Ingegneria Chimica - Chemical Engineering

Tipologia

Attività formative affini o integrative

SSD

MATH-03/A

Anno

1º anno

Semestre

1º semestre

CFU

6

Distribuzione delle ore

60 classroom hours

Docenti

FRANCESCO PETITTA

Tipologia

Attività formative affini o integrative

SSD

MATH-05/A

Anno

1º anno

Semestre

1º semestre

CFU

3

Distribuzione delle ore

30 classroom hours

Docenti

VITTORIA BRUNI

"Metodi Matematici per l'Ingegneria" (MAT/05): risultati di apprendimento attesi, strutturati secondo i Descrittori di Dublino.

Questo corso, destinato a studenti della Laurea Magistrale in Ingegneria Chimica, fornisce strumenti matematici avanzati essenziali per la modellizzazione e la risoluzione di problemi ingegneristici complessi.

Risultati di Apprendimento Attesi - Metodi Matematici per l'Ingegneria
Al termine del corso, lo studente sarà in grado di:

1. Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding)
Comprendere i concetti di convergenza puntuale e uniforme per successioni e serie di funzioni, riconoscendone le implicazioni per la continuità, la derivabilità e l'integrabilità del limite.


Conoscere le proprietà delle serie di potenze, delle serie di Taylor e delle serie di Fourier, inclusi i teoremi di convergenza e l'identità di Parseval.


Comprendere la definizione e le principali proprietà dell'integrale di Lebesgue, inclusi i teoremi di convergenza Monotona e Dominata, e il concetto di spazi L^p.


Conoscere la nozione di derivata debole, spazi di Sobolev e la formulazione debole di un problema differenziale.




Classificare le equazioni alle derivate parziali (PDE) e conoscere la teoria di base per le equazioni del primo ordine e per le equazioni del secondo ordine di tipo iperbolico (onde), parabolico (calore) ed ellittico (Laplace/Poisson).





Comprendere i principi fisici e i passaggi matematici che portano alla derivazione dei principali modelli di PDE (es. equazione del trasporto, delle onde, del calore).





2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding)
Analizzare il comportamento di serie di funzioni utilizzando i criteri di convergenza, in particolare il criterio di Weierstrass.

Calcolare lo sviluppo in serie di Fourier di funzioni periodiche e utilizzare le serie di potenze per calcolare somme di serie numeriche.


Risolvere equazioni differenziali ordinarie, lineari e non lineari, come le equazioni a variabili separabili, del secondo ordine a coefficienti costanti e di Bernoulli.





Risolvere equazioni alle derivate parziali del primo ordine, anche non lineari come l'equazione di Burgers, tramite il metodo delle caratteristiche, identificando la possibile formazione di shock.



Risolvere il problema di Cauchy per l'equazione delle onde utilizzando la formula di D'Alembert.

Risolvere problemi al contorno per l'equazione del calore e di Laplace/Poisson in geometrie semplici, applicando il metodo di separazione delle variabili o utilizzando le soluzioni fondamentali.



Impostare la formulazione debole di un'equazione differenziale, ad esempio per il problema di Poisson.

3. Autonomia di giudizio (Making judgements)
Valutare quale sia il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale più appropriato da applicare in un dato contesto.

Scegliere la strategia risolutiva più efficace per una data equazione differenziale, ordinaria o alle derivate parziali, in base alla sua classificazione e alle condizioni al contorno.



Interpretare criticamente le proprietà qualitative delle soluzioni delle PDE, come il dominio di dipendenza per l'equazione delle onde, l'effetto regolarizzante e la velocità infinita di propagazione per l'equazione del calore, e il principio del massimo per le equazioni paraboliche ed ellittiche.



Riconoscere i limiti dei modelli matematici e la necessità di introdurre concetti più avanzati, come le soluzioni deboli in presenza di discontinuità (shock).


4. Abilità comunicative (Communication skills)
Utilizzare un linguaggio matematico rigoroso e una simbologia corretta per descrivere concetti, teoremi e procedure risolutive.

Esprimere in forma scritta e orale, con chiarezza e coerenza logica, i passaggi che conducono alla soluzione di un problema matematico complesso.

Comunicare i principi fondamentali di un modello differenziale (PDE) e il significato fisico delle sue soluzioni a interlocutori con competenze ingegneristiche.

5. Capacità di apprendimento (Learning skills)
Sviluppare le competenze necessarie per approfondire autonomamente lo studio di argomenti di matematica applicata più avanzati, consultando testi specialistici come quelli indicati in bibliografia.

Acquisire una solida base concettuale (es. spazi funzionali, formulazioni deboli) per poter comprendere la letteratura scientifica moderna nell'ambito dell'ingegneria e della fisica-matematica.


Costruire un approccio metodologico che consenta di affrontare e modellizzare nuovi problemi ingegneristici attraverso l'uso di strumenti matematici avanzati.

Mod. MAT08 – 3 CFU
Alla fine del corso lo studente sarà in grado di:
- individuare un metodo numerico adatto a risolvere alcuni problemi test
- analizzarne e formularne la soluzione in modo algoritmico
- identificare le caratteristiche e le fonti di errore
- produrre e visualizzare la soluzione in ambiente di calcolo integrato (Matlab)
- eseguire test numerici e analizzare criticamente i risultati ottenuti

Programma del corso di Analisi Matematica I e II, di Algebra Lineare e Geometria.

Successioni e Serie di Funzioni
Questo modulo introduce i concetti di convergenza puntuale e uniforme per successioni e serie di funzioni. Vengono analizzate le proprietà delle serie, come la continuità e la possibilità di scambiare le operazioni di limite, integrale e derivata. Si studiano in dettaglio le serie di potenze, con il calcolo del raggio di convergenza, e le serie di Taylor e MacLaurin per approssimare le funzioni. Il modulo si conclude con le serie di Fourier, utilizzate per rappresentare funzioni periodiche, e le loro proprietà di convergenza.

Integrali Impropri e Integrali di Lebesgue
Si inizia con un richiamo sugli integrali impropri e i criteri per determinarne la convergenza. Successivamente, viene introdotta la teoria dell'integrazione di Lebesgue, più generale di quella di Riemann. Vengono presentati teoremi fondamentali come la Convergenza Monotona e Dominata, che stabiliscono le condizioni per passare al limite sotto il segno di integrale. Il modulo introduce anche concetti avanzati come gli spazi di funzioni Lᵖ, le derivate deboli e gli spazi di Sobolev, fondamentali per la formulazione debole dei problemi differenziali.

Equazioni Differenziali Ordinarie (Richiami)
Questa parte del corso è una revisione delle principali tecniche risolutive per le equazioni differenziali ordinarie. Vengono trattate le equazioni del primo ordine, sia a variabili separabili che lineari, e le equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, con metodi per trovare soluzioni particolari per i casi non omogenei. Si menziona anche l'equazione di Bernoulli.

Equazioni alle Derivate Parziali (PDE) del Primo Ordine
Il corso introduce le PDE, classificandole in base alla loro linearità. Viene presentato il metodo delle caratteristiche come tecnica principale per risolvere le equazioni del primo ordine, come l'equazione del trasporto. La teoria viene applicata a modelli fisici, come l'equazione di continuità per il traffico, che porta all'equazione di Burgers. Si esplora il concetto di soluzioni deboli e la formazione di onde d'urto (shock), introducendo la condizione di Rankine-Hugoniot.

Equazione delle Onde
Questo modulo è dedicato all'equazione delle onde, che descrive fenomeni come le vibrazioni di una corda. Viene presentata la formula risolutiva di D'Alembert per il problema di Cauchy. Si analizzano concetti chiave come il dominio di dipendenza e il dominio di influenza, che descrivono come si propagano gli effetti delle condizioni iniziali.

Equazione del Calore
Qui si studia l'equazione del calore, modello per i processi di diffusione. Le soluzioni vengono costruite con il metodo di separazione delle variabili per diverse condizioni al contorno (Dirichlet e Neumann). Vengono discussi i principi del massimo, fondamentali per garantire l'unicità della soluzione. Si introduce infine la soluzione fondamentale (o nucleo del calore) per risolvere il problema su un dominio illimitato, evidenziando le sue proprietà di regolarizzazione istantanea e velocità di propagazione infinita.

Equazioni Ellittiche
L'ultima parte del corso tratta le equazioni di Laplace e Poisson, che modellano fenomeni stazionari (di equilibrio). Si studiano le proprietà delle loro soluzioni, dette funzioni armoniche, come il teorema della media e il principio del massimo.

L. C. Evans, Partial Differential Equations: Second Edition, Graduate Studies in Mathematics, AMS
• S. Salsa, Partial Differential Equations in Action, Springer
• F. Scarabotti, Equazioni alle derivate parziali. Teoria elementare e applicazioni, Esculapio
• M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, Ed. McGraw-Hill
• W. F. Trench, Elementary differential equations with boundary values problems, Trinity University.
• Slides del corso (per uso privato per gli studenti frequentanti)

Modulo: METODI MATEMATICI PER L'INGEGNERIA
N/D
Modulo: METODI MATEMATICI PER L'INGEGNERIA
N/D

Didattica frontale/tradizionale

In presenza, non obbligatoria ma fortemente consigliata

Prova scritta con esercizi e domande di teoria e, a discrezione del docente, integrazione orale in fase di revisione

Materiale presente sul sito del corso: https://classroom.google.com/c/MjM0OTA3Mjc5NzVa?cjc=qfwsu2hx

• Successioni e Serie di Funzioni (Circa 14 ore)
  • Testi di riferimento: M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, Ed. McGraw-Hill


• Integrali Impropri e Integrali di Lebesgue (Circa 12 ore)
  • Testi di riferimento: Slides del corso


• Richiami su Equazioni Differenziali Ordinarie (Circa 4 ore)
  • Testi di riferimento: M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, Ed. McGraw-Hill


• Equazioni alle Derivate Parziali del Primo Ordine (Circa 8 ore)
  • Testi di riferimento: L. C. Evans, Partial Differential Equations: Second Edition, Graduate Studies in Mathematics, AMS• S. Salsa, Partial Differential Equations in Action, Springer• F. Scarabotti, Equazioni alle derivate parziali. Teoria elementare e applicazioni, Esculapio


• Equazione delle Onde (Circa 6 ore)
  • Testi di riferimento: L. C. Evans, Partial Differential Equations: Second Edition, Graduate Studies in Mathematics, AMS• S. Salsa, Partial Differential Equations in Action, Springer• F. Scarabotti, Equazioni alle derivate parziali. Teoria elementare e applicazioni, Esculapio


• Equazione del calore (Circa 8 ore)
  • Testi di riferimento: L. C. Evans, Partial Differential Equations: Second Edition, Graduate Studies in Mathematics, AMS• S. Salsa, Partial Differential Equations in Action, Springer• F. Scarabotti, Equazioni alle derivate parziali. Teoria elementare e applicazioni, Esculapio


• Equazioni Ellittiche (Circa 8 ore)
  • Testi di riferimento: L. C. Evans, Partial Differential Equations: Second Edition, Graduate Studies in Mathematics, AMS• S. Salsa, Partial Differential Equations in Action, Springer• F. Scarabotti, Equazioni alle derivate parziali. Teoria elementare e applicazioni, Esculapio