Matematica

VALERIA GILIBERTI

Lo scopo del corso è quello di introdurre le nozioni teoriche fondamentali per lo studio e la comprensione dell'elettromagnetismo classico.

Risultati di apprendimento: la capacita' di impostare e risolvere esercizi standard basati su elettrostatica, magnetostatica, campi elettrici e magnetici lentamente variabili.

Conoscenze acquisite: dopo aver superato l'esame gli studenti potranno seguire corsi avanzati di fisica teorica.

Competenze acquisite: oltre ad apprendere le leggi fisiche fondamentali che governano i fenomeni elettromagnetici, gli studenti svilupperanno doti di ragionamento tecnico-scientifico e abilita' di risoluzione analitica dei problemi, utili per studiare, modellizzare e comprendere i principi fondamentali dell'elettromagnetismo classico.
Queste doti e abilità saranno verificate periodicamente durante il corso grazie alla discussione in aula di una vasta gamma di esempi applicativi, e alla risoluzione di problemi-tipo durante le esercitazioni.

Obiettivi generali: lo scopo del corso è quello di introdurre le nozioni teoriche fondamentali per lo studio e la comprensione dell'elettromagnetismo classico.

Obiettivi specifici
1. Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente conoscerà le equazioni fondamentali dell'elettromagnetismo (equazioni di Maxwell) e potrà seguire corsi avanzati di fisica teorica.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di impostare e risolvere esercizi standard basati su elettrostatica, magnetostatica, campi elettrici e magnetici lentamente variabili.
3. Autonomia di giudizio: oltre ad apprendere le leggi fisiche fondamentali che governano i fenomeni elettromagnetici, gli studenti svilupperanno doti di ragionamento tecnico-scientifico e abilità di risoluzione analitica dei problemi, utili per studiare, modellizzare e comprendere i principi fondamentali dell'elettromagnetismo classico.
Queste doti e abilità saranno verificate periodicamente durante il corso grazie alla discussione in aula di una vasta gamma di esempi applicativi e alla risoluzione di problemi-tipo durante le esercitazioni.
4. Abilità comunicative: gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare concetti, idee e metodologie dell'elettromagnetismo classico.
5. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in altri insegnamenti, relativo ad aspetti più specialistici ed avanzati dell'elettromagnetismo classico.

Sono indispensabili le conoscenze di calcolo differenziale ed integrale, analisi vettoriale ed algebra lineare.

È indispensabile aver appreso bene dal corso di Fisica Generale I le leggi fondamentali della dinamica e i concetti di lavoro ed energia potenziale.

1. Elettrostatica nel vuoto.
* La legge di Coulomb; l'unità di carica nel SI;
 conservazione della carica.
* Definizione del campo elettrostatico E e del potenziale elettrostatico V; principio di sovrapposizione per E e per V.
* Dipolo elettrico, 
potenziale e campo creati da un dipolo, azioni meccaniche su un dipolo.

* Energia elettrostatica di un sistema di cariche.

* Linee di forza e superfici equipotenziali.
* Flusso del campo elettrico; il teorema di
 Gauss; esempi di calcolo del campo elettrostatico mediante il teorema di Gauss: strato e doppio strato, filo indefinito.

* Equazioni dell'elettrostatica nel vuoto in forma differenziale e integrale; equazioni 
di Poisson e di Laplace; densità di energia e
pressione del campo elettrostatico .

2. Conduttori in elettrostatica
* Proprietà dei conduttori in regime elettrostatico, induzione elettrostatica, conduttori
cavi, schermo elettrostatico, metodo delle carica immagine, Condensatori, condensatori connessi in serie o in parallelo; energia di un condensatore carico.

3. Proprietà elettrostatiche dei dielettrici.
* Polarizzazione e spostamento dielettrico.

* Costante dielettrica.
* Equazioni di Maxwell nei mezzi dielettrici.

4. Corrente elettrica
* Definizione dell'intensità di corrente e della densità di corrente;
 equazione di continuità.
* Correnti stazionarie; resistenza di un conduttore e legge di
 Ohm.

5. Magnetostatica
* 
Le scoperte di Oersted e di Ampere; definizione del 
campo magnetostatico; assenza dei monopoli magnetici.
* Azioni meccaniche su un
dipolo magnetico e energia potenziale di un dipolo magnetico.
* Forza magnetica 
su un circuito percorso da corrente; forza di Lorentz; moto di una carica in
 un campo magnetico.

* Il campo magnetico generato da correnti stazionarie: il filo rettilineo 
indefinito, la spira circolare ed il solenoide indefinito.
* Il momento
 di dipolo magnetico di una spira percorsa da corrente.

* La circuitazione del campo magnetico, teorema di Ampere; esempi di
calcolo di campi magnetici con il teorema della circuitazione di Ampere.

* Forma differenziale e integrale delle equazioni della magnetostatica nel
 vuoto.

6. Campi magnetici e elettrici variabili nel tempo
*
 Le scoperte di Faraday e la legge di Faraday-Neumann-Lenz.
* Caso del "flusso tagliato"; generatori di f.e.m. alternata.
* Autoinduzione e mutua induzione; extracorrente di chiusura e apertura in un circuito RL.
* Cenni sui circuiti in corrente alternata, risonanza di un circuito RLC.

* Energia magnetica di un solenoide percorso da corrente; densità di energia del campo magnetico.

* Contraddizione tra il teorema della circuitazione di Ampere e la conservazione della corrente, introduzione della "corrente di spostamento".
Equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico.

7. Onde elettromagnetiche
* Soluzioni delle equazioni di
 Maxwell nel vuoto, onde elettomagnetiche che si propagano con la velocità della 
luce.


8. Trasformazioni di Lorentz e cenni di relativita' ristretta.

Testi consigliati
* Fisica II. Elettromagnetismo. Ottica di C. Mencuccini e V. Silvestrni, Ed. CEA
* Fisica Generale - Elettromagnetismo di S. Focardi, I.G. Massa, A. Uguzzoni, M. Villa, Ed. CEA
* Fisica – Elettromagnetismo e ottica di U. Gasparini, M. Margoni, F. Simonetto, Ed. Piccini

Testi di esercizi
* Fisica Vol II di P. Mazzoldi. M. Nigro, C. Voci, Ed. Edises
* Problemi di Fisica generale – Elettromagnetismo ed ottica di M. Nigro, C. Voci, Ed. Cortina

Testi aggiuntivi di approfondimento
* La Fisica di Berkley, Vol. 2 di E. M. Purcell, Ed. Zanichelli
* Introduction to Electrodynamics di D. J. Griffiths, Ed. Prentice-Hall
* Classical Electrodynamics di J. D. Jackson, Ed. John Wiley & Sons

Testi consigliati
* Fisica II. Elettromagnetismo. Ottica, di C. Mencuccini e V. Silvestrni, Ed. CEA
* Fisica Generale - Elettromagnetismo di S. Focardi, I.G. Massa, A. Uguzzoni, M. Villa, Zanichelli, seconda edizione
* Fisica – Elettromagnetismo e ottica di U. Gasparini, M. Margoni, F. Simonetto, Ed. Piccini

Sono previste 4 ore a settimana di didattica frontale e 3 di esercitazione. Durante le esercitazioni, agli studenti verrà fornito il tempo per discutere fra loro possibili approcci risolutivi, prima che gli esercizi vengano svolti alla lavagna.

Non obbligatoria.

L’esame prevede una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta mira a valutare le capacità di applicazione delle conoscenza acquisite durante il corso. Il colloquio orale ha invece lo scopo di valutare la conoscenza e la comprensione degli argomenti del programma svolto a lezione. Condizione per l’ammissione alla prova orale è l’ottenimento di un voto pari ad almeno 16/30 alla prova scritta.

Durante il semestre di svolgimento del corso si terranno due prove di esonero, che avranno validità ai fini del superamento della prova scritta. Nel caso di superamento di entrambi gli esoneri, ci si può comunque presentare alle successive prove scritte e decidere se consegnare o meno un nuovo elaborato, allo scopo di migliorare la propria votazione.

Una volta superato lo scritto, il voto rimane valido esclusivamente per l'appello corrispondente. Dunque l'esame orale deve essere sostenuto nello stesso appello.

1 Esercizio di elettrostatica
Un lungo filo rettilineo, uniformemente carico con densità lineare di carica λ = 10^{−6} C/m, costituisce l’asse di un lungo guscio cilindrico di raggio interno a = 4 cm e raggio esterno b = 8 cm. Il guscio è costituito da materiale dielettrico omogeneo e isotropo con costante dielettrica relativa εr = 3.
1. Dare l’espressione del campo elettrico E (modulo, direzione e verso) in tutto lo spazio.
2. Calcolare numericamente il lavoro fatto da una forza esterna per portare una carica q = 10^{−7} C da un punto C a distanza c = 10 cm dal filo ad un punto A a distanza a da esso, specificandone il segno (positivo o negativo).
3. Calcolare numericamente la densità superficiale e volumetrica delle cariche di polarizzazione.
4. Come cambia la risposta alla domanda 2 se il dielettrico non `e omogeneo ma εr = αr, con r distanza dall’asse del filo e α = 4 cm^{−1}?
5. Come cambia la risposta alla domanda 2 se invece di un guscio dielettrico `e presente un guscio conduttore?


2 Esercizio di magnetismo
Una spira quadrata ha lato l = 90 cm massa m = 80 g e resistenza elettrica pari ad R = 8Ω. Essa ha i lati paralleli agli assi x ed y e si muove con velocità v0 = 1cm/s parallela e concorde all’asse x, quando, al tempo t = 0, viene attivato il campo magnetico B⃗ = (B0 + βx)\hat{z} con β = 2.5 T/m. Trascurando l’autoinduzione della spira, si determini:
1. il verso della corrente indotta e la sua espressione in funzione della velocità della spira al tempo t;
2. direzione e verso della forza agente sulla spira e la sua espressione in funzione della velocità della spira al tempo t;
3. l’andamento della velocità della spira in funzione del tempo e il suo valore per t → ∞;
4. il valore dell’energia dissipata per effetto Joule dalla spira, confrontandolo con l’energia cinetica iniziale della spira.