Matematica

TOMMASO TADDEI

Il corso intende presentare i principali metodi numerici di approssimazione per la soluzione di alcuni problemi applicativi.
I contenuti del corso variano di anno in anno tra i seguenti temi:

Algebra lineare numerica
Metodi numerici di ottimizzazione
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie
Teoria della approssimazione

Verranno affrontati gli aspetti teorici ed algoritmici relativi ai temi trattati.
Il corso prevede attività pratiche di Laboratorio per lo sviluppo dei codici in C++ o MATLAB.


Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:
Gli studenti che abbiano superato l'esame conosceranno le principali tecniche numeriche sui temi trattati.

Applicare conoscenza e comprensione:
Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di decidere quale tipo di metodo numerico sia opportuno utilizzare in rapporto al problema da risolvere. Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di realizzare praticamente gli algoritmi in C++ o MATLAB.

Capacità critiche e di giudizio:
Gli studenti saranno in grado di valutare i risultati prodotti dai loro programmi, effettuare test e simulazioni.

Capacità comunicative:
Capacità di esporre e motivare la soluzione proposta per alcuni problemi scelti in classe sia alla lavagna che su computer.

Capacità di apprendimento:
le conoscenze acquisite permetteranno di costruire le basi per uno studio relativo ad aspetti più specialistici della analisi e della simulazione numerica. Lo studente prenderà familiarità con diverse nozioni e tecniche relative ai temi presentati nel corso.

Il corso di Metodi numerici di approssimazione è rivolto allo studio delle principali tecniche di approssimazione numerica per le equazioni differenziali ordinarie. Al termine dell'insegnamento, gli studenti avranno maturato solide basi propedeutiche allo studio dei metodi numerici per le equazioni alle derivate parziali, i problemi di ottimizzazione, e le tecniche di apprendimento automatico.

Conoscenze di base di metodi numerici per interpolazione, quadratura ed algebra lineare. Conoscenze di analisi matematica delle equazioni differenziali ordinarie.

Metodi ad un passo. Esempi. Zero-stabilità, consistenza, convergenza, teorema di Lax-Richtmeyer, analisi dell’errore a priori. Stabilità assoluta. Implementazione di schemi espliciti ed impliciti; metodo di Newton-Raphson.
Metodi multistep. Metodi di Taylor; metodi Adams–Moulton e Adams–Bashforth, metodi BDF, analisi di convergenza e stabilità, teoria di Dalquist; metodi IMEX.
Metodi Runge Kutta. Derivazione del metodo, condizione d’ordine, metodi espliciti ed impliciti. adattività in tempo.
Metodi simplettici. Sistemi Hamiltoniani. Metodo di Eulero esplicito simplettico; metodo di Stormet-Verlet. Analisi del metodo Stormet-Verlet: reversibilità, simpletticità, equazioni modificate.
Integrazione ed ottimizzazione. Connessioni fra metodi di integrazione in tempo e metodi di ottimizzazione. Flussi di gradiente, metodi di accelerazione.
Equazioni differenziali matriciali (cenni). Motivazione, decomposizione valori singolari, formulazione del problema differenziale dynamic low-rank. Esempi numerici.

Quarteroni, Sacco, Saleri, Gervasio. Matematica numerica. Springer, 2014.

Griffiths, Higham. Numerical methods for ordinary differential equations. Springer, 2010.
Hairer, Lubich, Wanner. Geometric numerical integration. Springer, 2005.

Lezioni ed esercitazioni frontali alla lavagna e sessioni in laboratorio.

Facoltativa

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite prova scritta e prova orale. Nella prova scritta si chiederà di rispondere a quesiti teorici e di risolvere problemi simili a quelli discussi in classe. La prova orale consisterà nella discussione di metodi illustrati nel corso, delle loro proprietà e della loro implementazione.


Studio della consistenza di un metodo numerico, analisi di stabilità, implementazione di uno schema numerico per sistemi di equazioni differenziali, ed interpretazione dei risultati.

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