Catalogo dei Corsi di studio

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria della misura e dell'integrazione, spazi L^p, serie di Fourier e variabile complessa.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla Teoria della Misura Astratta, alla costruzione della Misura di Lebesgue, alla Teoria dell'Integrazione, ai Teoremi di Convergenza sotto il segno di integrale, agli spazi L^p, agli spazi di Hilbert e le serie di Fourier, alle proprietà di base del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di variabile complessa.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di intendere il concetto di misura ed integrale in spazi astratti, di integrare funzioni fortemente discontinue, di operare con diverse nozioni di convergenza in L^p, di usare la serie di Fourier in L^2 per approssimare soluzioni di alcune equazioni alle derivate parziali, di applicare il Teorema dei Residui in campo complesso.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per affrontare alcuni problemi della matematica applicata, in particolare quelli basati sullo studio di opportune equazioni alle derivate parziali. Sarà inoltre in grado di intraprendere lo studio di discipline più avanzate, come ad esempio la Teoria Geometrica della Misura o la Teoria degli Integrali Singolari di Calderon-Zygmund.

Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o
impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici riguardanti la variabile reale e complessa.

Programma

Prima parte: teoria della misura (52 ore)

Richiami sulla Misura di Lebesgue in R^d
Teoria astratta della Misura – estensione di Charatheodory
Teoria astratta dell'Integrale – teoremi di convergenza
misure con segno - Teorema di Lebesgue-Radon-Nikodym
misure prodotto – Teorema di Fubini
Spazi L^p

Seconda parte: spazi di Hilbert e serie di Fourier (12 ore)
Teorema di rappresentazione di Riesz
Definizione di serie di Fourier
Trasformata di Fourier

Terza parte: cenni di variabile complessa (20 ore)

Funzioni olomorfe
Serie di potenze
Serie di Laurent
Equazioni di Cauchy-Riemann
Teorema dei Residui
Teorema della mappa aperta
Teorema di Liouville
Teorema Fondamentale dell'Algebra

Testi adottati

H.L. Royden: “Real Analysis”.
W. Rudin: “Real & Complex Analysis”.
E. Stein, R. Shakarchi: “Real Analysis”.


Sarà distribuito materiale didattico relativo agli esercizi.

Prerequisiti

Il corso richiede familiarità con gli argomenti dei corsi di Calcolo I, Analisi I e Analisi II, in particolare con le nozioni classiche del Calcolo Differenziale ed Integrale, in una e più variabili reali. Queste conoscenze sono indispensabili. Tuttavia, non ci sono propedeuticità.

Modalità di frequenza

La frequenza è facoltativa ma fortemente consigliata, anche tenendo conto dell’opportunità di fruire di tre prove in itinere.

Modalità di valutazione

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa tre ore e può essere sostituita da due prove intermedie, entrambe della durata di due ore, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda immediatamente a fine corso. La prima prova intermedia sarà incentrata principalmente sugli argomenti di teoria della misura e dell'integrazione, la seconda su serie di Fourier e variabile complessa.
Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti di tutte e tre le parti del programma e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati.
Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

Programma

Prima parte: teoria della misura (52 ore)

Richiami sulla Misura di Lebesgue in R^d
Teoria astratta della Misura – estensione di Charatheodory
Teoria astratta dell'Integrale – teoremi di convergenza
misure con segno - Teorema di Lebesgue-Radon-Nikodym
misure prodotto – Teorema di Fubini
Spazi L^p

Seconda parte: spazi di Hilbert e serie di Fourier (12 ore)
Teorema di rappresentazione di Riesz
Definizione di serie di Fourier
Trasformata di Fourier

Terza parte: cenni di variabile complessa (20 ore)

Funzioni olomorfe
Serie di potenze
Serie di Laurent
Equazioni di Cauchy-Riemann
Teorema dei Residui
Teorema della mappa aperta
Teorema di Liouville
Teorema Fondamentale dell'Algebra

Testi adottati

H.L. Royden: “Real Analysis”
W. Rudin: “Real & Complex Analysis”
E. Stein, R. Shakarchi: “Real Analysis”

Sarà distribuito materiale didattico relativo alla teoria ed agli esercizi.

Prerequisiti

Il corso richiede familiarità con gli argomenti dei corsi di Calcolo I, Analisi I e Analisi II, in particolare con le nozioni classiche del Calcolo Differenziale ed Integrale, in una e più variabili reali. Queste conoscenze sono indispensabili. Tuttavia, non ci sono propeduticità.

Modalità di frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma altamente consigliata

Modalità di valutazione

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa tre ore e può essere sostituita da due prove intermedie, entrambe della durata di due ore, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda immediatamente a fine corso. La prima prova intermedia sarà incentrata principalmente sugli argomenti di teoria della misura e dell'integrazione, la seconda su serie di Fourier e variabile complessa.
Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti di tutte e tre le parti del programma e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati.
Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.