Catalogo dei Corsi di studio

Obiettivi generali: acquisire le conoscenze di base dell’Algebra.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi a:
1) Aritmetica modulare.
2) Teoria dei Gruppi.
3) Teoria degli Anelli.
4) Teoria dei campi e loro estensioni.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di maneggiare in maniera autonoma le tecniche iniziali dell’Algebra astratta e di risolvere semplici problemi nell’ambito delle nozioni acquisite.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni con nozioni acquisite nei corsi del primo anno con particolare riferimento a argomenti concernenti l’algebra lineare e la risoluzione di equazioni algebriche nel campo reale e complesso.

Capacità comunicative: Il discente avrà la capacità di comunicare in maniera rigorosa le idee e i contenuti esposti nel corso.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o
impartito in un corso successivo al fine di acquisire nozione più avanzate relative alle principali strutture algebriche.

Programma

Prima parte. Aritmetica su Z e modulare

Divisione euclidea, MCD, algoritmo euclideo e identità di Bézout, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica.

Congruenze, elementi invertibili di Z/mZ, la funzione di Eulero, il teorema di Eulero-Fermat, il Piccolo Teorema di Fermat, equazioni e sistemi di equazioni congruenziali, teorema cinese del resto, RSA.

Seconda parte. Elementi di teoria dei gruppi

Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, elementi coniugati, teorema di Lagrange e di Cayley.

Gruppi ciclici e loro sottogruppi, gruppi diedrali, gruppi simmetrici (scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, classe pari e dispari, permutazioni coniugate nel gruppo simmetrico). Prodotto diretto e semidiretto di gruppi. P-gruppi finiti.

Gruppi abeliani finitamente generati e loro classificazione.
Azioni di gruppo su un insieme. I teoremi di Sylow e applicazioni.

Terza parte. Elementi di teoria degli anelli

Anelli, ideali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, campo delle frazioni di un dominio. - Domini euclidei, a ideali principali, a fattorizzazione unica, interi di Gauss, interi somma di due quadrati, ideali primi ed ideali massimali; divisibilità nei domini; elementi primi ed irriducibili.

Anelli di polinomi: proprietà universale, polinomi a coefficienti in un dominio, la proprietà euclidea dei polinomi monici, quozienti di anelli di polinomi, lemma di Gauss, criterio di Eisenstein ed altri criteri di irriducibilità; gli elementi irriducibili di Z[x], fattorizzazione unica in Z[x].

Quarta Parte. Elementi di teoria dei campi

Estensioni di campi, elementi algebrici e trascendenti, estensioni finite e algebriche, grado di un'estensione, campo di spezzamento di un polinomio.

Campi algebricamente chiusi, il teorema fondamentale dell'algebra, radici multiple e criterio della derivata, classificazione dei campi finiti, morfismo di Frobenius, radici n-esime dell’unità ed estensioni ciclotomiche.

Costruzioni con riga e compasso (i problemi della trisezione dell'angolo, della quadratura del cerchio, della rettificazione della circonferenza e della duplicazione del cubo).

Cenni di teoria di Galois in caratteristica zero.

Testi adottati

Herstein, Algebra

Bibliografia di riferimento

Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri Piacentini Cattaneo, Algebra un approccio algoritmico, Decibel

Prerequisiti

E’ utile che lo studente conosca e padroneggi le nozioni di base impartite nei primi corsi di analisi matematica e algebra lineare. Non ci sono propedeuticità.

Modalità di valutazione

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa tre ore e può essere sostituita da due prove intermedie, entrambe della durata di almeno due ore, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda a fine corso. La prima prova intermedia sarà incentrata principalmente sugli argomenti di aritmetica e teoria dei gruppi, la seconda sui restanti argomenti del corso.
Sono ammessi alla prova orale che studenti che abbiano ottenuto una votazione non inferiore a 15/30 nella prova scritta (o nella media delle due prove intermedie). Il punteggio minimo per superare l’esame è 18/30: per ottenerlo, lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti di tutte le parti del programma.
Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

Programma

Prima parte. Aritmetica su Z e modulare

Divisione euclidea, MCD, algoritmo euclideo e identità di Bézout, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica.

Congruenze, elementi invertibili di Z/mZ, la funzione di Eulero, il teorema di Eulero-Fermat, il Piccolo Teorema di Fermat, equazioni e sistemi di equazioni congruenziali, teorema cinese del resto, RSA.

Seconda parte. Elementi di teoria dei gruppi

Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, elementi coniugati, teorema di Lagrange e di Cayley.

Gruppi ciclici e loro sottogruppi, gruppi diedrali, gruppi simmetrici (scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, classe pari e dispari, permutazioni coniugate nel gruppo simmetrico). Prodotto diretto e semidiretto di gruppi. P-gruppi finiti.

Gruppi abeliani finitamente generati e loro classificazione.
Azioni di gruppo su un insieme. I teoremi di Sylow e applicazioni.

Terza parte. Elementi di teoria degli anelli

Anelli, ideali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, campo delle frazioni di un dominio. - Domini euclidei, a ideali principali, a fattorizzazione unica, interi di Gauss, interi somma di due quadrati, ideali primi ed ideali massimali; divisibilità nei domini; elementi primi ed irriducibili.

Anelli di polinomi: proprietà universale, polinomi a coefficienti in un dominio, la proprietà euclidea dei polinomi monici, quozienti di anelli di polinomi, lemma di Gauss, criterio di Eisenstein ed altri criteri di irriducibilità; gli elementi irriducibili di Z[x], fattorizzazione unica in Z[x].

Quarta Parte. Elementi di teoria dei campi

Estensioni di campi, elementi algebrici e trascendenti, estensioni finite e algebriche, grado di un'estensione, campo di spezzamento di un polinomio.

Campi algebricamente chiusi, il teorema fondamentale dell'algebra, radici multiple e criterio della derivata, classificazione dei campi finiti, morfismo di Frobenius, radici n-esime dell’unità ed estensioni ciclotomiche.

Costruzioni con riga e compasso (i problemi della trisezione dell'angolo, della quadratura del cerchio, della rettificazione della circonferenza e della duplicazione del cubo).

Cenni di teoria di Galois in caratteristica zero.

Testi adottati

Israel Herstein, Algebra, Editori Riuniti.

Bibliografia di riferimento

Piacentini Cattaneo, Algebra un approccio algoritmico, Decibel Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri

Prerequisiti

E’ utile che lo studente conosca e padroneggi le nozioni di base impartite nei primi corsi di analisi matematica e algebra lineare. Non ci sono propedeuticità.

Modalità di valutazione

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa tre ore e può essere sostituita da due prove intermedie, entrambe della durata di almeno due ore, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda a fine corso. La prima prova intermedia sarà incentrata principalmente sugli argomenti di aritmetica e teoria dei gruppi, la seconda sui restanti argomenti del corso.
Sono ammessi alla prova orale che studenti che abbiano ottenuto una votazione non inferiore a 15/30 nella prova scritta (o nella media delle due prove intermedie). Il punteggio minimo per superare l’esame è 18/30: per ottenerlo, lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti di tutte le parti del programma.
Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

Programma

Prima parte. Aritmetica su Z e modulare

Divisione euclidea, MCD, algoritmo euclideo e identità di Bézout, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica.

Congruenze, elementi invertibili di Z/mZ, la funzione di Eulero, il teorema di Eulero-Fermat, il Piccolo Teorema di Fermat, equazioni e sistemi di equazioni congruenziali, teorema cinese del resto, RSA.

Seconda parte. Elementi di teoria dei gruppi

Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, elementi coniugati, teorema di Lagrange e di Cayley.

Gruppi ciclici e loro sottogruppi, gruppi diedrali, gruppi simmetrici (scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, classe pari e dispari, permutazioni coniugate nel gruppo simmetrico). Prodotto diretto e semidiretto di gruppi. P-gruppi finiti.

Gruppi abeliani finitamente generati e loro classificazione.
Azioni di gruppo su un insieme. I teoremi di Sylow e applicazioni.

Terza parte. Elementi di teoria degli anelli

Anelli, ideali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, campo delle frazioni di un dominio. - Domini euclidei, a ideali principali, a fattorizzazione unica, interi di Gauss, interi somma di due quadrati, ideali primi ed ideali massimali; divisibilità nei domini; elementi primi ed irriducibili.

Anelli di polinomi: proprietà universale, polinomi a coefficienti in un dominio, la proprietà euclidea dei polinomi monici, quozienti di anelli di polinomi, lemma di Gauss, criterio di Eisenstein ed altri criteri di irriducibilità; gli elementi irriducibili di Z[x], fattorizzazione unica in Z[x].

Quarta Parte. Elementi di teoria dei campi

Estensioni di campi, elementi algebrici e trascendenti, estensioni finite e algebriche, grado di un'estensione, campo di spezzamento di un polinomio.

Campi algebricamente chiusi, il teorema fondamentale dell'algebra, radici multiple e criterio della derivata, classificazione dei campi finiti, morfismo di Frobenius, radici n-esime dell’unità ed estensioni ciclotomiche.

Costruzioni con riga e compasso (i problemi della trisezione dell'angolo, della quadratura del cerchio, della rettificazione della circonferenza e della duplicazione del cubo).

Cenni di teoria di Galois in caratteristica zero.

Testi adottati

Israel Herstein, Algebra, Editori Riuniti.
Piacentini Cattaneo, Algebra un approccio algoritmico, Decibel

Bibliografia di riferimento

Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri

Prerequisiti

E’ utile che lo studente conosca e padroneggi le nozioni di base impartite nei primi corsi di analisi matematica e algebra lineare. Non ci sono propedeuticità.

Modalità di frequenza

frequenza consigliata

Modalità di valutazione

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa tre ore e può essere sostituita da due prove intermedie, entrambe della durata di almeno due ore, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda a fine corso. La prima prova intermedia sarà incentrata principalmente sugli argomenti di aritmetica e teoria dei gruppi, la seconda sui restanti argomenti del corso.
Sono ammessi alla prova orale che studenti che abbiano ottenuto una votazione non inferiore a 15/30 nella prova scritta (o nella media delle due prove intermedie). Il punteggio minimo per superare l’esame è 18/30: per ottenerlo, lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti di tutte le parti del programma.
Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

Programma

Prima parte. Aritmetica su Z e modulare

Divisione euclidea, MCD, algoritmo euclideo e identità di Bézout, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica.

Congruenze, elementi invertibili di Z/mZ, la funzione di Eulero, il teorema di Eulero-Fermat, il Piccolo Teorema di Fermat, equazioni e sistemi di equazioni congruenziali, teorema cinese del resto, RSA.

Seconda parte. Elementi di teoria dei gruppi

Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, elementi coniugati, teorema di Lagrange e di Cayley.

Gruppi ciclici e loro sottogruppi, gruppi diedrali, gruppi simmetrici (scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, classe pari e dispari, permutazioni coniugate nel gruppo simmetrico). Prodotto diretto e semidiretto di gruppi. P-gruppi finiti.

Gruppi abeliani finitamente generati e loro classificazione.
Azioni di gruppo su un insieme. I teoremi di Sylow e applicazioni.

Terza parte. Elementi di teoria degli anelli

Anelli, ideali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, campo delle frazioni di un dominio. - Domini euclidei, a ideali principali, a fattorizzazione unica, interi di Gauss, interi somma di due quadrati, ideali primi ed ideali massimali; divisibilità nei domini; elementi primi ed irriducibili.

Anelli di polinomi: proprietà universale, polinomi a coefficienti in un dominio, la proprietà euclidea dei polinomi monici, quozienti di anelli di polinomi, lemma di Gauss, criterio di Eisenstein ed altri criteri di irriducibilità; gli elementi irriducibili di Z[x], fattorizzazione unica in Z[x].

Quarta Parte. Elementi di teoria dei campi

Estensioni di campi, elementi algebrici e trascendenti, estensioni finite e algebriche, grado di un'estensione, campo di spezzamento di un polinomio.

Campi algebricamente chiusi, il teorema fondamentale dell'algebra, radici multiple e criterio della derivata, classificazione dei campi finiti, morfismo di Frobenius, radici n-esime dell’unità ed estensioni ciclotomiche.

Costruzioni con riga e compasso (i problemi della trisezione dell'angolo, della quadratura del cerchio, della rettificazione della circonferenza e della duplicazione del cubo).

Cenni di teoria di Galois in caratteristica zero.

Testi adottati

Herstein, Algebra

Bibliografia di riferimento

Herstein, Algebra

Prerequisiti

E’ utile che lo studente conosca e padroneggi le nozioni di base impartite nei primi corsi di analisi matematica e algebra lineare. Non ci sono propedeuticità.

Modalità di valutazione

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa tre ore e può essere sostituita da due prove intermedie, entrambe della durata di almeno due ore, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda a fine corso. La prima prova intermedia sarà incentrata principalmente sugli argomenti di aritmetica e teoria dei gruppi, la seconda sui restanti argomenti del corso.
Sono ammessi alla prova orale che studenti che abbiano ottenuto una votazione non inferiore a 15/30 nella prova scritta (o nella media delle due prove intermedie). Il punteggio minimo per superare l’esame è 18/30: per ottenerlo, lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti di tutte le parti del programma.
Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.