Programma
Durante il corso verranno trattati in maniera ampia e approfondita gli argomenti elencati di seguito.
1) Spazio di probabilità e proprietà principali
2) Probabilità condizionata e indipendenza di eventi.
3) Teorema di Bayes
4) Distribuzioni discrete e continue: Bernoulli, Binomiale, Poisson, Geometrica, Gaussiana, Lognormale
5) Funzioni di variabili aleatorie discrete
6) Valore atteso di variabili aleatorie e principali proprietà. Varianza
7) Valore atteso condizionato e principali proprietà
8) Distribuzioni bivariate e multivariate
9) Valore atteso di funzioni di vettori aleatori
10) Indipendenza di variabili aleatorie
11) Somma di variabili indipendenti
12) Convoluzione per la somma di due variabili aleatorie
13) Funzione generatrice dei momenti e sue proprietà
14) Distribuzioni condizionate
15) Disuguaglianza di Markov
16) Disuguaglianza di Jensen's
17) Convergenze
18) Legge dei grandi numeri
19) Disuguaglianza di Chebyshev e legge debole dei grandi numeri
20) Teorema del limite centrale
21) Random walk
22) Problema della rovina del giocatore
23) Catene di Markov: proprietà di Markovianità e caratterizzazione delle catene di Markov
24) Probabilità di transizione Equazione di Chapman Kolmogorov
25) Stati ricorrenti e transienti nelle catene di Markov
26) Tempo di arresto e Markovianità
27) Distribuzioni invarianti e convergenza all'equilibrio
28) Moto Browniano
Prerequisiti
Lo studente deve conoscere e saper applicare gli elementi di base di matematica (algebra lineare, funzioni, derivate e integrali) e di statistica (spazio di probabilità, calcolo combinatorio e indici statistici).
Testi di riferimento
- Sheldon Ross. Calcolo delle probabilità. Apogeo editore
- Geoffrey Grimmett. Probability and Random Processes. Oxford University Press 3th edition. 2001
- Sheldon Ross. Introduction to Probability Theory. Elsevier
Il materiale didattico è disponibile nella Classroom 3wcp2gc7
Modalità insegnamento
Il corso è impartito in maniera tradizionale con lezioni frontali volte principalmente all’illustrazione e spiegazione dei concetti formali della teoria e degli strumenti quantitativi di rappresentazione e risoluzione di problemi. Per le nozioni teoriche i concetti vengono definiti e caratterizzati in maniera rigorosa, spiegando anche cosa significa dimostrare un risultato (teorema, proprietà, caratterizzazione) attraverso l’argomentazione di un ragionamento logico-matematico. Una parte dei risultati presentati a lezione vengono accertati formalmente illustrando la relativa dimostrazione. Ogni concetto teorico introdotto viene illustrato nella sua applicazione pratica attraverso esempi ed esercizi svolti in classe.
In parallelo alle lezioni vengono erogate delle esercitazioni.
Frequenza
Per questo insegnamento è altamente consigliata la frequenza delle lezioni ai fini di una comprensione piena degli argomenti teorici del programma. Lo studente che frequenta le lezioni ha la possibilità di vedere gli argomenti illustrati e commentati dal docente in aula e ha la facoltà di intervenire, durante o alla fine della lezione, per porre eventuali domande.
La frequenza e la partecipazione attiva alle lezioni e alle esercitazioni potenzia le capacità di ragionamento e apprendimento e permette allo studente di capire come si illustra un argomento formale attraverso un ragionamento basato su implicazioni logiche.
Per gli studenti che non possono seguire le lezioni, verrà prodotto materiale integrativo (su teoria e esercizi) disponibile e scaricabile dalle pagine web dedicate all’insegnamento.
Modalità di esame
L'esame mira ad accertare il possesso delle conoscenze teoriche trasmesse durante il corso e delle capacità di utilizzare tali conoscenze per formalizzare, analizzare e risolvere problemi pratici. È fondamentale nella prova d’esame verificare che lo studente abbia acquisito sia le nozioni teoriche sia le capacità pratiche di analisi e di ragionamento, unitamente alle non meno importanti capacità di presentazione e argomentazione di un risultato.
La prova d’esame è finalizzata alla valutazione delle capacità acquisite dallo studente sotto aspetti diversi:
1) l’aspetto pratico di applicazione degli strumenti probabilistici per la risoluzione di problemi (anche nuovi) in ambito finanziario e assicurativo; 2) la conoscenza dal punto di vista teorico; 3) l'esposizione rigorosa in forma scritta e l'interpretazione anche critica dei risultati.
L’esame prevede una prova scritta della durata di due ore.
Bibliografia
Durante il corso verranno fornite:
- Slides utilizzate durante le lezioni
- Documenti incentrati su argomenti specifici trattati durante il corso (Ulteriori letture)
- Siti web di interesse (Siti web)
- Esercizi
- Materiale con codici Python
- Prototipi di esame
Modalità di erogazione
Il corso è impartito in maniera tradizionale con lezioni frontali volte principalmente all’illustrazione e spiegazione dei concetti formali della teoria e degli strumenti quantitativi di rappresentazione e risoluzione di problemi. Per le nozioni teoriche i concetti vengono definiti e caratterizzati in maniera rigorosa, spiegando anche cosa significa dimostrare un risultato (teorema, proprietà, caratterizzazione) attraverso l’argomentazione di un ragionamento probabilistico. Una parte dei risultati presentati a lezione vengono accertati formalmente illustrando la relativa dimostrazione. Ogni concetto teorico introdotto viene illustrato nella sua applicazione pratica attraverso esempi ed esercizi svolti in classe.
All'interno del corso oltre alle lezioni teoriche vengono erogate delle esercitazioni.
