Physics - Fisica

ALESSANDRO TETA
GIULIA BASTI

Obiettivi generali:



acquisire conoscenze su argomenti fondamentali della Fisica Matematica e sui metodi matematici relativi.



Obiettivi specifici:



Conoscenza e comprensione:

al temine del corso lo studente conoscerà le basi della teoria degli operatori in spazi di Hilbert, la struttura matematica della Meccanica Quantistica, i metodi di base per lo studio dal punto di vista della Fisica Matematica di problemi di Meccanica Quantistica.



Applicare conoscenza e comprensione:

Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) utilizzare i risultati della teoria degli operatori, ii) costruire Hamiltoniane autoaggiunte e studiarne lo spettro, iii) affrontare in modo rigoroso un problema di scattering, iv) comprendere i metodi matematici necessari per lo studio della dinamica dei sistemi a molti corpi, con particolare riguardo al fenomeno della condensazione.



Capacità critiche e di giudizio:

Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno le basi per riconoscere un approccio di tipo fisico-matematico e analizzare analogie e differenze rispetto all'approccio tipico della Fisica Teorica



Capacità comunicative:

Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare concetti, idee e metodologie della fisica matematica.

Capacità di apprendimento:

le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in altri insegnamenti, relativo ad aspetti più specialistici dei metodi della fisica matematica.

Acquisire conoscenze di base sull'approccio tipico della Fisica Matematica.
In particolare, approfondire la teoria degli operatori in spazi di Hilbert, comprendere la struttura matematica della Meccanica Quantistica, essere in grado di affrontare lo studio rigoroso di applicazioni rilevanti, quali la teoria dello scattering e la condensazione di Bose-Einstein.

Buona conoscenza dei concetti matematici discussi nei corsi:
Analisi, Geometria, Analisi Vettoriale, Modelli e Metodi Matematici della Fisica.
Buona conoscenza delle nozioni base di Meccanica Quantistica.

a) Operatori lineari in spazi di Hilbert

Richiami su operatore limitato e non, operatore aggiunto, simmetrico e autoaggiunto. Criterio di autoaggiuntezza, teorema perturbativo di Kato-Rellich, applicazioni alle Hamiltoniane della particella libera e dell’atomo di idrogeno. Definizione di insieme risolvente, spettro e operatore risolvente. Spettro reale di un operatore autoaggiunto. Operatore isometrico e unitario. Formulazione del teorema spettrale (senza dimostrazione). Gruppi unitari. Classificazione dello spettro.

b) Regole della Meccanica Quantistica

Formulazione assiomatica delle regole. Cenni e commenti ai problemi di interpretazione.

c) Richiami sulla particella libera

Caratterizzazione dello spettro. Calcolo del risolvente, valori al bordo sullo spettro. Gruppo unitario e suo andamento asintotico per tempi grandi.

d) Interazioni puntuali

Costruzione della Hamiltoniana con interazione puntuale in d = 3. Autoaggiuntezza e spettro.

Facoltativo: Hamiltoniana con N interazioni puntuali, studio del problema agli autovalori per N = 2. Generalita’ sull’effetto Efimov per atomi ultrafreddi. Approccio con interazioni puntuali nell’approssimazione di Born-Oppenheimer. Cenno alla dimostrazione dell’effetto Efimov.

e) Teoria dello scattering

Stati asintoticamente liberi. Operatori d’onda e loro propriet`a. Definizione di completezza as- intotica. Operatore di scattering e sue proprieta`. Teorema dello scattering nei coni. Teorema di espansione in autofunzioni (senza dimostrazione). Dimostrazione di completezza asintot- ica e rappresentazione dell’operatore di scattering. Soluzione perturbativa dell’equazione di Lippmann-Schwinger. Approssimazione di Born.

f) Sistemi a molti corpi

Prodotto tensoriale di spazi di Hilbert. Hamiltoniana di sistemi a molti corpi. Particelle identiche in meccanica quantistica: bosoni e fermioni. Stati misti. Matrici densit`a ridotta. Ensemble statistici in meccanica quantistica (cenni). Seconda quantizzazione: spazio di Fock, operatori creazione e distruzione.

g) Condensazione di Bose-Einstein

Prova di condensazione in un gas bosonico ideale. Condensazione per sistemi interagenti: definizione. Limiti di scala. Condensazione nel limite di campo medio.

h) Teoria di Bogoliubov

Operatori di Weyl, trasformazioni di Bogoliubov. Teoria di Bogoliubov: euristica nel limite termodinamico e derivazione della formula di Lee-Huang-Yang per lo stato fondamentale. Teoria di Bogoliubov rigorosa nel limite di campo medio.

Facoltativo: Derivazione dell’equazione di Hartree per la dinamica in campo medio. Teoria di Bogoliubov nel regime di Gross-Pitaevskii.

i) Alcuni aspetti rilevanti della teoria dal punto di vista fondazionale

Uno o piu` argomenti facoltativi, svolti in forma seminariale, a scelta tra: Articolo di Dirac (1925) e formulazione algebrica della Meccanica Quantistica; limite classico, decoerenza e traiettorie in una camera a nebbia (Mott (1929)); argomento di incompletezza nell’articolo di Einstein, Podolsky e Rosen (1935).

Teta, A Mathematical Primer on Quantum Mechanics, Springer 2018
Appunti redatti dai docenti su:
interazioni puntuali,
teoria dello scattering,
sistemi a molti corpi e condensazione di Bose-Einstein

Teschl G., Mathematical Methods in quantum Mechanics, AMS 2009
Hall B.C., Quantum Theory for Mathematicians, Springer, 2013
E.H.Lieb and R.Seiringer. The Stability of Matter in Quantum Mechanics. Cambridge, 2009.
R. Seiringer. Cold Quantum Gases and Bose-Einstein Condensation. Lecture notes from the school ``Quantum Theory from Small to Large Scales'', August 2-27, 2010

Lezioni frontali (70%) sui concetti teorici con svolgimento di esercizi in classe (30%)

La frequenza alle lezioni e' indispensabile per una buona comprensione dei contenuti del corso

L'esame consiste in un colloquio sui temi più rilevanti illustrati nel
corso.  Per superare l'esame lo studente/la studentessa deve essere in
grado di presentare un argomento o ripetere un calcolo discusso
durante il corso. Allo/a studente/studentessa verrà richiesto di applicare i
metodi appresi in esercizi o ad esempi e situazioni simili a quelle
discusse durante il corso. Nella valutazione si tiene  conto di:
- correttezza e completezza dei concetti esposti;
- chiarezza e rigore espositivo;
- capacità di sviluppo analitico della teoria;
- attitudine nel problem solving (metodo e risultati).

Definizione di operatore autoaggiunto, autoaggiuntezza della Hamiltoniana dell'atomo di idrogeno, proprieta' degli operatori d'onda, definizione di condensazione di Bose-Einstein per sistemi interagenti.