Finanza e assicurazioni - Finance and insurance

BARBARA VANTAGGI

Il corso si propone di fornire agli studenti gli elementi fondamentali della moderna teoria del calcolo delle probabilità e dei processi stocastici, con particolare riferimento ai modelli utilizzati nella finanza quantitativa e nelle scienze attuariali. L’obiettivo è offrire una trattazione rigorosa, fornendo gli strumenti necessari per riconoscere e utilizzare i modelli più appropriati nella rappresentazione di fenomeni reali complessi. Gli studenti che avranno superato l’esame saranno in grado di comprendere e applicare gli strumenti probabilistici più idonei alla modellistica dell’incertezza e dei fenomeni finanziari e assicurativi che evolvono nel tempo, sapranno
esporre, collegare e confrontare i principali concetti e risultati, nonché risolvere problemi coniugando conoscenze teoriche e competenze operative.
Poiché molti problemi ammettono soluzioni alternative, lo studente svilupperà la capacità di valutare criticamente le diverse metodologie e di selezionare l’approccio più adeguato per descrivere un determinato problema reale (finanziario o assicurativo), riconoscendone i presupposti e i limiti di applicabilità. Il corso favorisce inoltre lo sviluppo di autonomia di giudizio nell’analisi dei modelli e nell’interpretazione dei risultati, di abilità comunicative per l’uso del linguaggio matematico e probabilistico, e di capacità di apprendimento continuo, grazie all’integrazione tra lezioni teoriche, esercitazioni e studio individuale. Pertanto, gli studenti acquisiranno le competenze di base necessarie per proseguire con profitto gli studi in ambito quantitativo e affrontare con successo gli insegnamenti avanzati di Finanza quantitativa, Metodi e modelli per la finanza, Teoria del rischio e Analisi delle serie storiche.

Il corso di Probabilità e processi stocastici per le assicurazioni e la finanza si propone di fornire agli studenti gli elementi fondamentali della moderna teoria del calcolo delle probabilità e dei processi stocastici, con particolare riferimento ai modelli utilizzati nella finanza quantitativa e nelle scienze attuariali. L’obiettivo è offrire una trattazione rigorosa, fornendo gli strumenti necessari per riconoscere e utilizzare i modelli più appropriati nella rappresentazione di fenomeni reali complessi.

Obiettivi specifici:
• Conoscenza e comprensione: Al termine del corso gli studenti saranno in grado di applicare le principali tecniche probabilistiche utili in finanza e assicurazioni. Saranno, inoltre, in grado di comprendere e illustrare le principali caratteristiche di ciascun modello stocastico e di riconoscere la soluzione più efficace e più adatta al problema economico finanziario che si troveranno a risolvere. Avranno, infine, le competenze per calcolare i principali indici di sintesi delle distribuzioni e dei processi stocastici.
• Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che hanno superato l’esame saranno in grado di identificare la modellizzazione più adatta per descrivere un fenomeno aleatorio e determinare quali siano le metodologie più efficienti per risolvere il relativo problema.
• Capacità critiche e di giudizio: Avendo descritto, durante il corso, i principali strumenti probabilistici, gli studenti autonomamente potranno analizzare il contesto finanziario, valutare le possibili metodologie di risoluzione ed interpretare i risultati ottenuti.
• Capacità di comunicare quanto si è appreso: Dopo aver sostenuto l’esame (attraverso una prova scritta, costituita da esercizi con analisi dei risultati ottenuti), lo studente valutato positivamente sarà in grado di descrivere adeguatamente gli argomenti appresi durante il corso, sia verbalmente che in documenti scritti.
• Capacità di proseguire lo studio in modo autonomo nel corso della vita: Le lezioni frontali, le esercitazioni, di cui il corso si compone, e l’attività di studio individuale consentono agli studenti di sviluppare un metodo per l’acquisizione autonoma di nuove conoscenze e competenze di tipo probabilistico, sia a livello teorico sia in ambito pratico.

Lo studente deve conoscere e saper applicare gli elementi di base di matematica (algebra lineare, funzioni, derivate e integrali) e di statistica (spazio di probabilità, calcolo combinatorio e indici statistici).

Durante il corso verranno trattati in maniera ampia e approfondita gli argomenti elencati di seguito.

1) Spazio di probabilità e proprietà principali
2) Probabilità condizionata e indipendenza di eventi.
3) Teorema di Bayes
4) Distribuzioni discrete e continue: Bernoulli, Binomiale, Poisson, Geometrica, Uniforme, Esponenziale, Gaussiana
5) Funzioni di variabili aleatorie, Distribuzione Lognormale
6) Valore atteso di variabili aleatorie e principali proprietà. Varianza
7) Valore atteso condizionato e principali proprietà
8) Distribuzioni bivariate e multivariate
9) Valore atteso di funzioni di vettori aleatori
10) Indipendenza di variabili aleatorie
11) Somma di variabili indipendenti
12) Convoluzione per la somma di due variabili aleatorie
13) Funzione generatrice dei momenti e sue proprietà
14) Distribuzioni condizionate
15) Disuguaglianza di Markov
16) Disuguaglianza di Jensen's
17) Convergenze
18) Legge dei grandi numeri
19) Disuguaglianza di Chebyshev e legge debole dei grandi numeri
20) Teorema del limite centrale
21) Random walk
22) Problema della rovina del giocatore
23) Catene di Markov: proprietà di Markovianità e caratterizzazione delle catene di Markov
24) Probabilità di transizione Equazione di Chapman Kolmogorov
25) Stati ricorrenti e transienti nelle catene di Markov
26) Tempo di arresto e Markovianità
27) Distribuzioni invarianti e convergenza all'equilibrio
28) Moto Browniano

- Sheldon Ross. Calcolo delle probabilità. Apogeo editore

- Geoffrey Grimmett. Probability and Random Processes. Oxford University Press 3th edition. 2001

- Sheldon Ross. Introduction to Probability Theory. Elsevier

Il materiale didattico è disponibile nella Classroom 3wcp2gc7

Ulteriori testi
Andrea Pascucci Teoria della probabilità. Variabili aleatorie e distribuzioni. Springer Verlag, 2020

Durante il corso verranno fornite:

- Slides utilizzate durante le lezioni
- Documenti incentrati su argomenti specifici trattati durante il corso (Ulteriori letture)
- Siti web di interesse (Siti web)
- Esercizi
- Materiale con codici Python
- Prototipi di esame

Il corso è impartito in maniera tradizionale con lezioni frontali volte principalmente all’illustrazione e spiegazione dei concetti formali della teoria e degli strumenti quantitativi di rappresentazione e risoluzione di problemi. Per le nozioni teoriche i concetti vengono definiti e caratterizzati in maniera rigorosa, spiegando anche cosa significa dimostrare un risultato (teorema, proprietà, caratterizzazione) attraverso l’argomentazione di un ragionamento probabilistico. Una parte dei risultati presentati a lezione vengono accertati formalmente illustrando la relativa dimostrazione. Ogni concetto teorico introdotto viene illustrato nella sua applicazione pratica attraverso esempi ed esercizi svolti in classe.
All'interno del corso oltre alle lezioni teoriche vengono erogate delle esercitazioni.

Per questo insegnamento è altamente consigliata la frequenza delle lezioni ai fini di una comprensione piena degli argomenti teorici del programma. Lo studente che frequenta le lezioni ha la possibilità di vedere gli argomenti illustrati e commentati dal docente in aula e ha la facoltà di intervenire, durante o alla fine della lezione, per porre eventuali domande.
La frequenza e la partecipazione attiva alle lezioni e alle esercitazioni potenzia le capacità di ragionamento e apprendimento e permette allo studente di capire come si illustra un argomento formale attraverso un ragionamento basato su implicazioni logiche.
Per gli studenti che non possono seguire le lezioni, verrà prodotto materiale integrativo (su teoria e esercizi) disponibile e scaricabile dalle pagine web dedicate all’insegnamento.

L'esame mira ad accertare il possesso delle conoscenze teoriche trasmesse durante il corso e delle capacità di utilizzare tali conoscenze per formalizzare, analizzare e risolvere problemi pratici. È fondamentale nella prova d’esame verificare che lo studente abbia acquisito sia le nozioni teoriche sia le capacità pratiche di analisi e di ragionamento, unitamente alle non meno importanti capacità di presentazione e argomentazione di un risultato.
La prova d’esame è finalizzata alla valutazione delle capacità acquisite dallo studente sotto aspetti diversi:
1) l’aspetto pratico di applicazione degli strumenti probabilistici per la risoluzione di problemi (anche nuovi) in ambito finanziario e assicurativo; 2) la conoscenza dal punto di vista teorico; 3) l'esposizione rigorosa in forma scritta e l'interpretazione anche critica dei risultati.
L’esame prevede una prova scritta della durata di due ore.

Nella valutazione dell'esame la determinazione del voto finale tiene conto dei seguenti elementi:
1. la logica seguita dallo studente nella risoluzione dei quesiti posti %40
2. l’abilità di risolvere esercizi scegliendo le procedure adeguate %30
3. padronanza delle procedure di calcolo %10
4. comprensione e uso del linguaggio rigoroso, specifico e simbolico %10

L'esame consiste in una prova con esercizi e discussione dei risultati sui seguenti argomenti: probabilità condizionata e teorema di Bayes, trasformazioni di vettori aleatori e loro distribuzione e valore atteso, catene di Markov, processi stocastici: Random walk, Martingale e Moto Browniano.

Esempio di domanda: Il prezzo di un'azione, si suppone, segua un Moto Browniano Geometrico descritto dalla seguente equazione
$$Y_t = 10 \exp\left( 0.5t + 0.2 Z_t \right)$$
Calcolare il valore atteso e la varianza tra 30 mesi e la probabilità che, tra 30 mesi, il prezzo dell'azione sia superiore a 50 Euro.

Esempio di domanda: Sia R il log-return di un titolo in un intervallo di tempo e si assuma abbia distribuzione normale con media incognita R|W=w si media w e deviazione standard 5. Inoltre si supponga che W abbia distribuzione esponenziale di parametro 2.
Calcolare il valore atteso, la varianza di R e la covarianza cov(R,W).

Esempi di esercizi e prove di esame sono riportati nella classroom dedicata al materiale del corso.

• Introduzione al Calcolo delle Probabilità: Spazio di probabilità e proprietà principali; Probabilità condizionata e indipendenza di eventi; Teorema di Bayes
  • Testi di riferimento: Ross Calcolo delle probabilità (Capitoli 1,2,3) Slides


• Variabili e vettori aleatori: Distribuzioni discrete e continue (Bernoulli, Binomiale, Poisson,
  Geometrica, Gaussiana, Gamma); Funzioni di variabili aleatorie discrete;  Valore atteso di variabili aleatorie e principali proprietà. Varianza
  • Testi di riferimento: Ross Calcolo delle probabilità (Capitolo 4) Slides e video-tutorial


• Variabili aleatorie continue (Uniforme, Esponenziale, Normale Lognormale), Funzioni di variabili alatorie continue, Valore atteso e varianza
  • Testi di riferimento: Ross Calcolo delle probabilità (Capitolo 5) Slides e video-tutorial


• Distribuzioni bivariate e multivariate;  Valore atteso di funzioni di vettori aleatori;  Indipendenza di variabili aleatorie; Somma di variabili indipendenti; Convoluzione per la somma di due variabili aleatorie; Funzione generatrice dei momenti e sue proprietà;  Distribuzioni condizionate
  • Testi di riferimento: Ross Calcolo delle probabilità (Capitolo 6) Slides


• Disequazioni e Convergenze: Disuguaglianza di Markov;  Disuguaglianza di Jensen's;  Convergenza in media quadratica; Media quadratica e legge dei grandi numeri; Convergenza in probabilità;Disuguaglianza di Chebyshev e legge debole dei grandi numeri; Teorema del limite centrale; Convergenza  in distribuzione 
  • Testi di riferimento: Ross Calcolo delle probabilità (Capitolo 7,8) Slides e video-tutorial


• Processi stocastici e Martingale: Filtrazioni e introduzione a processi stocastici. Martingale e Equazione di Chapman
  Kolmogorov; Random walk;Problema della rovina del giocatore; Catene di Markov: proprietà di Markovianità e caratterizzazione delle
  catene di Markov; Stati ricorrenti e transienti nelle catene di Markov; Tempo di arresto e  Markovianità; Distribuzioni invarianti e convergenza all'equilibrio; Moto Browniano
  • Testi di riferimento: Slides e video-tutorial