Matematica

SERGIO SIMONELLA
STEFANO ROSSI

Obiettivi generali: Acquisire conoscenze di base in meccanica classica.

Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di formulare modelli matematici di problemi di natura meccanica ed impiegare nella loro trattazione i metodi analitici e qualitativi delle equazioni differenziali ordinarie, secondo quanto esposto nel corso.

Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) condurre l’analisi qualitativa nel piano delle fasi per sistemi unidimensionali conservativi ed effettuare stime quantitative; ii) studiare problemi di stabilità dell’equilibrio con i metodi (elementari) della teoria di Liapunov; iii) calcolare frequenze di modi normali relativamente a posizioni di equilibrio stabile; iv) operare una scelta appropriata di coordinate lagrangiane nel caso di particolari varietà configurazionali (in particolare angoli di Eulero per SO(3), coordinate sferiche, etc), riconoscere la natura variazionale delle equazioni di Lagrange e sfruttare le conseguenze che da essa discendono; v) utilizzare criteri particolari nella ricerca di integrali primi delle equazioni di Lagrange ed operare la conseguente riduzione ad un numero inferiore di gradi di libertà.

Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno le basi per analizzare le analogie tra gli argomenti trattati e le conoscenze già acquisite di analisi e geometria; acquisiranno inoltre importanti strumenti e idee che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi fondamentali della meccanica classica.

Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare concetti, idee e metodologie della meccanica analitica.

Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di affrontare lo studio, a livello individuale o in un corso di laurea magistrale, di aspetti specialistici della meccanica classica e, più in generale, della teoria dei sistemi dinamici.

Obiettivi generali: Acquisire conoscenze di base in meccanica classica.

Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di formulare modelli matematici di problemi di natura meccanica ed impiegare nella loro trattazione i metodi analitici e qualitativi delle equazioni differenziali ordinarie, secondo quanto esposto nel corso.

Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) condurre l’analisi qualitativa nel piano delle fasi per sistemi unidimensionali conservativi ed effettuare stime quantitative; ii) studiare problemi di stabilità dell’equilibrio con i metodi (elementari) della teoria di Liapunov; iii) calcolare frequenze di modi normali relativamente a posizioni di equilibrio stabile; iv) operare una scelta appropriata di coordinate lagrangiane nel caso di particolari varietà configurazionali (in particolare angoli di Eulero per SO(3), coordinate sferiche, etc), riconoscere la natura variazionale delle equazioni di Lagrange e sfruttare le conseguenze che da essa discendono; v) utilizzare criteri particolari nella ricerca di integrali primi delle equazioni di Lagrange ed operare la conseguente riduzione ad un numero inferiore di gradi di libertà.

Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno le basi per analizzare le analogie tra gli argomenti trattati e le conoscenze già acquisite di analisi e geometria; acquisiranno inoltre importanti strumenti e idee che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi fondamentali della meccanica classica.

Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare concetti, idee e metodologie della meccanica analitica.

Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di affrontare lo studio, a livello individuale o in un corso di laurea magistrale, di aspetti specialistici della meccanica classica e, più in generale, della teoria dei sistemi dinamici.

Il corso richiede familiarità con gli argomenti dei corsi di calcolo, analisi matematica I e II, algebra lineare e fisica generale I.

- Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie, equilibri e stabilità.
- Formulazione assiomatica della meccanica newtoniana per sistemi di punti materiali.
- Equazioni cardinali, leggi di conservazione.
- Analisi qualitativa dei moti unidimensionali.
- Moti centrali e problema di Keplero.
- Principi variazionali ed equazioni di Eulero-Lagrange.
- Dinamica dei sistemi di punti materiali vincolati.
- Sistemi lagrangiani, riduzione a forma normale, integrali primi.
- Equilibri, condizione di stabilità e instabilità, piccole oscillazioni.
- Simmetrie e teorema di Noether.
- Introduzione alla dinamica del corpo rigido.

P. Buttà, P. Negrini, Note del corso di meccanica razionale, Edizioni Nuova Cultura.
R. Esposito, Appunti dalle lezioni di meccanica razionale, Aracne Editrice.

V.I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti University Press. L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Fisica Teorica 1 - Meccanica, Editori Riuniti University Press. G. Gallavotti, Meccanica Elementare. Editore Paolo Boringhieri, Torino. E. Olivieri, Appunti di meccanica razionale, Aracne Editrice.

[E] R. Esposito, Appunti dalle lezioni di meccanica razionale, Aracne Editrice (disponibili in rete)
[G] G. Gallavotti, Meccanica Elementare. Editore Paolo Boringhieri, Torino.
[LL] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Fisica Teorica 1 - Meccanica, Editori Riuniti University Press.
[O] E. Olivieri, Appunti di meccanica razionale, Aracne Editrice.

Il corso si basa su lezioni frontali attraverso le quali gli studenti apprendono le conoscenze fondamentali della disciplina. Lezioni frontali (60%), svolgimento di esercizi (40%).

La frequenza alle lezioni e' importante per una buona comprensione dei contenuti del corso

L'esame mira a valutare l'apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa due-tre ore e può essere sostituita da due prove intermedie, entrambe della durata di due ore, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda immediatamente a fine corso. La prima prova intermedia sarà incentrata principalmente sulla analisi qualitativa dei moti unidimensionali e centrali, la seconda sui sistemi lagrangiani con più gradi di libertà.
Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati.

La prima prova intermedia sarà incentrata principalmente sulla analisi qualitativa dei moti unidimensionali e centrali, la seconda sui sistemi lagrangiani con più gradi di libertà.

• - Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie, equilibri e stabilità.- Formulazione assiomatica della meccanica newtoniana per sistemi di punti materiali.- Equazioni cardinali, leggi di conservazione.- Analisi qualitativa dei moti unidimensionali.- Moti centrali e problema di Keplero.- Principi variazionali ed equazioni di Eulero-Lagrange.- Dinamica dei sistemi di punti materiali vincolati.- Sistemi lagrangiani, riduzione a forma normale, integrali primi.- Equilibri, condizione di stabilità e instabilità, piccole oscillazioni.- Simmetrie e teorema di Noether.- Introduzione alla dinamica del corpo rigido.