Matematica

Tipologia

Formazione Matematica Teorica

SSD

MAT/02

Anno

2º anno

Semestre

2º semestre

CFU

6

Distribuzione delle ore

40 classroom hours, 12 training hours

Docenti

FRANCESCO MEAZZINI

Tipologia

Formazione Matematica di base

SSD

MAT/02

Anno

2º anno

Semestre

1º semestre

CFU

6

Distribuzione delle ore

32 classroom hours, 24 training hours

Docenti

FRANCESCO MEAZZINI

Obiettivi generali: acquisire le conoscenze di base dell’Algebra.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi a:
1) Aritmetica modulare.
2) Teoria dei Gruppi.
3) Teoria degli Anelli.
4) Teoria dei campi e loro estensioni.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di maneggiare in maniera autonoma le tecniche iniziali dell’Algebra astratta e di risolvere semplici problemi nell’ambito delle nozioni acquisite.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni con nozioni acquisite nei corsi del primo anno con particolare riferimento a argomenti concernenti l’algebra lineare e la risoluzione di equazioni algebriche nel campo reale e complesso.

Capacità comunicative: Il discente avrà la capacità di comunicare in maniera rigorosa le idee e i contenuti esposti nel corso.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o
impartito in un corso successivo al fine di acquisire nozione più avanzate relative alle principali strutture algebriche.

Modulo: ANELLI E CAMPI
Al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi ad teoria degli anelli e teoria dei campi.


Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
Al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi ad Aritmetica elementare e Gruppi.

Modulo: ANELLI E CAMPI
Il corso richiede che lo studente conosca e padroneggi le nozioni di base impartite nel corso di Algebra Lineare.


Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
Il corso richiede che lo studente conosca e padroneggi le nozioni di base impartite nel corso di Algebra Lineare.

Modulo: ANELLI E CAMPI
Anelli, ideali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e isomorfismo, campo delle frazioni di un dominio.
Domini euclidei, a ideali principali, a fattorizzazione unica. Interi di Gauss, interi somma di quadrati, ideali primi ed ideali massimali. Divisibilità nei domini, elementi primi ed irriducibili.
Anelli di polinomi: proprietà universale, polinomi a coefficienti in un dominio, la proprietà euclidea dei polinomi monici, quozienti di anelli di polinomi, lemma di Gauss, criterio di Eisenstein ed altri criteri di irriducibilità, gli elementi irriducibili di Z[x], fattorizzazione unica in Z[x].
Estensioni di campi, elementi algebrici e trascendenti, estensioni finite e algebriche, grado di un'estensione, campo di spezzamento di un polinomio.
Campi algebricamente chiusi, il teorema fondamentale dell'algebra, radici multiple e criterio della derivata, classificazione dei campi finiti, morfismo di Frobenius, radici n-esime dell'unità ed estensioni ciclotomiche.
Costruzioni con riga e compasso.


Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
Aritmetica su Z e modulare. Divisione euclidea, MCD, algoritmo euclideo e identità di Bezout, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica.
Congruenze, elementi invertibili di Z/mZ, funzione di Eulero, teorema di Eulero-Fermat, piccolo teorema di Fermat, equazioni e sistemi di equazioni congruenziali, teorema cinese del resto, RSA.
Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, elementi coniugati, teoremi di Lagrange e di Cayley.
Gruppi ciclici e loro sottogruppi, gruppi diedrali, gruppi simmetrici, prodotto diretto e semidiretto di gruppi, P-gruppi finiti.
Gruppi abeliani finitamente generati e loro classificazione.
Azioni di gruppo su un insieme, teoremi di Sylow, applicazioni.

Modulo: ANELLI E CAMPI
I. Herstein, Algebra, Editori Riuniti
M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri


Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
I. Herstein, Algebra, Editori Riuniti
M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri

Modulo: ANELLI E CAMPI
N/D
Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
N/D

Modulo: ANELLI E CAMPI
Lezioni frontali alla lavagna.


Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
Lezioni frontali alla lavagna.

Modulo: ANELLI E CAMPI
La frequenza non è obbligatoria.


Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
La frequenza non è obbligatoria.

Modulo: ANELLI E CAMPI
L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale.


Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale.

Modulo: ANELLI E CAMPI
Classici esercizi su teoria degli anelli e teoria dei campi.


Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
Classici esercizi su aritmetica e teoria dei gruppi.

Modulo: ANELLI E CAMPI
N/D
Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
N/D