematici fondamentali acquisiti durante il percorso triennale, lo studente sarà in grado di comprendere concetti più avanzati, come la teoria delle trasformazioni lineari, l'analisi degli autovalori e autovettori, lo studio delle funzioni di più variabili e le tecniche di ottimizzazione, sia con che senza vincoli. Svilupperà, inoltre, una solida conoscenza e comprensione delle forme quadratiche e delle equazioni differenziali ordinarie. Questi strumenti matematici saranno utilizzati per affrontare in modo efficace tematiche economiche e finanziarie.

Conoscenza applicata e comprensione. Lo studente sarà in grado di applicare i metodi matematici acquisiti per risolvere problemi complessi in ambito economico e finanziario. Utilizzerà gli strumenti matematici, come ad esempio autovalori e autovettori o equazioni differenziali, per modellizzare e analizzare fenomeni economici e finanziari. Sarà in grado di calcolare limiti, derivare funzioni di più variabili e applicare tecniche di ottimizzazione per risolvere problemi legati, per esempio, all'allocazione delle risorse e alla gestione di portafogli. Inoltre, sarà capace di applicare modelli di matematica finanziaria per valutare investimenti e gestire flussi di cassa nel tempo, affrontando con rigore le dinamiche economiche e finanziarie in contesti pratici e decisionali.

Autonomia di giudizio. Lo studente svilupperà la capacità di analizzare criticamente i modelli matematici applicati all'economia e alla finanza. Sarà in grado di valutare la solidità delle soluzioni proposte, interpretare i risultati delle analisi finanziarie e formulare giudizi sulla validità e sull'affidabilità dei metodi matematici utilizzati in vari contesti economici. Inoltre, acquisirà la competenza necessaria per esaminare e valutare l'applicabilità di modelli teorici e pratici, considerando le implicazioni economiche e finanziarie delle soluzioni proposte e identificando i limiti e le potenzialità dei metodi impiegati.

Abilità comunicative. Lo studente sarà in grado di esprimere in modo chiaro e rigoroso i risultati delle analisi matematiche applicate all’economia e alla finanza. Sarà capace di presentare modelli finanziari, spiegare le metodologie utilizzate e illustrare con precisione le implicazioni economiche dei calcoli effettuati. Adatterà la sua comunicazione in modo appropriato a interlocutori specialisti e non specialisti, evidenziando le implicazioni pratiche dei modelli matematici per la gestione delle risorse finanziarie e per le decisioni economiche.

Capacità di apprendimento. Lo studente sarà in grado di approfondire in modo autonomo le tecniche matematiche e i modelli quantitativi appresi, aggiornandosi sulle nuove metodologie applicate all’economia e alla finanza. Svilupperà un metodo di studio critico e autonomo, utile per affrontare le sfide accademiche e/o professionali nel settore quantitativo, e per adattarsi rapidamente alle evoluzioni dei modelli matematici e delle applicazioni pratiche in ambito economico e finanziario.

Per accedere al corso, è auspicabile che gli studenti possiedano:
1. Una conoscenza di base della matematica a livello di scuola secondaria superiore, comprensiva di algebra, funzioni elementari (lineari, quadratiche, esponenziali e logaritmiche) e geometria di base.
2. Familiarità con i concetti fondamentali del calcolo differenziale e integrale, quali limiti, derivate e integrali semplici (anche a un livello introduttivo).
3. Una comprensione dei concetti economici di base, tra cui domanda e offerta, utilità e analisi marginale (raccomandata ma non strettamente necessaria).
4. Capacità di ragionamento logico e attitudine a seguire argomentazioni formali e procedure di risoluzione dei problemi.

Algebra Lineare
• Spazi vettoriali e sottospazi
• Concetti di dimensione e base di uno spazio vettoriale
• Cambio di base in uno spazio vettoriale e il suo effetto sulle componenti di un vettore
• Trasformazioni lineari tra due spazi vettoriali
• Associazione di una matrice a una trasformazione lineare
• Nucleo e immagine di una trasformazione lineare e loro proprietà
• Base dell’immagine e del nucleo
Autovalori e Autovettori
• Definizioni e proprietà
• Autovalori e autovettori di matrici simmetriche
• Diagonalizzazione di un endomorfismo
Forme Quadratiche
• Segno di una forma quadratica
• Criteri per il segno di una forma quadratica
• Forma canonica di una forma quadratica
• Forma quadratica con vincoli di uguaglianza
Funzioni di più variabili
• Funzioni tra spazi euclidei
• Nozioni di base: dominio, limiti e continuità
• Derivata direzionale: derivata parziale come caso particolare
• Vettore gradiente e matrice Hessiana
• Piano tangente
• Funzioni omogenee e teorema di Eulero
• Polinomio di Talor per funzioni di più variabili
Cenni di ottimizzazione
• Ottimizzazione senza vincoli: condizioni di primo e secondo ordine
• Ottimizzazione con vincoli: moltiplicatori di Lagrange
Equazioni differenziali ordinarie
• Equazioni differenziali lineari di ordine n: caso omogeneo e non omogeneo
• Equazioni differenziali lineari del primo ordine: coefficienti costanti e variabili
• Equazione differenziale di Bernoulli

Testi :

- J. Bergin, Mathematics for Economists with Applications, Routledge, 2015, ISBN: 9780415638289, (Chapters 2-10-11-16-17)
- S. Lang, Linear Algebra, Springer-Verlag, 3rd Ed., 1987, ISBN 0-387 -96412-6 (Chapters 1-2-3-4-6)
- C. P. Simon, L. Blume, Mathematics for Economists, Norton, 1994, ISBN-10 ‏ : ‎ 0393117529 (Chapters 14-17-18)
- Materiale di supporto caricato dal docente sulla piattaforma di riferimento

Il materiale didattico integrativo (slides delle lezioni, eventuali registrazioni, letture consigliate, etc) è disponibile alla pagina classroom.google.com/c/ODA1NTY1Njg3MjQz

- S. Lang, Introduction to linear algebra,, Springer-Verlag , 2rd Ed., 1986 (Printed on acid-free paper)
(Capitoli 1-2-3-4-5-6-7-8-9)
- C.L. Byrne, A First Course in Optimization, 2015, CRC Press Taylor & Francis Group , ISBN 978-1-4822-2658-4 (Capitoli 5-8)

Il corso sarà erogato attraverso una combinazione dei seguenti metodi di insegnamento:
• Lezioni
Lezioni formali in cui il docente presenta i concetti matematici chiave, le teorie e le tecniche rilevanti per l'economia e la finanza. Le lezioni sono progettate per costruire una comprensione fondamentale e fornire spiegazioni strutturate del materiale del corso.
• Esercizi interattivi e attività in aula
Durante alcune lezioni selezionate o tutorial, gli studenti potranno partecipare a esercizi guidati o attività di problem-solving collaborativo per rafforzare la comprensione e favorire una partecipazione attiva.
• Compiti e esercizi a casa
Saranno assegnati regolarmente set di esercizi per aiutare gli studenti a consolidare la loro comprensione e applicare le tecniche apprese in aula a problemi pratici.

La frequenza al corso è fortemente consigliata.

L'esame si svolge tramite una prova scritta al termine delle lezioni della durata di due ore, che comprende quattro domande, ognuna della quali può articolarsi in più punti. Le domande possono essere di tipo teorico o pratico e includere quesiti a risposta aperta. In caso di domande a risposta aperta, lo studente dovrà fornire risposte complete, spiegando in dettaglio le tecniche adottate e le metodologie utilizzate. Per gli esercizi pratici, è richiesto di presentare tutti i passaggi matematici necessari per arrivare alla soluzione finale, includendo eventuali commenti esplicativi. La valutazione avviene su una scala da 0 a 30 con lode, con una votazione di almeno 18 considerata sufficiente. Ogni prova viene valutata in base al raggiungimento di precisi obiettivi di apprendimento. Lo studente deve dimostrare una solida capacità metodologica nell’affrontare e risolvere i problemi proposti, oltre a saper selezionare e applicare in modo critico le metodologie e i modelli più adatti a risolvere situazioni specifiche. Inoltre, deve essere in grado di applicare correttamente gli strumenti e le procedure più appropriati. La valutazione tiene conto anche della coerenza delle risposte, della loro congruità con le conoscenze che lo studente dovrebbe aver acquisito al termine del corso, e dell'uso di un linguaggio tecnico preciso e appropriato al contesto. Le modalità d’esame sono identiche per tutti gli studenti, sia per quelli frequentanti che per quelli non frequentanti

QUESITO 1

1a) Si descriva il processo di diagonalizzazione di una trasformazione lineare.

1b) Sia T una trasformazione lineare rappresentata dalla matrice A=[1,1,-1; 1,-3,1; 1,1,-3] rispetto alla base canonica:
- Calcolare gli autovalori
- Calcolare gli autovettori.

1c) Stabilire se la trasformazione 𝑇 è diagonalizzabile e, in caso affermativo, scrivere la forma diagonale
sviluppando tutti i calcoli.


Nel dettaglio:
Nel punto 1.a si raggiunge il livello 1 della tassonomia di Bloom ("Ricorda" che indica raggiungimento della sufficienza del quesito). Nel punto 1.b si raggiungono i livelli 2/3 della tassonomia di Bloom ("Comprendi\Applica", raggiungimento di una valutazione intermedia) . Nel punto 1.c si raggiungono i livelli 4\5 della tassonomia di Bloom ("Analizza\Valuta", raggiungimento valutazione massima del quesito)

• Argomento 1 Richiami di algebra lineare (22-23-25 Settembre) e di calcolo di base (30 settembre - 2ottobre) .  Trasformazioni lineari (6 Ottobre) Associazione di una matrice a una trasformazione lineare (7 Ottobre).  Nucleo e immagine di una trasformazione lineare e loro proprietà. Base dell’immagine e del nucleo  (9 Ottobre)(settimane 1-2-3)
  • Testi di riferimento: 1) Materiale caricato su classroom (pp 1-131 )2) Serge Lang (Chapters 1-2-3-4)3) Bergin (Chapter 2)


• Argomento 2 - Autovalori e autovettori (13 Ottobre) . Teorema fondamentale su indipendenza autovettori (14 Ottobre). Diagonalizzazione di una trasformazione lineare. (16 Ottobre) Forme quadratiche. (20 -21 Ottobre) (settimane 4-5)
  • Testi di riferimento: 1) Materiale caricato su classroom (pp 132-229)2) Serge Lang (Chapter 5)3) Bergin (Chapter 10)


• Argomento 3. Funzioni di più variabili. Dominio, cenni di limiti e continuità,  (23 Ottobre), derivate direzionali (27-28 Ottobre), Gradiente-piano tangente (30 Ottobre, 3 Novembre), matrice Hessiana -Formula del gradiente, Interpretazione economica: prodotto marginale  (4 - 6 novembre ),  matrice Jacobiana, funzioni omogenee- Teorema di Eulero (10 -11 Novembre), polinomio di Taylor per funzioni di più variabili (13 Novembre). (settimane 6-7-8)
  • Testi di riferimento: 1)Materiale caricato su classroom (pp 230-308 )2) Simon and Blume(Chapter 14)


• Argomento 4 Introduzione all ´ ottimizzazione (17 Novembre). Ottimizzazione senza vincoli: condizioni di primo e secondo ordine (18-20 Novembre) Ottimizzazione con vincoli: moltiplicatori di Lagrange (24-25-27 Novembre) (settimane 9-10)
  • Testi di riferimento: Materiale caricato su classroom (pp 309-348 )2) Bergin (Chapters 11-12)3)Simon and Blume (Chapters 17-18.4)


• Argomento 5Introduzione equazioni differenziali ordinarie (1 Dicembre)Equazioni differenziali lineari del primo ordine: coefficienti costanti e variabili (2-4 Dicembre) Equazione differenziale di Bernoulli (9 Dicembre)Equazioni differenziali lineari del secondo ordine (11-16 Dicembre)(settimane 11-12)
  • Testi di riferimento: 1) Materiale caricato su classroom (pp 349-409)2)Bergin (Chapter 16-17.4)