Matematica

ANDREA DAVINI

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base dell'Analisi Matematica. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito alcune nozioni e risultati di base relativi agli spazi metrici, agli spazi di Banach e ad alcuni operatori che agiscono su di essi. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso del principio delle contrazioni, di risolvere equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del primo e del secondo ordine, studiare la convergenza di successioni e serie di funzioni, le proprietà di continuità e differenziabilità di funzioni vettoriali. Capacità critiche e di giudizio: nel corso lo studente verrà in contatto con i primi elementi della moderna Analisi Matematica, ottenendo le conoscenze/competenze necessarie ad riconoscere le strutture astratte che permettono di affrontare e risolvere alcuni problemi di matematica (pura o applicata). Capacità comunicative: lo studente sarà in grado di esporre i contenuti teorici appresi nel corso e di organizzare e comunicare i ragionamenti necessari a risolvere quesiti teorici proposti nello svolgimento del corso. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite sono necessarie per affrontare i corsi di Analisi Matematica successivi.

Obiettivi generali:
acquisire conoscenze di base dell'Analisi Matematica.

Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito alcune nozioni e risultati di base relativi agli spazi metrici, agli spazi di Banach e ad alcuni operatori che agiscono su di essi.
Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso del principio delle contrazioni, di risolvere equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del primo e del secondo ordine, studiare la convergenza di successioni e serie di funzioni, le proprietà di continuità e differenziabilità di funzioni vettoriali.
Capacità critiche e di giudizio: nel corso lo studente verrà in contatto con i primi elementi della moderna Analisi Matematica, ottenendo le conoscenze/competenze necessarie ad riconoscere le strutture astratte che permettono di affrontare e risolvere alcuni problemi di matematica (pura o applicata).
Capacità comunicative: lo studente sarà in grado di esporre i contenuti teorici appresi nel corso e di organizzare e comunicare i ragionamenti necessari a risolvere quesiti teorici proposti nello svolgimento del corso.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite sono necessarie per affrontare i corsi di Analisi Matematica successivi.

Benché non ci siano prerequisiti formali previsti, il corso richiede familiarità con i principali argomenti affrontati nei corsi di base di Calcolo I e di Algebra Lineare, in particolare con i seguenti concetti numero reale, successione, limite, funzione reale di variabile reale, spazio vettoriale.

1. Spazi metrici: Definizione di spazio metrico. Successioni in spazi metrici: successioni convergenti, successioni di Cauchy, completezza. Teorema delle contrazioni. Insiemi aperti, chiusi; compattezza e compattezza per successioni. Funzioni continue fra spazi metrici, uniforme continuità.

2. Successioni e serie di funzioni: Convergenza puntuale e uniforme, continuità del limite uniforme di funzioni continue e risultati di passaggio al limite sotto al segno di integrale e di derivata. Compattezza in C^0 e teorema di Ascoli-Arzelà. Richiami sui numeri complessi. Serie di potenze in campo reale e complesso, raggio di convergenza, convergenza sul bordo. Sviluppo di Taylor e serie di Taylor, funzioni analitiche reali. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier.

3. Equazioni differenziali ordinarie: Teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali ordinarie. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del primo ordine e del secondo ordine a coefficienti costanti. Metodo di somiglianza.

Testi consigliati:

[1] E. GIUSTI, Analisi Matematica 2. Bollati Boringhieri (1989).
[2] M. GIAQUINTA, G. MODICA, Mathematical Analysis: Linear and Metric Structures and Continuity. Birkauser Boston (2007).
[3] M. GIAQUINTA, G. MODICA, Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes. Birkauser Boston (1999).
[4] W. RUDIN, Principles of mathematical analysis, McGraw Hill (1976).

Lezioni frontali in aula (60%), svolgimento in aula di esercizi (40%)

La partecipazione alle lezioni è consigliata, ma non obbligatoria.

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta, che consiste nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni in aula e/o assegnati come carico di lavoro per casa, e una prova orale di discussione dei temi più rilevanti affrontati nel corso.
La prova scritta può essere sostituita da due prove intermedie.
La prova orale è sconsigliata a chi ha una valutazione inferiore a 18 nella prova scritta oppure a chi ha una media sulle prove intermedie inferiore a 16.

Per superare l’esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Per raggiungere tale risultato lo studente deve dimostrare di aver acquisito una manualità discreta nell’uso dei concetti introdotti nelle unità didattiche del corso, di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati e di aver capito ed assimilato le principali definizioni e gli enunciati dei principali risultati trattati a lezione.

Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una ottima familiarità con gli strumenti di calcolo presentati, una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso e di essere in grado di rielaborarli in modo logico e coerente per produrre dimostrazioni rigorose di piccoli problemi o generalizzazioni.

Esercizi in cui si richiede lo svolgimento dettagliato e domande a risposta multipla