Matematica

Tipologia

Formazione Matematica Teorica

SSD

MAT/02

Anno

2º anno

Semestre

2º semestre

CFU

6

Distribuzione delle ore

40 classroom hours, 12 training hours

Docenti

DANIELE VALERI

Tipologia

Formazione Matematica di base

SSD

MAT/02

Anno

2º anno

Semestre

1º semestre

CFU

6

Distribuzione delle ore

32 classroom hours, 24 training hours

Docenti

DANIELE VALERI

Obiettivi generali: acquisire le conoscenze di base dell’Algebra.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi a:
1) Aritmetica modulare.
2) Teoria dei Gruppi.
3) Teoria degli Anelli.
4) Teoria dei campi e loro estensioni.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di maneggiare in maniera autonoma le tecniche iniziali dell’Algebra astratta e di risolvere semplici problemi nell’ambito delle nozioni acquisite.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni con nozioni acquisite nei corsi del primo anno con particolare riferimento a argomenti concernenti l’algebra lineare e la risoluzione di equazioni algebriche nel campo reale e complesso.

Capacità comunicative: Il discente avrà la capacità di comunicare in maniera rigorosa le idee e i contenuti esposti nel corso.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o
impartito in un corso successivo al fine di acquisire nozione più avanzate relative alle principali strutture algebriche.

Modulo: ANELLI E CAMPI
Obiettivi specifici:


Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà
acquisito le nozioni e i risultati di base relativi a:

1) Teoria degli Anelli.

2) Teoria dei campi e loro estensioni.


Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente
sarà in grado di maneggiare in maniera autonoma le tecniche iniziali
della teoria degli anelli e dei campi, e di risolvere semplici
problemi relativi ad anelli di polinomi, anelli euclidei, estensioni
finite


Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per
analizzare le analogie e le relazioni con nozioni acquisite nei corsi
del primo anno con particolare riferimento a argomenti concernenti
l’algebra lineare e la risoluzione di equazioni algebriche nel campo
reale e complesso.


Capacità comunicative: Il discente avrà la capacità di comunicare in
maniera rigorosa le idee e i contenuti esposti nel corso.


Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno
studio, individuale o
impartito in un corso successivo al fine di acquisire nozione più
avanzate relative alle principali strutture algebriche.


Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
Obiettivi generali: acquisire le conoscenze di base dell’Algebra
relative a argomenti di aritmetica e teoria dei gruppi.


Obiettivi specifici:


Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà
acquisito le nozioni e i risultati di base relativi a:

1) Aritmetica modulare.

2) Teoria dei Gruppi.


Applicare conoscenza e comprensione: al temine del modulo lo studente
sarà in grado di maneggiare in maniera autonoma le tecniche iniziali
della teoria dei gruppi e di risolvere semplici problemi di
aritmetica modulare


Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per
analizzare le analogie e le relazioni con nozioni acquisite nei corsi
del primo anno con particolare riferimento a argomenti concernenti
l’algebra lineare e i gruppi di trasformazioni.


Capacità comunicative: Il discente avrà la capacità di comunicare in
maniera rigorosa le idee e i contenuti esposti nel corso.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno
studio, individuale o
impartito in un corso successivo al fine di acquisire nozione più
avanzate relative alle principali strutture algebriche.
Obiettivi generali: acquisire le conoscenze di base dell’Algebra
relative a argomenti di teoria degli anelli e teoria dei campi.

Modulo: ANELLI E CAMPI
Il corso richiede che lo studente conosca e padroneggi le nozioni di base impartite nei primi corsi di algebra lineare.


Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
Il corso richiede che lo studente conosca e padroneggi le nozioni di base impartite nel corso di algebra lineare.

Modulo: ANELLI E CAMPI
Terza parte. Elementi di teoria degli anelli

Anelli, ideali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, campo delle frazioni di un dominio. - Domini euclidei, a ideali principali, a fattorizzazione unica, interi di Gauss, interi somma di due quadrati, ideali primi ed ideali massimali; divisibilità nei domini; elementi primi ed irriducibili.

Anelli di polinomi: proprietà universale, polinomi a coefficienti in un dominio, la proprietà euclidea dei polinomi monici, quozienti di anelli di polinomi, lemma di Gauss, criterio di Eisenstein ed altri criteri di irriducibilità; gli elementi irriducibili di Z[x], fattorizzazione unica in Z[x].

Quarta Parte. Elementi di teoria dei campi

Estensioni di campi, elementi algebrici e trascendenti, estensioni finite e algebriche, grado di un'estensione, campo di spezzamento di un polinomio.

Campi algebricamente chiusi, il teorema fondamentale dell'algebra, radici multiple e criterio della derivata, classificazione dei campi finiti, morfismo di Frobenius, radici n-esime dell’unità ed estensioni ciclotomiche.

Costruzioni con riga e compasso (i problemi della trisezione dell'angolo, della quadratura del cerchio, della rettificazione della circonferenza e della duplicazione del cubo).

Una breve introduzione alla teoria di Galois in caratteristica 0.


Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
Prima parte. Aritmetica su Z e modulare

Divisione euclidea, MCD, algoritmo euclideo e identità di Bézout, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica.

Congruenze, elementi invertibili di Z/mZ, la funzione di Eulero, il teorema di Eulero-Fermat, il Piccolo Teorema di Fermat, equazioni e sistemi di equazioni congruenziali, teorema cinese del resto, RSA.

Seconda parte. Elementi di teoria dei gruppi

Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, elementi coniugati, teorema di Lagrange e di Cayley.

Gruppi ciclici e loro sottogruppi, gruppi diedrali, gruppi simmetrici (scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, classe pari e dispari, permutazioni coniugate nel gruppo simmetrico). Prodotto diretto e semidiretto di gruppi. P-gruppi finiti.

Gruppi abeliani finitamente generati e loro classificazione.
Azioni di gruppo su un insieme. I teoremi di Sylow e applicazioni.

Modulo: ANELLI E CAMPI
Israel Herstein, Algebra, Editori Riuniti
Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri
S. Weintraub, Galois Theory
Lecture Notes on Groups Theory di J. Milne


Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
Israel Herstein, Algebra, Editori Riuniti
Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri
S. Weintraub, Galois Theory
Lecture Notes on Groups Theory di J. Milne

Modulo: ANELLI E CAMPI
N/D
Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
N/D

Modulo: ANELLI E CAMPI
Il corso prevede lezioni in aula.


Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
Il corso prevede lezioni in aula.

Modulo: ANELLI E CAMPI
La frequenza non è obbligatoria.


Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
La frequenza non è obbligatoria.

Modulo: ANELLI E CAMPI
L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso).

La prova scritta avrà una durata di circa tre ore e può essere sostituita da due prove intermedie, entrambe della durata di almeno due ore, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda a fine corso. La prima prova intermedia sarà incentrata principalmente sugli argomenti di aritmetica e teoria dei gruppi, la seconda sui restanti argomenti del corso.

Sono ammessi alla prova orale gli studenti che abbiano ottenuto una votazione non inferiore a 17/30 nella prova scritta (o nella media delle due prove intermedie). Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti di tutte le parti del programma.

Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.


Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso).

La prova scritta avrà una durata di circa tre ore e può essere sostituita da due prove intermedie, entrambe della durata di almeno due ore, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda a fine corso. La prima prova intermedia sarà incentrata principalmente sugli argomenti di aritmetica e teoria dei gruppi, la seconda sui restanti argomenti del corso.

Sono ammessi alla prova orale gli studenti che abbiano ottenuto una votazione non inferiore a 17/30 nella prova scritta (o nella media delle due prove intermedie). Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti di tutte le parti del programma.

Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

Modulo: ANELLI E CAMPI
Vedere pagina web del corso 2023/2024: https://www1.mat.uniroma1.it/people/desole/didattica/2023-algebra1/index.html


Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
Vedere la pagina web del corso 2023/2024: https://www1.mat.uniroma1.it/people/desole/didattica/2023-algebra1/index.html

Modulo: ANELLI E CAMPI
N/D
Modulo: ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI
N/D