Ingegneria Civile

Spazi vettoriali: Gruppi, campi, numeri complessi, teorema fondamentale dell'algebra.%, [divisione tra polinomi -Precorsi]. Definizione di spazio vettoriale su un campo K; Esempi (funzioni a valori in uno spazio vettoriale, K^n, vettori geometrici del piano e dello spazio, polinomi, polinomi di grado minore o uguale ad $n$). Combinazioni lineari, combinazioni convesse ed affini. Sottospazi vettoriali, generatori, Span, Lemma di scambio. Inviluppo convesso. Segmento. Dipendenza ed indipendenza lineare. Basi e dimensione, coordinate. Intersezione e somma di sottospazi vettoriali; formula di Grassmann; somma diretta di sottospazi vettoriali. Applicazioni lineari: Definizione ed esempi. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare; teorema della dimensione; rango. Applicazioni lineari e basi; funzione ``coordinate in una base data''. Matrice associata ad un'applicazione lineare in due basi date; spazio delle colonne di una matrice. Moltiplicazione righe per colonne di matrici. Cambiamenti di base. Applicazioni lineari simili e teorema di classificazione. Algoritmo di eliminazione di Gauss; matrici a scala e a scala ridotta. Inverse destre e sinistre; inversa di una matrice quadrata; algoritmo di inversione. Matrici elementari. Spazio delle righe di una matrice. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali. Determinante: Esistenza ed unicità del determinante. Sviluppi di Laplace. Teorema di Binet. Determinante 2x 2 come area orientata. Determinante di Vandermonde. Matrice aggiunta e formula di Cramer. Tecniche di calcolo per l'inversa (algoritmo di inversione, formula di Cramer, teorema di Cayley-Hamilton). Geometria affine del piano e dello spazio: Sottospazi affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini. Sottospazi affini del piano e loro posizione reciproca. Fasci di rette. Sottospazi affini dello spazio e loro posizione reciproca. Fasci di rette e piani. Sistemi di equazioni lineari: Matrici associate ad un sistema lineare, Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema degli orlati. Formula di Cramer per la soluzione di un sistema lineare non-singolare. Decomposizione LU e suo utilizzo per la risoluzione di opportuni sistemi lineari. Sistemi lineari associati a circuiti elettrici e a reti di flusso. Spazi Euclidei: Forme bilineari, matrice associata ad una forma bilineare in una base, cambiamento di base e matrici associate a forme bilineari, matrici congruenti. Forme bilineari simmetriche: Ortogonale di un sottospazio, teorema di decomposizione ortogonale, basi ortogonali, esistenza di una base ortogonale. Forme bilineari reali: teorema di Sylvester, segnatura di una forma bilineare, basi di Sylvester, due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura. Prodotti scalari (reali), esempi: prodotto scalare standard di R^n, prodotto scalare L^2, prodotto di Lagrange nei polinomi. Proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale; Algoritmo di Gram-Schmidt. Insiemi/basi ortogonali, coefficienti di Fourier. Distanza tra sottospazi affini. Norma, distanza tra punti. Angoli, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, Disuguaglianza triangolare, teorema di Pitagora. Decomposizione QR. (Facoltativo) Soluzioni approssimate di un sistema non risolubile di equazioni lineari; equazioni normali di un sistema di equazioni lineari; tecniche di calcolo delle soluzioni approssimate; polinomio approssimante di dati statistici. Geometria euclidea del piano e dello spazio: Versori normali e direttori di una retta del piano e dello spazio; coseni direttori. Distanza punto-retta nel piano. Bisettrici di un angolo. Asse di un segmento. Circonferenze del piano; equazioni parametriche delle circonferenze; rettta tangente ad un punto di una circonferenza. Isometrie del piano. Distanza punto-retta, punto-piano, retta-retta nello spazio. Triangoli: bisettrici, altezze, mediane, circocentro, ortocentro, incentro. Autovalori ed autovettori: Definizione ed interpretazione geometrica. Autospazi; molteplicit\`a geometrica di un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili. Teorema spettrale reale. Teorema di Cayley-Hamilton. Il gruppo SO(3). (Facoltativo) Esponenziale di una matrice. (Facoltativo) Forme quadratiche definite positive. Classificazione affine e metrica delle coniche. Propriet\`a focali delle coniche non-degeneri. (Facoltativo) MATLAB: Il corso da 2 ore Matlab-Onramp \`e richiesto all'esame orale. Matrici simboliche. Calcolo di una base del nucleo e dell'immagine di una matrice. Calcolo della forma a scala ridotta di una matrice. Risoluzione di sistemi lineari, anche con parametro. Grafici in 2d. Calcolo del polinomio caratteristico e degli autovalori di una matrice. Decomposizione QR. (Facoltativo)

E' consigliato aver partecipato ai precorsi di matematica offerti dalla nostra facoltà oppure aver seguito le videolezioni presenti nel corso e-learning: "Pre-corsi di Matematica per Ingegneria" al seguente link https://elearning.uniroma1.it/course/view.php?id=11798. E' indispensabile avere nozioni di base di trigonometria. E' utile conoscere alcune nozioni di geometria analitica del piano e nozioni di base sui polinomi, che comunque veranno richiamate nel corso.

Libro di testo: "Algebra Lineare e Geometria". Francesco Bottacin. Esculapio. 2021. Libro di esercizi: "Esercizi di Algebra Lineare e Geometria". Francesco Bottacin. Esculapio. 2021. Appunti delle lezioni: Reperibili nella pagina web del corso.

Quattro lezioni frontali di due ore l'una ogni settimana, per tredici settimane. Due ore di tutoraggio a settimana. Due ore di ricevimento a settimana.

Prova scritta e orale

M. Abate, C. De Fabritiis: "Geometria analitica con elementi di algebra lineare". McGrawHill. III edizione. F. Flamini, A. Verra: "Matrici e vettori. Corso di base di geometria e algebra lineare". Carocci. 2007. A. Savo: "Geometria. Teoria ed esercizi". Hoepli. 2021. W. Keith Nicholson: "Algebra Lineare: dalle applicazioni alla teoria". McGrawHill. "(FuoriCommercio.)" Stefano Capparelli, Alberto Del Fra: "Geometria". Esculapio. Gilbert Strang: "Algebra lineare". Apogeo education. Maggioli Editore. Enrico Schlesinger: "Algebra Lineare e geometria". Seconda Edizione. Zanichelli. Carfagna Piccolella: "Complementi ed esercizi di Geometria e Algebra Lineare". Seconda edizione. Zanichelli.

Lezioni frontali del docente negli orari stabiliti. Tutoraggio in via telematica. Ricevimento in presenza e/o in modalità telematica.