Catalogo dei Corsi di studio

Obiettivi generali:
acquisire conoscenze di base in geometria riemanniana e più specificatamente in teoria dell’olonomia.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:
al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alle varietà riemanniane, i fibrati vettoriali, le differenti nozioni di curvatura, la teoria dell’olonomia e dell’olonomia riemanniana, con attenzione particolare ai gruppi irriducibili di olonomia (varietà kähleriane, Calabi-Yau, hyperkähleriane, ecc…).

Applicare conoscenza e comprensione:
al temine del corso lo studente sarà in grado di studiare argomenti avanzati di geometria riemanniana, complessa e kähleriana, e di risolvere problemi complessi in questo ambito.

Capacità critiche e di giudizio:
lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e i più svariati temi provenenti dalla topologia differenziale, algebrica, dalla geometria algebrica e complessa.

Capacità comunicative:
capacità di esporre i contenuti nell'eventuale parte orale della verifica e nei quesiti teorici presenti nella prova scritta.

Capacità di apprendimento:
le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare un eventuale lavoro di tesi magistrale su argomenti avanzati di geometria riemanniana, complessa o kähleriana.

Programma

Varietà differenziabili, partizioni dell’unità, metriche riemanniane (definizione ed esistenza), isometrie, lunghezza curve, esempi.
Fibrati vettoriali, costruzioni funtoriali, forme volume, elemento di volume riemanniano, integrazione, orientabilità, sottovarietà riemanniane, esempio della sfera e dello spazio iperbolico. Metriche prodotto, rivestimenti riemanniani, tori piatti, classificazione dei tori piatti bidimensionali a meno di isometrie e omotetie.
Connessioni lineari sui fibrati vettoriali, matrice della connessione, trasformazione di ricalibratura, curvatura, derivata covariante, connessioni indotte, identità di Bianchi.
Pull-back di fibrati, trasporto parallelo, olonomia e olonomia ristretta di una connessione, sezioni parallele, metriche su un fibrato vettoriale, compatibilità di una connessione con la metrica, torsione di una connessione. Compatibilità con la metrica e trasporto parallelo, olonomia e gruppo ortogonale, esistenza e unicità della connessione di Levi-Civita, simboli di Christoffel. Cenni di funzioni olomorfe in più variabili: definizione, formula di Cauchy, analiticità, continuazione analitica, principio del massimo, teorema del rango, teorema di Hartogs.
Struttura quasi complessa su uno spazio vettoriale reale, complessificazione, complessificato del duale e duale del complessificato, decomposizione in tipi (1,0) e (0,1), bigradazione sull’algebra esterna, prodotti scalari J-invarianti e prodotti hermitiani, forma fondamentale di un prodotto scalare J-invariante.
Dimostrazione esistenza e unicità della connessione di Levi-Civita, simboli di Christoffel. Varietà complesse, strutture quasi complesse, integrabilità, spazio tangente complesso, complessificato, loro duali e decomposizione, calcolo differenziale complesso, coomologia di Dolbeault.
Connessioni di tipo (1,0) e (0,1), fibrati vettoriali olomorfi, connessione canonica di tipo (0,1) su un fibrato vettoriale olomorfo, coomologia di Dolbeault di un fibrato vettoriale olomorfo, connessione di Chern, varietà hermitiane, volume hermitiano.
Metriche di Kähler, condizione necessaria in coomologia di de Rham per l’esistenza di metriche kähleriane, relazione tra la teoria di Levi-Civita e quella di Chern per varietà kähleriane, interpretazione olonomica delle varietà kähleriane.
Curvatura di Ricci, ulteriori simmetrie del tensore di curvatura di Riemann, prima identità di Bianchi, simmetria del tensore di Ricci, curvatura scalare, varietà di Einstein. Curvatura di Chern-Ricci, forma di Chern-Ricci, equivalenza con il tensore di Ricci nel caso Kähler.
Interpretazione olonomica della Ricci-piattezza: olonomia ristretta contenuta in SU(n), invarianza omotopica del trasporto parallelo per connessioni piatte, prima classe di Chern, lemma del ddbar, enunciato del teorema di Aubin-Yau, esistenza di metriche di Kähler con curvatura di Ricci prescritta, canonico olomorficamente banale implica olonomia in SU(n).
Algebra dei quaternioni, norma, coniugio, quaternioni unitari Sp(1), gruppo lineare quaternionico, forma hermitiana standard e gruppo simplettico compatto. Interpretazione olonomica del gruppo simplettico compatto, varietà hyperkähler, superfici K3.
Irriducibilità, completezza, sottovarietà totalmente geodetiche, enunciato e schema della dimostrazione del teorema di decomposizione di de Rham. Definizione di spazi localmente simmetrici, caratterizzazione riemanniana, enunciato del teorema di classificazione di Berger, superfici K3 (ripresa).

Testi adottati

S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, "Riemannian Geometry"
D. Huybrechts, "Complex Geometry"

Bibliografia di riferimento

S. Kobayashi, K. Numizu, "Foundations of Differential Geometry" J.-P. Demailly, "Complex Analytic and Differential Geometry" M. Gorss, D. Huybrechts, D. Joyce, "Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries"

Prerequisiti

Geometria differenziale di base, topologia generale, rivestimenti e gruppo fondamentale, variabile complessa.

Modalità di valutazione

Prova scritta ed eventualmente orale.