Matematica

EMILIO DE SANTIS

Obiettivi generali: acquisire conoscenze in teoria della Probabilità e sviluppare abilità nel problem solving

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni di base di teoria ergodica, teoria dell’informazione, dominazione stocastica e teoria della percolazione.

Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente potrà risolvere problemi su campi aleatori discreti, riguardanti teoria ergodica, teoria dell’informazione, dominazione stocastica e teoria della percolazione.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e la probabilità discreta sviluppata nel primo corso di probabilità. Acquisirà familiarità con alcuni concetti chiavi in teoria della Probabilità, utili anche in altri contesti.

Capacità comunicative: lo studente dovrà mostrare capacità di esporre i contenuti del corso nella parte orale della verifica e nella soluzione di problemi nella prova scritta.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno allo studente di approfondire individualmente alcuni aspetti delle teorie presentate nel corso e faciliteranno lo studio di argomenti ricerca attualmente molto attivi.

Il corso si propone di fornire agli studenti le nozioni avanzate del calcolo delle probabilità, con particolare riferimento ai fondamenti rigorosi della teoria, alle trasformazioni di variabili aleatorie, al condizionamento e all'introduzione ai processi stocastici (catene di Markov a tempo discreto e processi di Poisson).

Al termine dell'insegnamento, lo studente sarà in grado di:

Conoscenza e capacità di comprensione: Comprendere i fondamenti matematici e rigorosi della teoria della probabilità e della teoria dei processi stocastici.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Risolvere problemi legati al calcolo delle distribuzioni di trasformazioni di variabili aleatorie continue, alla speranza condizionata e all'analisi di modelli probabilistici e dinamiche aleatorie.

Autonomia di giudizio: Selezionare e applicare in autonomia i modelli e le tecniche probabilistiche più adeguate per formalizzare e analizzare contesti aleatori.

Abilità comunicative: Esporre con rigore formale, proprietà di linguaggio e precisione matematica le definizioni, i teoremi e le metodologie della probabilità avanzata.

Capacità di apprendimento: Consultare e comprendere autonomamente la letteratura e i testi di approfondimento nell'ambito del calcolo delle probabilità e della modellistica stocastica.

È richiesta la conoscenza dei concetti fondamentali forniti da un primo corso di Probabilità (spazi di probabilità discreti, variabili e vettori aleatori discreti di qualsiasi dimensione, calcolo combinatorio, condizionamento) e i contenuti di Analisi Matematica II, con particolare riferimento al calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili reali (in particolare integrali doppi e multipli).

1. Fondamenti di Teoria della Misura e Probabilita:
- Spazi di probabilita, sigma-algebre e misure di probabilita.
- pi-sistemi, lambda-sistemi e Teorema di unicita per l'estensione delle misure (teorema pi-lambda di Dynkin).
- Lemmi di Borel-Cantelli (I e II) e loro generalizzazioni (Teorema di Kochen-Stone).

2. Variabili Aleatorie e Vettori Aleatori Continui:
- Variabili e vettori aleatori assolutamente continui e relative famiglie di distribuzioni notevoli.
- Densita congiunte, marginali e condizionate.
- Trasformazioni di vettori aleatori continui e metodo del cambio di variabile (teorema del jacobiano).

3. Condizionamento, Speranza Condizionata e Vettori Gaussiani:
- Valore atteso condizionato rispetto a sigma-algebre e variabili aleatorie: definizioni e proprieta fondamentali (inclusa la proprieta di torre E[E[X|F]] = E[X]).
- Vettori aleatori gaussiani (multivariati), matrice di covarianza e relativi teoremi caratterizzanti.

4. Teoremi Limite:
- Tipi di convergenza per variabili aleatorie (quasi certa, in probabilita, in legge).
- Teorema del Limite Centrale e applicazioni.

5. Processi Stocastici:
- Catene di Markov a tempo discreto e spazio degli stati finito: matrici di transizione, classificazione degli stati, distribuzione stazionaria e teoremi di convergenza all'equilibrio.
- Processo di Poisson: le due definizioni equivalenti (tramite incrementi indipendenti/stazionari e tramite tempi di interarrivo esponenziali) e teoremi correlati.

1. P. Baldi, "Calcolo delle Probabilita", McGraw-Hill.
2. P. Billingsley, "Probability and Measure", Wiley.
3. J. R. Norris, "Markov Chains", Cambridge University Press.
4. D. Williams, "Probability with Martingales", Cambridge University Press.

L'insegnamento si svolge prevalentemente tramite lezioni frontali in aula, integrate da esercitazioni pratiche dedicate alla risoluzione di problemi e alla discussione di casi studio legati agli argomenti del programma.

La frequenza alle lezioni e alle esercitazioni non e obbligatoria, ma e caldamente consigliata per un efficace apprendimento dei contenuti teorici e metodologici del corso.

L'esame consiste in una prova scritta e in una prova orale.

- Prova scritta: e finalizzata a verificare la capacita dello studente di risolvere problemi e esercizi pratici sugli argomenti del programma (calcolo di densita, trasformazioni di variabili aleatorie, calcolo di probabilita condizionate e analisi di catene di Markov o processi di Poisson).
- Prova orale: e volta ad accertare la comprensione dei concetti teorici, le dimostrazioni dei teoremi principali e il rigore di linguaggio matematico.

Il superamento della prova scritta è propedeutico all'accesso alla prova orale.

1. Esercizi sul calcolo della densita congiunta e marginale per vettori aleatori continui e trasformazioni di variabili aleatorie (uso del jacobiano).
2. Esercizi sul calcolo del valore atteso condizionato e analisi delle proprieta di catene di Markov a tempo discreto (stati assorbenti, distribuzioni stazionarie).
3. Domande teoriche con dimostrazione dei teoremi principali (es. Lemmi di Borel-Cantelli, Teorema del Limite Centrale, proprieta del processo di Poisson).