Physics - Fisica

ANDREA CRISANTI

A - Conoscenza e capacità di comprensione
OF 1) Conoscere le basi della teoria dei processi stocastici, discreti e continui, e della descrizione formale in termini di soluzione delle equazioni di Chapman-Kolmogorov, di Fokker-Planck e delle equazioni maestre.
OF 2) Comprendere le similitudine con le proprietà delle soluzioni di equazioni già note, come le eqauzioni di Schroedinger, e apprendere i metodi di risoluzione delle equazioni usando il calcolo operatoriale.
OF 3) Conoscere il formalismo dell’integrazione stocastica delle equazioni differenziali stocastiche e le sue connessioni alle equazioni differenziali alle derivate parziali di Fokker-Planck.
B – Capacità applicative
OF 4) Saper dedurre le proprietà fisiche dei sistemi dall’analisi delle equazioni stocastiche.
OF 5) Saper applicare i metodi al calcolo dei tempi di primo passaggio, ed alle conseguenze della legge di Arrhenius sul rilassamento verso l’equilibrio di sistemi con potenziali complicati.
OF 6) Essere in grado di applicare tecniche e metodi a sistemi di natura diversa, all’equilibrio e fuori equilibrio (liquidi viscosi, sistemi di onde, sistemi vetrosi, laser).
C - Autonomia di giudizio
OF 7) Essere in grado di integrare le conoscenze acquisite al fine dell’applicazione a contesti anche non esplicitamente trattati durante il corso.
OF 8) Integrare le conoscenze acquisite con quelle pregresse, formalizzando conoscenze già note e facendo collegamenti a casi più complessi.
D – Abilità nella comunicazione
OF 9) Saper comunicare oralmente un procedimento di dimostrazione o di applicazione valutando quali sono i passi intermedi rilevanti ed il loro significato.
E - Capacità di apprendere
OF 10) Avere la capacità di consultare diversi testi e articoli scientifici al fine di approfondire in modo autonomo alcuni argomenti introdotti durante il corso.
OF 11) Avere la capacità di valutare l’efficacia dei vari approcci studiati a seconda dei problemi trattati.

Saper utilizzare strumenti di calcolo per i processi stocastici

a) E’ indispensabile conoscere concetti di base della teoria della probabilità.
b) E’ importante avere una buona conoscenza del calcolo operatoriale e dei metodi matematici della fisica.

Programma di massima
• Processi di Bernoulli
• Processi di Markov
• Equazione di Chapman-Kolmogorov
• Forma differenziale dell'equazione di Chapman-Kolmogorov equation.
• Master equation, equazione di Fokker-Planck, equazione di Liouville
• Processo di Wiener
• Equazione di Langevin
• Equazione di Langevin e processo di Wiener
• Integrazione stocastica
• Integrazione stocastica di Ito e di Stratonovich
• Regola di differenziazione di Ito
• Formula di Ito: equazioni differenziali stocastiche e Fokker-Planck
• Equazioni differenziali stocastiche: connessione Ito e Stratonovich
• Equazioni di Fokker-Planck: Ito e Stratonovich
• Integrazione numerica equazioni differenziali stocastiche: algoritmo di Runge-Kutta del secondo ordine
• Formalismo di Martin-Siggia-Rose
• Formulazione funzionale equazione di Langevin.
• Doppia Trasformata di Legendre e teoria perturbativa.

Gardiner, Stochastic Methods, Springer 2009
Risken, The Fokker-Planck Equation, Springer 1996

Saper utilizzare metodi di calcolo analitico

non obbligatoria ma consigliata

Esame orale sugli argomenti svolti a lezione

Domande sul programma svolto