Finanza e assicurazioni - Finance and insurance

SERGIO BIANCHI

Il corso fornisce agli studenti una conoscenza solida e approfondita dei principi teorici e degli strumenti quantitativi necessari per comprendere il funzionamento dei mercati finanziari e la determinazione dei prezzi degli strumenti derivati. Particolare attenzione è dedicata ai modelli di valutazione e ai meccanismi di arbitraggio che ne garantiscono la coerenza, integrando l’analisi teorica con esempi applicativi e strumenti di calcolo quantitativo. Al termine del corso, gli studenti e le studentesse avranno acquisito i fondamenti teorici della finanza dei mercati e dei derivati, saranno in grado di identificare le caratteristiche e le funzioni dei principali strumenti finanziari e conosceranno i meccanismi che ne regolano la formazione dei prezzi. Sapranno applicare modelli matematici e statistici per rappresentare i processi di mercato, stimare parametri, valutare strumenti derivati e analizzare il rischio, interpretando criticamente i risultati ottenuti e le ipotesi sottostanti. Avranno acquisito autonomia di giudizio in un approccio rigoroso e consapevole all’uso dei modelli, con capacità di effettuare scelte metodologiche discutendone efficacia, limiti e implicazioni economiche. Al termine dell’insegnamento, gli studenti saranno in grado di formulare valutazioni autonome sui principali fenomeni finanziari e di comunicare con chiarezza e precisione i risultati delle proprie analisi, adattando il linguaggio a interlocutori specialisti e non specialisti. Saranno in grado di aggiornare e approfondire autonomamente le conoscenze quantitative e metodologiche in finanza. Le abilità nella comprensione dei fenomeni finanziari e nell’uso degli strumenti operativi di risoluzione acquisite nel corso sono aspetti di conoscenza fondamentali sia per il proseguimento degli studi in percorsi avanzati, sia per l’inserimento professionale nel settore.

Il corso fornisce agli studenti una conoscenza solida e approfondita dei principi teorici e degli strumenti quantitativi necessari per comprendere il funzionamento dei mercati finanziari e la determinazione dei prezzi degli strumenti derivati. Particolare attenzione è dedicata ai modelli di valutazione e ai meccanismi di arbitraggio che ne garantiscono la coerenza, integrando l’analisi teorica con esempi applicativi e strumenti di calcolo quantitativo.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione. Al termine del corso, gli studenti riconosceranno i fondamenti teorici della finanza dei mercati e dei derivati e descriveranno i meccanismi che ne regolano la formazione dei prezzi. Saranno in grado di identificare le caratteristiche e le funzioni dei principali strumenti finanziari, spiegare le relazioni di arbitraggio che ne determinano la coerenza e interpretare i presupposti analitici e matematici dei modelli di pricing. Attraverso l’integrazione tra teoria ed esempi applicativi, gli studenti svilupperanno una comprensione sistematica dei fenomeni finanziari e collegheranno i concetti teorici ai contesti reali dei mercati.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione. Al termine del corso, gli studenti saranno in grado di applicare modelli matematici e statistici per rappresentare e interpretare i processi di mercato e valutare strumenti derivati. Sapranno adattare le ipotesi dei modelli alle caratteristiche dei dati e dei problemi finanziari, simulare scenari e tradurre i risultati quantitativi in elementi utili per il supporto alle decisioni finanziarie.

Autonomia di giudizio. Al termine del corso, gli studenti saranno in grado di valutare in modo autonomo informazioni e dati finanziari, identificare le ipotesi teoriche e operative più adeguate e formulare giudizi critici sulla validità dei modelli quantitativi e sulle implicazioni economiche delle analisi di mercato.

Abilità comunicative. Al termine del corso, gli studenti saranno in grado di presentare, argomentare e illustrare in modo chiaro e rigoroso risultati quantitativi e implicazioni economiche, adattando il linguaggio a interlocutori specialisti e non specialisti, e redigendo relazioni tecniche o sintesi numeriche efficaci.

Capacità di apprendimento. Al termine del corso, gli studenti saranno in grado di organizzare, gestire e sviluppare in modo autonomo il proprio apprendimento, aggiornando e approfondendo le conoscenze quantitative e metodologiche in finanza, e trasferendo le competenze acquisite a nuovi contesti di ricerca o applicazione.

L'insegnamento non prevede propedeuticità obbligatorie. Tuttavia, per seguire con profitto le lezioni e sostenere con successo l’esame, gli studenti dovrebbero possedere conoscenze di base di probabilità (variabili aleatorie, distribuzioni di probabilità, momenti, funzioni generatrici dei momenti e funzioni caratteristiche), di analisi reale in più variabili (sviluppo di Taylor e risoluzione di equazioni differenziali ordinarie), di algebra lineare, nonché i fondamenti di matematica finanziaria (forza di interesse, nozioni introduttive sugli strumenti derivati).

Modelli stocastici per i mercati finanziari. Spazio campionario, eventi, probabilità, algebre, sigma-algebre, filtrazioni. Partizioni e struttura delle informazioni. Processi stocastici: definizioni, proprietà, esempi. Alberi binomiali. Martingale (in tempo discreto e continuo). Moto browniano. Calcolo stocastico e formula di Itô-Doeblin.

Presupposti e principi di modellazione per i mercati finanziari. Mercati finanziari: obbligazioni, azioni e derivati. Ipotesi del mercato efficiente. Legge del prezzo unico. Condizioni di assenza di opportunità di arbitraggio. Completezza del mercato. Teoremi fondamentali dell'asset pricing.

Prezzi delle opzioni e copertura. Modelli Cox-Ross-Rubinstein e Black-Scholes. Valutazione neutrale al rischio: prezzi delle opzioni europee, americane ed esotiche (cenni). Copertura dinamica. Premio di mercato e modifica del numeraire. Modelli affini in tempo continuo e formule di valutazione.

Modelli di tasso di interesse. Tassi forward, obbligazioni zero coupon. Strutture a termine. Modelli affini. Modelli HJM.

Metodi numerici per la stima dei parametri. Stima dei coefficienti di un'equazione differenziale stocastica. Pricing con il metodo Monte Carlo.

a. Shreve S.E., Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model, Springer Finance, 2005
b. Shreve S.E., Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models, 2nd edition, Springer Finance, 2004
c. Musiela M., Rutkwoski M., Martingale Methods in Financial Modelling, Stochastic Modelling and Applied Probability, Springer, 2009
d. Oosterlee C.W., Grzelak L.A., Mathematical Modeling and Computation in Finance (with Exercises and Python and MATLAB computer codes), World Scientific, 2020
e. Brigo D., Mercurio F., Interest Rate Models – Theory and Practice (With Smile, Inflation and Credit), Springer, 2006

Materiale distribuito sul sito Google Classroom del corso

https://classroom.google.com/c/MjMxMTUzODg3NDJa?cjc=tkx2a5r

John C. Hull (2008), Options, Futures and Other Derivatives, 7th edition, Prentice Hall
Marc Henrard (2014), Interest Rate Modelling in the Multi-curve Framework Foundations, Evolution and Implementation, Palgrave Macmillan, London, UK
Paul Glasserman (2004), Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer.

Materiale aggiuntivo (in parentesi la sezione Google Classroom dove si trova il materiale)

Slides used during the classes (Sec: Classes)

Financial time series (Sec: Data)

Papers on specific topics covered by the course (Sec: Further readings)

Matlab functions and software (Sec: Software)

Websites of interest (Sec: Websites)

La modalità di erogazione del corso prevede lezioni frontali in aula, integrate da momenti di discussione guidata, esercitazioni pratiche auto-valutative, singole o di gruppo e, occasionalmente, seminari tenuti da esperti del settore, al fine di favorire l’approfondimento di contenuti specialistici e il contatto con le applicazioni reali.

La frequenza delle lezioni del corso è prevista in presenza. Il docente tiene le lezioni nelle aule della Facoltà, avvalendosi delle apparecchiature informatiche disponibili. La frequenza non è obbligatoria, ma è fortemente consigliata.

L'esame prevede l'elaborazione di un progetto di gruppo (4-5 studenti) (che si articola in un paper di lunghezza massima di 8 pagine, di un software e di una presentazione PPT o Beamer) ed un esame orale individuale.

Esempi di esercizi e prove possono essere trovati al link

https://classroom.google.com/c/MjMxMTUzODg3NDJa?cjc=tkx2a5r

Esempi di domande (strutturate secondo la tassonomia di Bloom)”

1. Ricordare (Remembering)
Definisci spazio campionario, evento e probabilità.
Che cos’è una filtrazione e quale ruolo svolge nei mercati finanziari?
Enuncia la definizione di martingala in tempo discreto.
Cos’è il moto browniano standard? Elencane le principali proprietà.
Che cosa si intende per assenza di arbitraggio?

2. Comprendere (Understanding)
Spiega la relazione tra informazione, filtrazioni e prezzi degli asset.
Illustra il significato economico della legge del prezzo unico.
Spiega perché le martingale sono centrali nella valutazione dei derivati.
Descrivi l’interpretazione finanziaria della misura neutrale al rischio.
Spiega la differenza tra mercato completo e mercato incompleto.

3. Applicare (Applying)
Calcola il prezzo di un’opzione europea call in un modello binomiale a un periodo.
Applica la formula di Itô–Doeblin a una funzione del moto browniano.
Determina la strategia di copertura in un modello di Cox–Ross–Rubinstein.
Calcola il prezzo di un’obbligazione zero-coupon dato il tasso spot.
Simula il prezzo di un’opzione europea utilizzando il metodo Monte Carlo.

4. Analizzare (Analyzing)
Analizza le ipotesi alla base del modello di Black–Scholes.
Confronta i modelli binomiali e il modello di Black–Scholes.
Analizza il ruolo del numeraire nel pricing dei derivati.
Analizza le differenze tra modelli di tasso short-rate e modelli HJM.
Analizza l’impatto della volatilità sul prezzo delle opzioni.

5. Valutare (Evaluating)
Valuta la plausibilità dell’ipotesi di mercato efficiente.
Discuti i limiti teorici ed empirici del modello di Black–Scholes.
Valuta i vantaggi e i limiti della copertura dinamica.
Valuta l’efficacia del metodo Monte Carlo rispetto a metodi analitici chiusi.
Valuta l’uso dei modelli affini nella modellizzazione dei tassi di interesse.

6. Creare (Creating)
Progetta un modello stocastico per il pricing di un nuovo derivato finanziario.
Estendi il modello di Black–Scholes introducendo una volatilità stocastica.
Costruisci una strategia di copertura per un’opzione esotica.
Proponi un modello di tasso di interesse coerente con una struttura a termine osservata.
Progetta un esperimento Monte Carlo per stimare il prezzo di un derivato complesso.

• Processi stocastici. Funzione di distribuzione congiunta. Funzione di massa di probabilità di ordine k. Media d'insieme e media temporale. Processi Gaussiani. Martingale a tempo discreto. Variazione totale. Variazione quadratica. Limite a tempo continuo del modello di passeggiata aleatoria. Moto Browniano standard e frazionario (distribuzione, incrementi, continuità, non derivabilità, proprietà di martingala, variazione quadratica, legge del logaritmo iterato, invarianza di scala e auto-similarità). Moto Browniano geometrico. Il Moto Browniano geometrico come modello stocastico per il valore di un'azione. Simulazioni.


• Processo di Itô. Interpretazione finanziaria dell'integrale di Itô. Lemma di Itô. Lemma di Itô multidimensionale. Esempi. Metodo di approssimazione di Euler-Maruyama.


• Mercati finanziari. Tassonomia, dimensioni e strumenti. Modellizzazione dei mercati finanziari. Ipotesi. Rendimento e rischio. Ipotesi dei Mercati Efficienti. Un primo saggio sull'arbitraggio. Legge del prezzo unico. Fatti stilizzati.


• Strumenti derivati. Tassonomia. Contratti a Termine (Forward) e Futures. Standardizzazione e mark to market. Prezzo a termine (forward/future) (tramite argomentazione di non arbitraggio). Copertura (Hedging). Swap. Interest Rate Swap. Determinazione del prezzo (Pricing). Impiego degli swap per copertura, speculazione e vantaggio comparato. Opzioni. Tassonomia. Un primo esempio di pricing tramite argomentazione di non arbitraggio.


• Misura di Probabilità Neutrale verso il Rischio (o Misura Martingala Equivalente). Processo derivato di Radon-Nikodým. Parità Put-Call. Modello di Mercato Elementare. Modelli di mercato generali a un periodo. Strategie di trading e modelli privi di arbitraggio. Processo di ricchezza di una strategia di trading. Processo di guadagno. Prezzo dell'azione e processo di valore attualizzati. Processo di guadagno attualizzato. Arbitraggio.


• Primo Teorema Fondamentale dell’Asset Pricing. Modello di mercato con arbitraggio. Modelli a volatilità stocastica. Completezza dei modelli di mercato. Criterio algebrico per la completezza del mercato. Secondo Teorema Fondamentale dell’Asset Pricing (criterio probabilistico per la completezza del mercato).


• Modello di pricing di Cox-Ross-Rubinstein (CRR). Processo di Bernoulli. Processo di Conteggio di Bernoulli. La formula di pricing delle opzioni call nel modello CRR (con parametrizzazione di Cox-Ross-Rubinstein e con parametrizzazione di Jarrow-Rudd).


• Modello di Black-Scholes-Merton. Ipotesi per l'obbligazione priva di rischio, per il prezzo dell'azione e per la strategia di trading autofinanziantesi. Misura martingala per l'azione. Strategie di trading ammissibili. Contingent claims replicabili (attainable). Formula di pricing delle opzioni di Black-Scholes (basata sia sulla strategia di replica che sulla misura neutrale al rischio). Condizioni al contorno terminali.


• Le Greche (delta, gamma, theta, rho, vega). Portafogli delta-neutral e gamma-neutral. Volatilità. Volatilità implicita. "Misure" della volatilità.


• Modelli dei tassi di interesse. Tasso a pronti semplice (simple spot rate). Tasso a pronti composto in continuo (continuously compounded spot rate). Tasso a termine semplice (simple forward rate). Tasso a termine composto in continuo (continuously compounded forward rate). Tasso a termine istantaneo (instantaneous forward rate). Curva dei tassi a termine (forward curve). Tasso a breve (short rate). Confronto tra tassi a termine e tassi futuri (forward vs. future rates). Forward Rate Agreement (FRA). Struttura a termine dei tassi di interesse (o curva dei rendimenti). Bootstrapping. Modelli stocastici per i prezzi delle obbligazioni. Famiglia di prezzi obbligazionari privi di arbitraggio.


• Modelli del tasso a breve (short-rate). Modelli affini. Fatti stilizzati sulla curva dei rendimenti. Modello di Vasiček. Modello di Cox-Ingersoll-Ross (CIR). Modello di Dothan. Modello di Ho-Lee. Estensione di Hull-White del modello di Vasiček. Estensione di Hull-White del modello CIR. Modelli del tasso a termine istantaneo (framework di Heath-Jarrow-Morton, HJM). Specificazione del tasso a termine HJM. Teorema HJM.


• Presentazione del progetto e discussione