Matematica

GUIDO CAVALLARO
GIANLUCA PANATI

Obiettivi generali: Acquisire conoscenze di base in meccanica classica.

Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di formulare modelli matematici di problemi di natura meccanica ed impiegare nella loro trattazione i metodi analitici e qualitativi delle equazioni differenziali ordinarie, secondo quanto esposto nel corso.

Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) condurre l’analisi qualitativa nel piano delle fasi per sistemi unidimensionali conservativi ed effettuare stime quantitative; ii) studiare problemi di stabilità dell’equilibrio con i metodi (elementari) della teoria di Liapunov; iii) calcolare frequenze di modi normali relativamente a posizioni di equilibrio stabile; iv) operare una scelta appropriata di coordinate lagrangiane nel caso di particolari varietà configurazionali (in particolare angoli di Eulero per SO(3), coordinate sferiche, etc), riconoscere la natura variazionale delle equazioni di Lagrange e sfruttare le conseguenze che da essa discendono; v) utilizzare criteri particolari nella ricerca di integrali primi delle equazioni di Lagrange ed operare la conseguente riduzione ad un numero inferiore di gradi di libertà.

Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno le basi per analizzare le analogie tra gli argomenti trattati e le conoscenze già acquisite di analisi e geometria; acquisiranno inoltre importanti strumenti e idee che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi fondamentali della meccanica classica.

Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare concetti, idee e metodologie della meccanica analitica.

Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di affrontare lo studio, a livello individuale o in un corso di laurea magistrale, di aspetti specialistici della meccanica classica e, più in generale, della teoria dei sistemi dinamici.

Obiettivi generali: Acquisire conoscenze di base in meccanica classica.

Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di formulare modelli matematici di problemi di natura meccanica ed impiegare nella loro trattazione i metodi analitici e qualitativi delle equazioni differenziali ordinarie, secondo quanto esposto nel corso.

Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) condurre l’analisi qualitativa nel piano delle fasi per sistemi unidimensionali conservativi ed effettuare stime quantitative; ii) studiare problemi di stabilità dell’equilibrio con i metodi (elementari) della teoria di Liapunov; iii) calcolare frequenze di modi normali relativamente a posizioni di equilibrio stabile; iv) operare una scelta appropriata di coordinate lagrangiane nel caso di particolari varietà configurazionali (in particolare angoli di Eulero per SO(3), coordinate sferiche, etc), riconoscere la natura variazionale delle equazioni di Lagrange e sfruttare le conseguenze che da essa discendono; v) utilizzare criteri particolari nella ricerca di integrali primi delle equazioni di Lagrange ed operare la conseguente riduzione ad un numero inferiore di gradi di libertà.

Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno le basi per analizzare le analogie tra gli argomenti trattati e le conoscenze già acquisite di analisi e geometria; acquisiranno inoltre importanti strumenti e idee che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi fondamentali della meccanica classica.

Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare concetti, idee e metodologie della meccanica analitica.

Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di affrontare lo studio, a livello individuale o in un corso di laurea magistrale, di aspetti specialistici della meccanica classica e, più in generale, della teoria dei sistemi dinamici.

E' consigliabile aver seguito i due primi insegnamenti di Analisi Matematica e l'insegnamento di Fisica 1.

- Nozioni base sulle equazioni differenziali ordinarie, equilibri e stabilità;
- Semplici equazioni differenziali;

- Formulazione assiomatica della meccanica newtoniana per sistemi di punti materiali;

- Analisi qualitativa dei moti unidimensionali;

- Moti centrali e problema di Keplero;

- Principi variazionali ed equazioni di Eulero-Lagrange.;
- Dinamica dei sistemi di punti materiali vincolati;

- Sistemi lagrangiani;

- Equilibri, condizione di stabilità e instabilità, piccole oscillazioni;
- Equazioni di Eulero per il corpo rigido;

- Sistemi hamiltoniani: cenni.

P. Buttà, P. Negrini, Note del corso di meccanica razionale, Edizioni Nuova Cultura.

V.I. Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, Springer.
H. Goldstein, Classical Mechanics, Pearson.

Lezioni frontali sui concetti teorici con svolgimento di esercizi in classe.

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata per una buona comprensione dei contenuti dell'insegnamento.

L’esame consiste di una prova scritta atta a valutare le capacità di risolvere problemi sugli argomenti dell'insegnamento e di una prova orale che consiste nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso.
Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30.
Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti e di essere in
grado di applicare i metodi appresi nel corso ai più semplici tra gli esempi trattati. Per conseguire un
punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza
eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e
coerente.

Esempio di domande all'orale: Ricavare la prima legge di Keplero - Ricavare le equazioni di Eulero-Lagrange da un principio variazionale - Determinare le equazioni delle piccole oscillazioni.
Esempi di esercizi: risolvere un problema meccanico scrivendo la Lagrangiana, le equazioni del moto, trovando i punti di equilibrio e discutendone la stabilità, svolgendo l'analisi qualitativa, e trovando traiettorie particolari.