Ingegneria per l'Ambiente e il Territorio

GIOVANNI CERULLI IRELLI
GIOVANNI CERULLI IRELLI

Lo scopo del corso è quello di guidare lo studente nello studio delle trasformazioni lineari ed affini degli spazi vettoriali. Il linguaggio degli spazi vettoriali è necessario per la corretta analisi delle soluzioni di un sistema lineare. Lo studente verrà introdotto all'utilizzo di MATLAB per la risoluzione di problemi lineari. Particolare enfasi verrà data all'interpretazione geometrica delle soluzioni dei sistemi lineari in due e tre variabili. In particolare, lo studente studierà le proprietà metriche degli spazi vettoriali reali ed imparerà a calcolare distanze tra sottospazi affini e a calcolare l'area di insiemi convessi del piano e dello spaizo. Lo studio delle simmetrie degli endomorfismi lineari e quindi dello studio di quegli endomorfismi diagonalizzabili sarà centrale. Verranno poi discusse le applicazioni allo studio delle coniche.

1. Conoscenze e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Il corso richiederà capacità di ragionamento astratto. E' centrale nel corso la capacità di imparare le definizioni e capire gli enunciati dei teoremi.
2. Utilizzazione delle conoscenze e capacità di comprensione (applying knowledge and understanding): Una volta note le definizioni e gli enunciati dei teoremi lo studente dovrà dimostrare di saperle applicare nella risoluzione degli esercizi.
3. Capacità di trarre le conclusioni (making judgements): Nella prova scritta e nelle prove settimanali, lo studente dovrà dimostrare la capacità di utilizzare le tecniche più efficienti per la risoluzione degli esercizi.
4. Abilità comunicative (communication skills): Durante la prova orale lo studente dovrà dimostrare i teoremi visti durante il corso. La prova orale richiede una buona capacità di comunicare la matematica.
5. Capacità di apprendere (learning skills): L'implementazione delle tecniche di risoluzione di problemi lineari in MATLAB e le prove settimanali inviteranno lo studente a testare la propria comprensione della materia.

Tecniche di calcolo per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari, determinante, inversa di una matrice, polinomio caratteristico, autovalori e autovettori.
Capacità di lavorare con i vettori geometrici per la risoluzione di problemi di geometria affine e euclidea del piano e dello spazio.
Calcolo vettoriale astratto.
Apprendimento di definizioni e loro utilizzo per la dimostrazione di affermazioni astratte.

E' consigliato aver partecipato ai precorsi di matematica offerti dalla nostra facoltà oppure aver seguito le videolezioni presenti nel corso e-learning: "Pre-corsi di Matematica per Ingegneria" al seguente link https://elearning.uniroma1.it/course/view.php?id=11798.

E' indispensabile avere nozioni di base di trigonometria.

E' utile conoscere alcune nozioni di geometria analitica del piano e nozioni di base sui polinomi, che comunque veranno richiamate nel corso.

Spazi vettoriali:

Gruppi, campi, numeri complessi, teorema fondamentale dell'algebra.%, [divisione tra polinomi -Precorsi].
Definizione di spazio vettoriale su un campo K; Esempi (funzioni a valori in uno spazio vettoriale, K^n, vettori geometrici del piano e dello spazio, polinomi, polinomi di grado minore o uguale ad $n$).
Combinazioni lineari, combinazioni convesse ed affini.
Sottospazi vettoriali, generatori, Span, Lemma di scambio. Inviluppo convesso. Segmento.
Dipendenza ed indipendenza lineare.
Basi e dimensione, coordinate.
Intersezione e somma di sottospazi vettoriali; formula di Grassmann; somma diretta di sottospazi vettoriali.

Applicazioni lineari:

Definizione ed esempi.
Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare; teorema della dimensione; rango.
Applicazioni lineari e basi; funzione ``coordinate in una base data''.
Matrice associata ad un'applicazione lineare in due basi date; spazio delle colonne di una matrice.
Moltiplicazione righe per colonne di matrici.
Cambiamenti di base. Applicazioni lineari simili e teorema di classificazione.
Algoritmo di eliminazione di Gauss; matrici a scala e a scala ridotta.
Inverse destre e sinistre; inversa di una matrice quadrata; algoritmo di inversione.
Matrici elementari.
Spazio delle righe di una matrice. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali.

Determinante:
Esistenza ed unicità del determinante.
Sviluppi di Laplace.
Teorema di Binet.
Determinante 2x 2 come area orientata.
Determinante di Vandermonde.
Matrice aggiunta e formula di Cramer.
Tecniche di calcolo per l'inversa (algoritmo di inversione, formula di Cramer, teorema di Cayley-Hamilton).

Geometria affine del piano e dello spazio:

Sottospazi affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini.
Sottospazi affini del piano e loro posizione reciproca. Fasci di rette.
Sottospazi affini dello spazio e loro posizione reciproca. Fasci di rette e piani.

Sistemi di equazioni lineari:
Matrici associate ad un sistema lineare, Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare.
Teorema di Rouchè-Capelli.
Teorema degli orlati.
Formula di Cramer per la soluzione di un sistema lineare non-singolare.
Decomposizione LU e suo utilizzo per la risoluzione di opportuni sistemi lineari.
Sistemi lineari associati a circuiti elettrici e a reti di flusso.

Spazi Euclidei:

Forme bilineari, matrice associata ad una forma bilineare in una base, cambiamento di base e matrici associate a forme bilineari, matrici congruenti.
Forme bilineari simmetriche: Ortogonale di un sottospazio, teorema di decomposizione ortogonale, basi ortogonali, esistenza di una base ortogonale.
Forme bilineari reali: teorema di Sylvester, segnatura di una forma bilineare, basi di Sylvester, due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura.
Prodotti scalari (reali), esempi: prodotto scalare standard di R^n, prodotto scalare L^2, prodotto di Lagrange nei polinomi.
Proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale; Algoritmo di Gram-Schmidt.
Insiemi/basi ortogonali, coefficienti di Fourier.
Distanza tra sottospazi affini.
Norma, distanza tra punti.
Angoli, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, Disuguaglianza triangolare, teorema di Pitagora.
Decomposizione QR. (Facoltativo)
Soluzioni approssimate di un sistema non risolubile di equazioni lineari; equazioni normali di un sistema di equazioni lineari;
tecniche di calcolo delle soluzioni approssimate; polinomio approssimante di dati statistici.

Geometria euclidea del piano e dello spazio:

Versori normali e direttori di una retta del piano e dello spazio; coseni direttori.
Distanza punto-retta nel piano. Bisettrici di un angolo. Asse di un segmento.
Circonferenze del piano; equazioni parametriche delle circonferenze; rettta tangente ad un punto di una circonferenza.
Isometrie del piano.
Distanza punto-retta, punto-piano, retta-retta nello spazio.
Triangoli: bisettrici, altezze, mediane, circocentro, ortocentro, incentro.

Autovalori ed autovettori:

Definizione ed interpretazione geometrica.
Autospazi; molteplicit\`a geometrica di un autovalore.
Endomorfismi diagonalizzabili.
Teorema spettrale reale.
Teorema di Cayley-Hamilton.
Il gruppo SO(3). (Facoltativo)
Esponenziale di una matrice. (Facoltativo)
Forme quadratiche definite positive.
Classificazione affine e metrica delle coniche.
Propriet\`a focali delle coniche non-degeneri. (Facoltativo)

MATLAB:

Il corso da 2 ore Matlab-Onramp \`e richiesto all'esame orale.
Matrici simboliche.
Calcolo di una base del nucleo e dell'immagine di una matrice.
Calcolo della forma a scala ridotta di una matrice.
Risoluzione di sistemi lineari, anche con parametro.
Grafici in 2d.
Calcolo del polinomio caratteristico e degli autovalori di una matrice.
Decomposizione QR. (Facoltativo)

Libro di testo:

"Algebra Lineare e Geometria". Francesco Bottacin. Esculapio. 2021.

Libro di esercizi:

"Esercizi di Algebra Lineare e Geometria". Francesco Bottacin. Esculapio. 2021.

Appunti delle lezioni:

Reperibili nella pagina web del corso.

M. Abate, C. De Fabritiis: "Geometria analitica con elementi di algebra lineare". McGrawHill. III edizione.
F. Flamini, A. Verra: "Matrici e vettori. Corso di base di geometria e algebra lineare". Carocci. 2007.
A. Savo: "Geometria. Teoria ed esercizi". Hoepli. 2021.
W. Keith Nicholson: "Algebra Lineare: dalle applicazioni alla teoria". McGrawHill. "(FuoriCommercio.)"
Stefano Capparelli, Alberto Del Fra: "Geometria". Esculapio.
Gilbert Strang: "Algebra lineare". Apogeo education. Maggioli Editore.
Enrico Schlesinger: "Algebra Lineare e geometria". Seconda Edizione. Zanichelli.
Carfagna Piccolella: "Complementi ed esercizi di Geometria e Algebra Lineare". Seconda edizione. Zanichelli.

Lezioni frontali del docente negli orari stabiliti. Tutoraggio in via telematica. Ricevimento in presenza e/o in modalità telematica.

Quattro lezioni frontali di due ore l'una ogni settimana, per tredici settimane. Due ore di tutoraggio a settimana. Due ore di ricevimento a settimana.

Prova scritta e orale

Tutti gli esami degli anni passati sono disponibili nella pagina web del corso:

http://www.sbai.uniroma1.it/~giovanni.cerulliirelli/didattica/

• Sistemi lineari


• Geometria affine del piano


• Spazi vettoriali


• Applicazioni lineari


• Determinante


• Diagonalizzazione


• Diagonalizzazione ortogonale e teorema spettrale


• Forme bilineari e teorema di Sylvester


• Geometria euclidea del piano e dello spazio


• Spazi euclidei