Matematica

Dal diario di Algebra Superiore, 2023-2024 Generalità sui funtori Hom e prodotto tensoriale. Funtorialità aggiunzione esattezza. Moduli piatti. Localizzazione. Prodotti tensoriali in risoluzioni libere. Moduli proiettivi. Moduli localmente liberi. Realizzazioni equivalenti di moduli proiettivi finitamente generati su un anello noetheriano, cenni su fibrati vettoriali. Richiami su anelli di Dedekind. Varie condizioni equivalenti. Ideali frazionari e invertibili. Ogni ideale frazionario invertibile è proiettivo. Condizioni di coprimalità nelle fattorizzazioni degli ideali principali negli anelli di Dedekind. Ideali primi inerti, decomposti, ramificati. Nozione di indice di reticolo (Fröhlich). Teorema: L'indice di due A-reticoli è un ideale frazionario non nullo. Formalismo AKLBG. Azione del gruppo di Galois sul gruppo degli ideali frazionari. Transitività dell'azione sui primi che dividono un primo dato. Esempio: Estensioni di Artin-Schreier. Ramificazione. Richiamo sul teorema fondamentale della teoria di Galois (estensioni finite). interpretazione della formula [L:K]=efg, il simbolo di Artin. Definizione e prime proprietà. Esempio: Estensioni quadratiche di Q: simbolo di Kronecker. Formalismo AKLB nel caso in cui A è DVR completo. Esempio: interi p-adici. I lemmi di Hensel. Lying-over-Theorem LOT, Going up, Dimensione in estensioni integrali. Estensioni di norme. Teorema di Dedekind-Kummer e versione locale (con A DVR completo) Estensioni totalmente ramificate: criterio di equivalenza (locale), polinomi di Eisenstein. Caratterizzazione esplicita delle estensioni locali totalmente moderatamente ramificate in termini di radici di uniformizzante. Categorie concrete con prodotti. Equalizzatori. Limite proiettivo, proprietà universale del limite proiettivo (senza dimostrazioni). Limiti proiettivi di spazi, gruppi, anelli.. topologici di Hausdorff. Conseguenze di teorema di Tychonov. Norme equivalenti, teorema di approssimazione debole. Struttura del completamento di un DVR, interpretazione come limite proiettivo. Struttura arborescente di un sistema di aperti. Conseguenza: Hausdorff totalmente disconnesso e compatto se e solo se campo residuo finito. Definizione di campo locale. Esempi: Anello degli interi profiniti: proposizione di diversi esercizi sul completamento profinito. Estensioni non ramificate (caso locale completo). sotto-estensione non ramificata massimale. Esistenza di un'equivalenza di categorie tra estensioni non ramificate e estensioni separabili di campo residuo. Conseguenze dell'equivalenza di categorie per le estensioni non ramificate (caso locale). Algebre étale finite e proprietà fondamentali. Estensioni di base per le algebre étale finite. Teorema di struttura per i completamenti nel caso AKLB. Calcolo di gruppi di decomposizione e d'inerzia. Teorema di Kronecker-Weber. Ingredienti principali, enunciato del caso globale e di quello locale. Teorema di Kronecker Weber: il caso locale implica quello globale. Dimostrazione del teorema di Kronecker-Weber locale in p, caso di estensioni cicliche di grado l^k con l differente da p. Cenni sul caso l=p dispari (si usa la teoria di Kummer), e sul caso l=p=2." "Estensione abeliana massimale di Qp. Decomposizione del gruppo di Galois. Struttura di Qp^x Legge di reciprocità locale per Qp. Corrispondenza di Galois infinita (Krull). Esempi. Cenni di reciprocità globale di Artin.

È abbastanza consigliato l'aver seguito il corso di Algebra 3. Basi di algebra commutativa (vedi libro di Atiyah McDonald) sono utilizzate senza richiami. Rudimenti di teoria di Galois sono altrettanto utilizzati, in congiunzione con la teoria degli spazi metrici e topologici.

Atiyah McDonald Introduction to Commutative Algebra (background) Eisenbud Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry Koblitz p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions Neukirch Algebraic Number Theory Sutherland Number Theory (MIT OpenCourseWare) Washington Introduction to Cyclotomic Fields

Le lezioni sono frontali. Orari, aule e altre indicazioni pratiche saranno disponibili sul sito del dipartimento.

Da decidere ulteriormente: o esame orale, o progetto, o tutti e due

Atiyah McDonald Introduction to Commutative Algebra (background) Eisenbud Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry Koblitz p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions Neukirch Algebraic Number Theory Sutherland Number Theory (MIT OpenCourseWare) Washington Introduction to Cyclotomic Fields

Lezioni tradizionali alla lavagna. Vedere sito del dipartimento Guido Castelnuovo.