Catalogo dei Corsi di studio

Obiettivi generali:

acquisire conoscenze di base del Calcolo Differenziale ed Integrale in una variabile reale, del Calcolo Differenziale in più variabili reali e delle equazioni differenziali ordinarie lineari ed alcune non lineari di primo e secondo grado.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi al Calcolo (differenziale ed integrale) in una variabile reale, alla soluzione di alcune equazioni differenziali ordinarie di primo e secondo grado ed alle loro applicazioni alla meccanica classica.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di intendere i concetti analitici riguardanti le funzioni reali di variabile reale e di applicarli ai problemi elementari della Meccanica Classica.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per affrontare alcuni problemi della meccanica classica, di studiare leggi orarie e curve nel piano delle fasi, di intendere i concetti di velocità, accelerazione, azione, campo di forze e di intenderli all’interno della teoria della Meccanica Classica.

Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito nei successivi corsi di analisi nonché nei corsi di fisica della laurea triennale.

Programma

1. Numeri reali.

Rappresentazione geometrica. Operazioni, ordinamento. Intervalli. Struttura metrica: il modulo e le sue proprietà. Insiemi limitati, massimo e minimo, estremo inferiore e superiore. Gli assiomi dei numeri reali: Archimede e gli intervalli incapsulati.

2. Funzioni reali di variabile reale.

Dominio e codominio, iniettività e suriettività, composizione ed inversione, restrizioni ed estensioni. Funzioni reali di variabile reale. Grafici di funzione e operazioni elementari su grafici. Richiami sulle funzioni elementari: i polinomi, le funzioni razionali, il modulo, le funzioni trigonometriche, l'esponenziale. Composizione e inversione di funzioni. Funzioni invertibili e funzioni monotone. Inverse di potenze, funzioni trigonometriche ed esponenziali.

3. Successioni e serie.

Successioni di numeri reali. Definizione di limite. Proprietà delle successioni convergenti: combinazioni lineari, prodotti, operazioni razionali. Successioni divergenti ed oscillanti. Monotonia del limite. Forme indeterminate. Confronto di infiniti. Successioni monotone: caratterizzazione del limite in termini di estremo superiore/inferiore. Serie numeriche: definizione e convergenza. Linearità. Condizione necessaria. Serie a termini positivi. La serie geometrica, la serie armonica generalizzata. Criterio di confronto e del confronto asintotico. Serie a segno qualsiasi. Una condizione sufficiente per la convergenza: la convergenza assoluta. La serie esponenziale.

4. Limiti e continuità.

Limiti di funzioni: definizione, esempi e controesempi. Operazioni con i limiti. Monotonia del limite. Teorema del confronto per i limiti di funzioni. Teorema ponte e criterio di non esistenza. Limiti infiniti e limiti all'infinito. Limite destro e sinistro. Confronto di infiniti e di infinitesimi. Limiti notevoli. Funzioni continue. Classi di funzioni continue ed esempi di funzioni discontinue. Teorema dei valori intermedi e teorema di esistenza degli zeri. Problemi di massimo e minimo su intervalli chiusi e limitati. Teorema di Weierstrass.

5. Calcolo differenziale in una variabile.

Definizione di derivata. Generazione di funzioni derivabili: combinazioni lineari, prodotti, rapporti, composizione e inversione. Teorema di Rolle, teorema di Lagrange e teorema di Cauchy. Funzioni a derivata positiva, negativa, nulla. Punti stazionari, punti di massimo e minimo locale. Criteri di convessità per funzioni derivabili una volta e per funzioni derivabili due volte. Problemi di massimo e minimo su intervalli illimitati. Ordine di infinito e ordine di infinitesimo. I simboli di Landau.
Teorema di de L'Hôpital. Polinomio di Taylor: definizione, proprietà, resto. Espressione del resto in forma di Lagrange.

6. Integrali.

Problema del calcolo delle aree. Integrale definito. Proprietà dell'integrale: linearità, additività e monotonia. Teorema della media integrale. Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni Lipschitziane. Funzioni integrali: definizione e lipschitzianità. Le primitive. Teorema fondamentale del calcolo integrale e calcolo degli integrali indefiniti. Integrali elementari. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrazione di funzioni razionali.

7. Equazioni differenziali lineari.

Equazioni lineari del primo ordine con coefficiente costante. Numeri complessi: definizione di base. Formula di Eulero per l'esponenziale complesso. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Caso omogeneo: struttura dell'insieme delle soluzioni, determinazione di due soluzioni linearmente indipendenti. Caso non omogeneo: struttura dell'insieme delle soluzioni, determinazione di una soluzione particolare attraverso il metodo di analogia. Caso di forzanti polinomiali, esponenziali, trigonometriche. Risonanza.

8. Funzioni di più variabili.

Struttura vettoriale di R^d, norma e sua proprietà e distanza euclidea. Successioni di punti e nozione di convergenza. Legame tra la convergenza in R^d e la convergenza in R. Curve in R^d. Continuità e derivabilità. Vettore velocità. Grafico di una funzione di più variabili. Insiemi di livello. Continuità di funzioni di più variabili. Calcolo differenziale: derivate parziali, derivate direzionali. Punti stazionari e condizione necessaria per punti di massimo e minimo relativo. Eventuali cenni su derivate successive e matrice Hessiana.

Testi adottati

E. Giusti: ANALISI MATEMATICA 1, Bollati Boringhieri
C.D. Pagani, S. Salsa: ANALISI MATEMATICA 1, Zanichelli

Prerequisiti

Conoscere e saper utilizzare gli insiemi, le operazioni tra insiemi, le proprietà algebriche dei numeri reali, l'equazione di una retta, di una parabola e la loro rappresentazione nel piano cartesiano. Saper risolvere diseguaglianze e equazioni di primo e secondo grado o tra funzioni razionali, semplici sistemi. Conoscere le proprietà delle potenze, quelle della funzioni trigonometriche

Modalità di valutazione

La prova scritta comprende esercizi da svolgere e domande teoriche. La formulazione degli esercizi è volta a verificare la preparazione dello studente sia da un punto di vista delle capacità di calcolo, sia per quanto riguarda la comprensione della teoria svolta e la sua applicazione per la risoluzione degli esercizi. Due prove in itinere durante il corso, se superate, sostituiscono la prova scritta e sono un'occasione di verifica del processo di apprendimento per il docente e per lo studente stesso.
La prova orale serve per discutere eventuali incompletezze della prova scritta presentata e per verificare la preparazione sulla materia, sia per i suoi aspetti teorici, sia per quanto riguarda alcune dimostrazioni e applicazioni.

Data inizio prenotazione	Data fine prenotazione	Data appello
07/01/2022	22/01/2022	27/01/2022
18/01/2022	06/02/2022	11/02/2022
27/05/2022	08/06/2022	13/06/2022
15/06/2022	30/06/2022	04/07/2022
18/08/2022	01/09/2022	02/09/2022
05/11/2022	22/11/2022	23/11/2022

Programma

1. Numeri reali.

Rappresentazione geometrica. Operazioni, ordinamento. Intervalli. Struttura metrica: il modulo e le sue proprietà. Insiemi limitati, massimo e minimo, estremo inferiore e superiore. Gli assiomi dei numeri reali: Archimede e gli intervalli incapsulati.

2. Funzioni reali di variabile reale.

Dominio e codominio, iniettività e suriettività, composizione ed inversione, restrizioni ed estensioni. Funzioni reali di variabile reale. Grafici di funzione e operazioni elementari su grafici. Richiami sulle funzioni elementari: i polinomi, le funzioni razionali, il modulo, le funzioni trigonometriche, l'esponenziale. Composizione e inversione di funzioni. Funzioni invertibili e funzioni monotone. Inverse di potenze, funzioni trigonometriche ed esponenziali.

3. Successioni e serie.

Successioni di numeri reali. Definizione di limite. Proprietà delle successioni convergenti: combinazioni lineari, prodotti, operazioni razionali. Successioni divergenti ed oscillanti. Monotonia del limite. Forme indeterminate. Confronto di infiniti. Successioni monotone: caratterizzazione del limite in termini di estremo superiore/inferiore. Serie numeriche: definizione e convergenza. Linearità. Condizione necessaria. Serie a termini positivi. La serie geometrica, la serie armonica generalizzata. Criterio di confronto e del confronto asintotico. Serie a segno qualsiasi. Una condizione sufficiente per la convergenza: la convergenza assoluta. La serie esponenziale.

4. Limiti e continuità.

Limiti di funzioni: definizione, esempi e controesempi. Operazioni con i limiti. Monotonia del limite. Teorema del confronto per i limiti di funzioni. Teorema ponte e criterio di non esistenza. Limiti infiniti e limiti all'infinito. Limite destro e sinistro. Confronto di infiniti e di infinitesimi. Limiti notevoli. Funzioni continue. Classi di funzioni continue ed esempi di funzioni discontinue. Teorema dei valori intermedi e teorema di esistenza degli zeri. Problemi di massimo e minimo su intervalli chiusi e limitati. Teorema di Weierstrass.

5. Calcolo differenziale in una variabile.

Definizione di derivata. Generazione di funzioni derivabili: combinazioni lineari, prodotti, rapporti, composizione e inversione. Teorema di Rolle, teorema di Lagrange e teorema di Cauchy. Funzioni a derivata positiva, negativa, nulla. Punti stazionari, punti di massimo e minimo locale. Criteri di convessità per funzioni derivabili una volta e per funzioni derivabili due volte. Problemi di massimo e minimo su intervalli illimitati. Ordine di infinito e ordine di infinitesimo. I simboli di Landau.
Teorema di de L'Hôpital. Polinomio di Taylor: definizione, proprietà, resto. Espressione del resto in forma di Lagrange.

6. Integrali.

Problema del calcolo delle aree. Integrale definito. Proprietà dell'integrale: linearità, additività e monotonia. Teorema della media integrale. Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni Lipschitziane. Funzioni integrali: definizione e lipschitzianità. Le primitive. Teorema fondamentale del calcolo integrale e calcolo degli integrali indefiniti. Integrali elementari. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrazione di funzioni razionali.

7. Equazioni differenziali lineari.

Equazioni lineari del primo ordine con coefficiente costante. Numeri complessi: definizione di base. Formula di Eulero per l'esponenziale complesso. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Caso omogeneo: struttura dell'insieme delle soluzioni, determinazione di due soluzioni linearmente indipendenti. Caso non omogeneo: struttura dell'insieme delle soluzioni, determinazione di una soluzione particolare attraverso il metodo di analogia. Caso di forzanti polinomiali, esponenziali, trigonometriche. Risonanza.

8. Funzioni di più variabili.

Struttura vettoriale di R^d, norma e sua proprietà e distanza euclidea. Successioni di punti e nozione di convergenza. Legame tra la convergenza in R^d e la convergenza in R. Curve in R^d. Continuità e derivabilità. Vettore velocità. Grafico di una funzione di più variabili. Insiemi di livello. Continuità di funzioni di più variabili. Calcolo differenziale: derivate parziali, derivate direzionali. Punti stazionari e condizione necessaria per punti di massimo e minimo relativo. Eventuali cenni su derivate successive e matrice Hessiana.

Testi adottati

Note del corso, distribuite in itinere.


BIBLIOGRAFIA DI RIFERIMENTO
E. Giusti: ANALISI MATEMATICA 1, Bollati Boringhieri
C.D. Pagani, S. Salsa: ANALISI MATEMATICA 1, Zanichelli

Prerequisiti

Conoscere e saper utilizzare: gli insiemi, le operazioni tra insiemi, le proprietà algebriche dei numeri reali, l'equazione di una retta, di una parabola e la loro rappresentazione nel piano cartesiano. Saper risolvere diseguaglianze e equazioni di primo e secondo grado o tra funzioni razionali, semplici sistemi. Conoscere le proprietà delle potenze, quelle delle funzioni trigonometriche

Modalità di svolgimento

Le lezioni consistono nella presentazione della teoria generale con i risultati piu’ importanti e relative dimostrazioni corredata da esempi mirati a facilitare la comprensione della teoria stessa. Gli studenti saranno stimolati affinche’ possano sviluppare e acquisire capacita' di risoluzione dei problemi proposti.

Modalità di frequenza

La frequenza e’ fortemente consigliata.

Modalità di valutazione

La prova scritta comprende esercizi a risposta Vero/Falso ed esercizi aperti. La formulazione degli esercizi è volta a verificare la preparazione dello studente sia da un punto di vista delle capacità di calcolo, sia per quanto riguarda la comprensione della teoria svolta e la sua applicazione per la risoluzione degli esercizi. Due prove in itinere durante il corso, se superate, sostituiscono la prova scritta e sono un'occasione di verifica del processo di apprendimento per il docente e per lo studente stesso.
La prova orale serve per discutere eventuali incompletezze della prova scritta presentata e per verificare la preparazione sulla materia, sia per i suoi aspetti teorici, sia per quanto riguarda alcune dimostrazioni e applicazioni.

Data inizio prenotazione	Data fine prenotazione	Data appello
10/01/2022	20/01/2022	27/01/2022
22/01/2022	05/02/2022	11/02/2022
16/03/2022	07/04/2022	22/04/2022
25/05/2022	05/06/2022	13/06/2022
15/06/2022	30/06/2022	08/07/2022
22/07/2022	22/08/2022	02/09/2022

Data inizio prenotazione	Data fine prenotazione	Data appello
30/08/2021	24/01/2022	27/01/2022
30/08/2021	07/02/2022	11/02/2022
15/03/2022	19/04/2022	22/04/2022
30/08/2021	10/06/2022	13/06/2022
30/08/2021	01/07/2022	04/07/2022
30/08/2021	30/08/2022	02/09/2022
08/11/2022	09/11/2022	10/11/2022

Programma

1. Numeri reali.

Rappresentazione geometrica. Operazioni, ordinamento. Intervalli. Struttura metrica: il modulo e le sue proprietà. Insiemi limitati, massimo e minimo, estremo inferiore e superiore. Gli assiomi dei numeri reali: Archimede e gli intervalli incapsulati.

2. Funzioni reali di variabile reale.

Dominio e codominio, iniettività e suriettività, composizione ed inversione, restrizioni ed estensioni. Funzioni reali di variabile reale. Grafici di funzione e operazioni elementari su grafici. Richiami sulle funzioni elementari: i polinomi, le funzioni razionali, il modulo, le funzioni trigonometriche, l'esponenziale. Composizione e inversione di funzioni. Funzioni invertibili e funzioni monotone. Inverse di potenze, funzioni trigonometriche ed esponenziali.

3. Successioni e serie.

Successioni di numeri reali. Definizione di limite. Proprietà delle successioni convergenti: combinazioni lineari, prodotti, operazioni razionali. Successioni divergenti ed oscillanti. Monotonia del limite. Forme indeterminate. Confronto di infiniti. Successioni monotone: caratterizzazione del limite in termini di estremo superiore/inferiore. Serie numeriche: definizione e convergenza. Linearità. Condizione necessaria. Serie a termini positivi. La serie geometrica, la serie armonica generalizzata. Criterio di confronto e del confronto asintotico. Serie a segno qualsiasi. Una condizione sufficiente per la convergenza: la convergenza assoluta. La serie esponenziale.

4. Limiti e continuità.

Limiti di funzioni: definizione, esempi e controesempi. Operazioni con i limiti. Monotonia del limite. Teorema del confronto per i limiti di funzioni. Teorema ponte e criterio di non esistenza. Limiti infiniti e limiti all'infinito. Limite destro e sinistro. Confronto di infiniti e di infinitesimi. Limiti notevoli. Funzioni continue. Classi di funzioni continue ed esempi di funzioni discontinue. Teorema dei valori intermedi e teorema di esistenza degli zeri. Problemi di massimo e minimo su intervalli chiusi e limitati. Teorema di Weierstrass.

5. Calcolo differenziale in una variabile.

Definizione di derivata. Generazione di funzioni derivabili: combinazioni lineari, prodotti, rapporti, composizione e inversione. Teorema di Rolle, teorema di Lagrange e teorema di Cauchy. Funzioni a derivata positiva, negativa, nulla. Punti stazionari, punti di massimo e minimo locale. Criteri di convessità per funzioni derivabili una volta e per funzioni derivabili due volte. Problemi di massimo e minimo su intervalli illimitati. Ordine di infinito e ordine di infinitesimo. I simboli di Landau.
Teorema di de L'Hôpital. Polinomio di Taylor: definizione, proprietà, resto. Espressione del resto in forma di Lagrange.

6. Integrali.

Problema del calcolo delle aree. Integrale definito. Proprietà dell'integrale: linearità, additività e monotonia. Teorema della media integrale. Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni Lipschitziane. Funzioni integrali: definizione e lipschitzianità. Le primitive. Teorema fondamentale del calcolo integrale e calcolo degli integrali indefiniti. Integrali elementari. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrazione di funzioni razionali.

7. Equazioni differenziali lineari.

Equazioni lineari del primo ordine con coefficiente costante. Numeri complessi: definizione di base. Formula di Eulero per l'esponenziale complesso. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Caso omogeneo: struttura dell'insieme delle soluzioni, determinazione di due soluzioni linearmente indipendenti. Caso non omogeneo: struttura dell'insieme delle soluzioni, determinazione di una soluzione particolare attraverso il metodo di analogia. Caso di forzanti polinomiali, esponenziali, trigonometriche. Risonanza.

8. Funzioni di più variabili.

Struttura vettoriale di R^d, norma e sua proprietà e distanza euclidea. Successioni di punti e nozione di convergenza. Legame tra la convergenza in R^d e la convergenza in R. Curve in R^d. Continuità e derivabilità. Vettore velocità. Grafico di una funzione di più variabili. Insiemi di livello. Continuità di funzioni di più variabili. Calcolo differenziale: derivate parziali, derivate direzionali. Punti stazionari e condizione necessaria per punti di massimo e minimo relativo. Eventuali cenni su derivate successive e matrice Hessiana.

Testi adottati

Note del corso, distribuite in itinere.


BIBLIOGRAFIA DI RIFERIMENTO
E. Giusti: ANALISI MATEMATICA 1, Bollati Boringhieri
C.D. Pagani, S. Salsa: ANALISI MATEMATICA 1, Zanichelli

Prerequisiti

Conoscere e saper utilizzare: gli insiemi, le operazioni tra insiemi, le proprietà algebriche dei numeri reali, l'equazione di una retta, di una parabola e la loro rappresentazione nel piano cartesiano. Saper risolvere diseguaglianze e equazioni di primo e secondo grado o tra funzioni razionali, semplici sistemi. Conoscere le proprietà delle potenze, quelle delle funzioni trigonometriche

Modalità di frequenza

La frequenza e’ fortemente consigliata.

Modalità di valutazione

La prova scritta comprende esercizi a risposta Vero/Falso ed esercizi aperti. La formulazione degli esercizi è volta a verificare la preparazione dello studente sia da un punto di vista delle capacità di calcolo, sia per quanto riguarda la comprensione della teoria svolta e la sua applicazione per la risoluzione degli esercizi. Due prove in itinere durante il corso, se superate, sostituiscono la prova scritta e sono un'occasione di verifica del processo di apprendimento per il docente e per lo studente stesso.
La prova orale serve per discutere eventuali incompletezze della prova scritta presentata e per verificare la preparazione sulla materia, sia per i suoi aspetti teorici, sia per quanto riguarda alcune dimostrazioni e applicazioni.

Data inizio prenotazione	Data fine prenotazione	Data appello
01/01/2022	26/01/2022	27/01/2022
15/01/2022	10/02/2022	11/02/2022
01/04/2022	21/04/2022	22/04/2022
15/05/2022	12/06/2022	13/06/2022
15/06/2022	03/07/2022	04/07/2022
15/08/2022	01/09/2022	02/09/2022
23/11/2022	30/11/2022	01/12/2022