Matematica applicata

DOMENICO MONACO
DOMENICO MONACO

A) Conoscenza e capacità di comprensione

Identificare le tecniche matematiche più rilevanti per la descrizione dei sistemi quantistici. Elaborare le connessioni fra le varie parti del corso. Mettere in relazione le competenze matematiche acquisite nel corso con quelle degli altri corsi curricolari.

B) Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Mostrare come le tecniche matematiche illustrate nel corso si applicano allo studio di sistemi quantistici noti. Proporre l’utilizzo di tecniche matematiche note per lo studio di nuovi problemi fisico-matematici motivati dalla meccanica quantistica. Adattare le competenze acquisite allo studio di problemi fisico-matematici correlati, provenienti anche da contesti diversi da quelli mostrati nel corso.

C) Autonomia di giudizio

Valutare il rigore matematico di un’argomentazione nella descrizione di sistemi quantistici. Giudicare la validità della dimostrazione di un enunciato matematico. Fornire esempi e controesempi agli enunciati matematici rilevanti per il corso.

D) Abilità comunicative

Ripetere argomenti matematici e applicazioni fisico-matematiche viste a lezione. Identificare e illustrare i passaggi fondamentali di argomentazioni matematiche complesse. Elaborare le competenze acquisite nel corso per la discussione orale o scritta di problemi collegati agli argomenti presentati.

E) Capacità di apprendimento

Organizzare in maniera schematica le competenze acquisite a lezione. Utilizzare le fonti testuali indicate per consolidare e integrare le nozioni presentate nel corso. Individuare fonti alternative, compresi libri di testo o articoli di ricerca.

A) Conoscenza e capacità di comprensione
Identificare le tecniche matematiche più rilevanti per la descrizione dei sistemi quantistici.
Elaborare le connessioni fra le varie parti del corso.
Mettere in relazione le competenze matematiche acquisite nel corso con quelle degli altri corsi curricolari.

B) Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Mostrare come le tecniche matematiche illustrate nel corso si applicano allo studio di sistemi quantistici noti.
Proporre l’utilizzo di tecniche matematiche note per lo studio di nuovi problemi fisico-matematici motivati dalla meccanica quantistica.
Adattare le competenze acquisite allo studio di problemi fisico-matematici correlati, provenienti anche da contesti diversi da quelli mostrati nel corso.

C) Autonomia di giudizio
Valutare il rigore matematico di un’argomentazione nella descrizione di sistemi quantistici.
Giudicare la validità della dimostrazione di un enunciato matematico.
Fornire esempi e controesempi agli enunciati matematici rilevanti per il corso.

D) Abilità comunicative
Ripetere argomenti matematici e applicazioni fisico-matematiche viste a lezione.
Identificare e illustrare i passaggi fondamentali di argomentazioni matematiche complesse.
Elaborare le competenze acquisite nel corso per la discussione orale o scritta di problemi collegati agli argomenti presentati.

E) Capacità di apprendimento
Organizzare in maniera schematica le competenze acquisite a lezione.
Utilizzare le fonti testuali indicate per consolidare e integrare le nozioni presentate nel corso.
Individuare fonti alternative, compresi libri di testo o articoli di ricerca.

Verrà assunta una competenza di base nelle tecniche fisico-matematiche acquisite ad esempio nei corsi di Meccanica Razionale, Fisica Matematica e Istituzioni di Fisica Matematica: descrizione lagrangiana e hamiltoniana di sistemi meccanici classici, equazioni alle derivate parziali rilevanti per la fisica matematica, serie e trasformata di Fourier. Verrà inoltre assunta una competenza di base in alcune tecniche matematiche acquisite nei corsi di Analisi Reale e Analisi Funzionale: spazi Lp (in particolare L2), spazi di Hilbert, operatori limitati su spazi di Hilbert. Quando necessario, alcuni di questi argomenti verranno richiamati a lezione.
Per un maggiore apprezzamento degli aspetti fenomenologici della meccanica quantistica, è consigliata la fruizione della parte rilevante del corso di Elementi di Fisica Teorica.

Richiami di meccanica hamiltoniana. Equazioni di Hamilton. Parentesi di Poisson; regole di commutazione degli osservabili posizione e momento. Meccanica hamiltoniana per particelle cariche in un campo elettromagnetico esterno. “Assiomi” della meccanica classica.

Cenni sulle origini sperimentali della meccanica quantistica. Natura onda-particella della luce e dell’elettrone; esperimento a doppia fenditura. Spettro energetico del corpo nero; relazione di Planck. Ipotesi di de Broglie per l’elettrone.

Descrizione fisico-matematica dei sistemi quantistici. Funzione d’onda e sua interpretazione probabilistica. Operatori quantistici di posizione e momento: regole di commutazione canoniche e principio d’indeterminazione. Equazione di Schrödinger. “Assiomi” della meccanica quantistica.

Teoria degli operatori autoaggiunti non limitati su spazi di Hilbert. Aggiunto di un operatore; autoaggiuntezza; criteri di autoaggiuntezza. Risolvente e spettro di un operatore autoaggiunto. Teoria delle perturbazioni per operatori autoaggiunti: teorema di Kato-Rellich. Teorema spettrale: rappresentazione come operatore di moltiplicazione per un operatore autoaggiunto, misura spettrale, calcolo funzionale di operatori autoaggiunti. Teorema di Stone. Decomposizioni spettrali; teorema di Weyl.

Alcuni modelli risolubili della meccanica quantistica. Particella libera e relazione con la teoria di Fourier. Particella confinata a un intervallo, condizioni al bordo. Particella quantistica carica soggetta a un campo magnetico; Hamiltoniana di Landau.

Simmetrie in meccanica quantistica. Rappresentazioni unitarie e proiettive unitarie. Teorema di Wigner.

Il corso comprende anche la trattazione di uno o più argomenti monografici che possono includere l’atomo di idrogeno, le interazioni singolari e l’introduzione allo studio di sistemi quantistici a molti corpi.

Werner O. Amrein. Hilbert Space Methods in Quantum Mechanics (EPFL Press, 2009).
Brian C. Hall. Quantum Theory for Mathematicians. Vol. 267 in Graduate Text in Mathematics (Springer, 2013).
Valter Moretti. Spectral Theory and Quantum Mechanics, 2nd edition. Vol. 110 in UNITEXT - La Matematica per il 3+2 (Springer, 2017).
Alessandro Teta. A Mathematical Primer on Quantum Mechanics (Springer, 2018).
Bernd Thaller. Visual Quantum Mechanics (Springer, 2000).

Mathieu Lewin. Spectral Theory and Quantum Mechanics. Universitext (Springer, 2024).
Michael Reed, Berry Simon. Methods of Modern Mathematical Physics. 4 volumi. Academic Press.

Lezioni frontali. Esercizi assegnati per lo svolgimento individuale.

Frequenza facoltativa ma vivamente consigliata.

L'esame consiste in un colloquio orale sui temi illustrati nel corso. Il colloquio può prendere avvio dalla discussione di uno degli esercizi proposti durante il corso oppure assegnati al momento. Per superare l'esame la studentessa/lo studente deve essere in grado di discutere, con il dovuto rigore matematico, argomenti presentati a lezione, oppure di applicare i metodi appresi ad esempi e situazioni simili a quelle discusse durante il corso.
Nella valutazione si terrà conto di:
- correttezza, chiarezza, completezza e rigore nell’esposizione;
- capacità di raccordo dei vari argomenti esposti a lezione;
- attitudine alla risoluzione di problemi.

Formulazione matematica degli “assiomi” della meccanica quantistica.
Varie forme del teorema spettrale per operatori autoaggiunti non limitati.
Dimostrazione del teorema di Kato-Rellich.
Spettro e autofunzioni per la Hamiltoniana di Landau.