Catalogo dei Corsi di studio

Obbiettivi generali: acquisire conoscenze in algebra commutativa e teoria algebrica dei numeri
Obbiettivi specifici
Conoscenza e capacità di comprensione
Al termine del corso gli studenti avranno acquisito le principali nozioni base di Algebra Commutativa,
riguardanti anelli commutativi con o senza divisori dello zero, estensioni intere di anelli, prodotti tensoriali e
piattezza, anelli e moduli Artiniani e Noetheriani, compresa la teoria della dimensione per k-algebra
finitamente generate, decomposizione primaria, domini di Dedekind, ramificazioni, numero di classe

Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Al termine del corso gli studenti saranno in grado di applicare le conoscenze acquisite in modo competente
e riflessivo e risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche legate all’Algebra Commutativa e alla teoria algebrica
dei numeri.

Autonomia di giudizio
Lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e
argomenti di Geometria o di Teoria Algebrica dei Numeri ed avrà un’idea di come queste importanti
branche della Matematica siano anche storicamente profondamente legate.

Abilità comunicative
• Lo studente sarà in grado di esporre i principali teoremi con le loro dimostrazioni nell’ambito della
prova orale di verifica e sarà in grado di comunicare ai non specialisti le idee chiave dell’Algebra
Commutativa e della teoria algebrica dei numeri.
.

Capacità di apprendimento
Lo studente sarà in grado di mettere a frutto gli argomenti di Algebra Commutativa e teoria algebrica dei numeri appresi nei numerosi
contesti matematici in cui sono utilizzati, sia nell’ambito degli insegnamenti della Laurea Magistrale, sia in
una futura attività di ricerca

Programma

Preliminari di algebra commutativa

Definizioni di base
Ideali nei prodotti di anelli
Anelli Noetheriani
Moduli Noetheriani
Anelli locali
Anelli di frazioni
Teorema cinese del resto
Richiami sui prodotti tensoriali


Anelli di numeri interi

Gli elementi integrali formano un anello
Elementi integrali
 Discriminanti
Gli anelli di numeri interi sono finitamente generati

Algoritmi per trovare l'anello degli interi

Domini di Dedekind Domains, fattorizzazione
Anelli di valutazione discreti
Domini Dedekind
Fattorizzazione unica degli ideali
Il gruppo delle classi
Valutazioni discrete
Chiusure integrali di domini Dedekind
Moduli su domini Dedekind
Fattorizzazione in estensioni
Primi che ramificano
Trovare fattorizzazioni
Esempi di fattorizzazioni
Estensioni di Eisenstein

La finitezza del numero di classe

Norme di ideali
Enunciato del teorema principale e delle sue conseguenze
Reticoli
Finezza del numero di classe
Forme quadratiche binarie

Testi adottati

J.S. Milne, Algebraic number theory
M. Atiyah, I Macdonald, Introduction to commutative algebra

Bibliografia di riferimento

R.B. Ash A Course in Algebraic number theory

Prerequisiti

Corsi di algebra lineare e algebra 1. Non ci sono propedeuticità

Modalità di valutazione

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa tre ore e può essere sostituita da due prove intermedie, entrambe della durata di due ore, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda immediatamente a fine corso. L
Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti di algebra commutativa e teoria dei numeri, e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati.
Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

Data inizio prenotazione	Data fine prenotazione	Data appello
10/11/2020	15/06/2021	17/06/2021
04/07/2021	04/07/2021	05/07/2021
10/11/2020	07/07/2021	14/07/2021
10/11/2020	20/08/2021	01/09/2021
10/11/2020	13/09/2021	17/09/2021
10/11/2020	01/11/2021	02/11/2021
10/11/2020	10/01/2022	19/01/2022