Matematica

EMANUELE NUNZIO SPADARO
EMANUELE NUNZIO SPADARO
NADIA ANSINI
NADIA ANSINI

Obiettivi generali:

Molti modelli della fisica matematica e in generale delle scienze naturali hanno come fondamento principi variazionali (principio di minimo energia, di minima azione,...) che ne descrivono le configurazioni di equilibrio e le evoluzioni dinamiche.
L’obiettivo del corso è rendere gli studenti consapevoli della varietà di problemi che possono essere affrontati con tecniche variazionali e fornire loro gli strumenti di base e il linguaggio matematico per l’analisi dei modelli presenti nelle varie scienze naturali.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:

al temine del corso la/lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi sul metodo diretto del calcolo delle variazioni, le condizioni di semicontinuità, l’analisi asintotica via Gamma convergenza, e potrà applicare questo metodo in vari contesti di cui verranno fornite le basi funzionali almeno in dimensione 1 (funzionali integrali e spazi di Sobolev, funzionali geometrici e cenni di teoria geometrica della misura).

Applicare conoscenza e comprensione:

al temine del corso la/lo studente sarà in grado di cominciare lo studio di argomenti avanzati di calcolo delle variazioni. Sarà inoltre in grado di formulare un semplice modello variazionale (per esempio collegato a una specifica applicazione) e analizzarne il comportamento asintotico o e individuarne le caratteristiche che lo rendono un modello robusto.

Capacità critiche e di giudizio:

la/lo studente avrà le basi per collegare e utilizzare strumenti trattati in vari momenti della sua preparazione dalla analisi, fisica matematica e la probabilità. Sarà quindi in grado di apprezzarne l’interesse di una questione matematica in relazione anche al suo utilizzo per rispondere a una domanda proveniente da un problema applicato.

Capacità comunicative:

capacità di esporre in maniera rigorosa i contenuti teorici del corso e anche capacità di formulare il problema in esame comprendendo il ruolo della formulazione del modello giusto e della sua analisi. Capacità di spiegare quindi il risultato teorico nel linguaggio relativo all’applicazione in esame potenzialmente quindi spiegabile a pubblico non esperto di calcolo delle variazioni.

Capacità di apprendimento:

le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare un eventuale lavoro di tesi magistrale nell’ambito della matematica applicata alle scienze sia con un approccio più teorico sia in collegamento all’analisi di uno specifico modello di interesse applicativo.

Obiettivi generali:
Molti modelli della fisica matematica e in generale delle scienze naturali hanno come fondamento principi variazionali (principio di minimo energia, di minima azione,...) che ne descrivono le configurazioni di equilibrio e le evoluzioni dinamiche.
L’obiettivo del corso è rendere gli studenti consapevoli della varietà di problemi che possono essere affrontati con tecniche variazionali e fornire loro gli strumenti di base e il linguaggio matematico per l’analisi dei modelli presenti nelle varie scienze naturali.

Obiettivi specifici:
Il corso tratta alcuni esempi di modelli variazionali che sono particolarmente significativi per la geometria e le scienze applicate. Tra questi, il problema isoperimetrico, le superfici minime e la separazione di fase nella teoria di Van der Walls

Conoscenza e comprensione:
Al temine del corso la studentessa avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi al metodo diretto del calcolo delle variazioni, alle condizioni di semi-continuità legate all'esistenza e all’analisi asintotica via Gamma convergenza. Inoltre, potrà applicare questo metodo a vari problemi, di cui verrà introdotto il contesto generale (funzionali integrali in spazi di Sobolev, funzionali geometrici e cenni di teoria geometrica della misura).

Applicare conoscenza e comprensione:
al temine del corso la studentessa sarà in grado di cominciare lo studio di argomenti avanzati del calcolo delle variazioni. Sarà inoltre in grado di formulare un semplice modello variazionale (per esempio collegato a una specifica applicazione) e analizzarne il comportamento asintotico.

Capacità critiche e di giudizio:
la studentessa acquisirà le basi per collegare e integrare gli strumenti trattati in vari momenti della sua preparazione universitaria (analisi matematica, geometria, fisica matematica, probabilità) in relazione a problemi complessi di matematica applicata.

Capacità comunicative:
la studentessa acquisirà capacità di esporre in maniera rigorosa i contenuti teorici del corso e anche la capacità di formulare il problema in esame, con particolare attenzione al ruolo della formulazione del modello stesso.

Capacità di apprendimento:
le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare un eventuale lavoro di tesi magistrale nell’ambito della matematica applicata alle scienze sia con un approccio più teorico sia in collegamento all’analisi di uno specifico modello di interesse applicativo.

I corsi di analisi obbligatori della laurea triennale (Calcolo integrale e differenziale, e teoria della misura) e Istituzioni di analisi superiore (cenni di analisi funzionale e spazi di Sobolev).

Prima parte (2/3 del corso)
Discussione degli esempi principali: problema isoperimetrico, superfici minime, separazione di fase nei modelli di Van der Walls.
Risultati classici per il metodo indiretto: condizioni necessarie per i punti stazionari di energie.
Metodo diretto del calcolo delle variazione.
Condizioni di semicontinuità, il ruolo della convessità.
Problemi vincolati e con condizioni al bordo.
Regolarità per il XIX problema di Hilbert.
Cenni sui problemi variazionali vettoriali e non convessi.


Seconda parte (1/3 del corso)
Gamma convergenza e/o rilassamento
Modelli di transizioni di fase nella teoria di Van der Walls

B. Dacorogna, Direct methods in the calculus of variations. Applied Mathematical Sciences, 78. Springer-Verlag, Berlin, 1989.

E. Giusti, Metodi diretti nel calcolo delle variazioni, Unione Matematica Italiana, Bologna, 1994. vi+422 pp.

J. Jost, Jürgen, X. Li-Jost, Calculus of variations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 64. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. xvi+323 pp.

Lezioni frontali in aula.

La frequenza non è obbligatoria ma consigliata.

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova orale, consistente nella presentazione di alcuni concetti e risultati illustrati a lezione.

- Esporre il teorema di semicontinuità per funzionali integrali.
- Discutere il modello di transizione di fase di Modica-Mortola.

• Introduzione a problemi variazionali uni-dimensionali


• Studio di funzionali integrali in dimensione arbitraria


• Nozioni di convergenza variazionale: Gamma convergenza e esempi