Fisica

ERNESTO SPINELLI

Obiettivi Formativi

Obiettivi generali:
acquisire conoscenze di base sui sistemi lineari, sugli spazi vettoriali, sulle applicazioni lineari, sulle forme bilineari simmetriche e sulle forme hermitiane.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati
di base relativi alla risoluzione di sistemi lineari e all'interpretazione geometrica delle loro soluzioni,
al calcolo matriciale, alla teoria degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari tra essi, con particolare attenzione al caso
degli endomorfismi di uno spazio vettoriale e delle decomposizioni in autospazi ad essi associate.

Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere
sistemi di equazioni lineari in un arbitrario numero (finito) di variabili, di riconoscere problemi matematici
rappresentati da applicazioni lineari tra spazi vettoriali e utilizzare questo fatto per la loro risoluzione; sarà
in grado di operare con le matrici e di stabilire la risolubilità di un sistema lineare e l'invertibilità di un'applicazione lineare
mediante considerazioni sul rango e mediante il calcolo del determinante delle matrici associate; inoltre sarà in grado di
calcolare gli autovalori di un endomorfismo lineare e determinare la decomposizione in autospazi ad esso associata.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati in questo corso e gli argomenti trattati nei corsi successivi come Meccanica e Analisi Vettoriale.

Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno lo studio dei successivi corsi della laurea triennale in Fisica.

- Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base sui sistemi lineari, sugli spazi vettoriali, sulle applicazioni lineari, sulle forme bilineari simmetriche e sulle forme hermitiane.

- Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni ed i risultati di base relativi alla risoluzione di sistemi lineari e all'interpretazione geometrica delle loro soluzioni, al calcolo matriciale, alla teoria degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari tra essi, con particolare attenzione al caso degli endomorfismi di uno spazio vettoriale e delle decomposizioni in autospazi ad essi associate.

Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere sistemi di equazioni lineari in un arbitrario numero (finito) di variabili, di riconoscere problemi matematici rappresentati da applicazioni lineari tra spazi vettoriali e utilizzare questo fatto per la loro risoluzione; sarà in grado di operare con le matrici e di stabilire la risolubilità di un sistema lineare e l'invertibilità di un'applicazione lineare mediante considerazioni sul rango ed il calcolo del determinante delle matrici associate; inoltre sarà in grado di calcolare gli autovalori di un endomorfismo lineare e determinare la decomposizione in autospazi ad esso associata.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati in questo corso e gli argomenti trattati nei corsi successivi come Meccanica e Analisi Vettoriale.

Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno lo studio dei successivi corsi della laurea triennale in Fisica.

Conoscenza degli argomenti basilari di matematica impartiti nella scuola secondaria.

Nozioni di base. Insiemi, funzioni, campi, polinomi. Il campo dei numeri complessi.
Sistemi lineari. Eliminazione di Gauss, struttura delle soluzioni.
Spazi vettoriali. Combinazioni lineari, sottospazi e sottospazi affini, indipendenza lineare, basi e generatori, dimensione, somma e intersezione, formula di Grassmann.
Applicazioni lineari. Nucleo, immagine, Teorema della dimensione.
Matrici. Algebra della matrici, matrici associate ad applicazioni lineari, rango, matrici invertibili, cambiamento di coordinate, determinanti.
Diagonalizzazione. Autovalori ed autovettori, polinomio caratteristico.
Forme bilineari. Prodotti scalari, prodotti hermitiani, basi ortogonali, Teorema di Sylvester, spazi vettoriali euclidei e hermitiani.
Operatori autoaggiunti, isometrie lineari, Teorema Spettrale.

Marco Abate e Chiara de Fabritiis, Geometria Analitica con elementi di Algebra Lineare, III edizione (2015), ed. Mc Graw Hill Educational

Dispense di "Algebra Lineare e Geometria" (dal sito https://www.mat.uniroma1.it/didattica/materiale-didattico)

Lezioni frontali ed esercizi

Consigliata

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) ed una eventuale prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa tre ore.
Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti del programma e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.