Physics

We mainly follow the text by Giorgio Parisi, Statistical Field Theory, Perseus Books Publishing 1998. Some points have been discussed following the text by Claude Itzykson and Jean-Michel Drouffe, Statistical Field Theory, Cambridge University Press 1989. SYLLABUS 1. Classical equilibrium statistical mechanics, Parisi chapter 1. 2. Magnetic systems. Parisi chapter 2. 3. The Ising model. Parisi chapter 3. No chapter 3.6. 4. The low-temperature and the high temperature expansion. Parisi chapter 4. No chapters 4.3 and 4.7 . Chapter 4.6 only hints. 5. The Landau Ginsburg model. Parisi chapter 5. Chapter 5.6 and Appendix only hints, no chapters 5.7 e 5.8. 6. Near the transition. Parisi chapter 6. 7. Perturbative evaluation of the critical exponents. Parisi chapter 8. 8.3 hints, no 8.4, 8.5 hints. 8. Near four dimensions. Parisi chapter 9. no 9.3 and 9.5. Chapter 9.4 only hints. 9. On spontaneous symmetry breaking. Parisi chapter 10. No 10.4 and 10.5. 10. Scaling laws and real space renormalization group. Itzykson-Drouffe vol. 1, chapter 4.1 (up to equation 94 included). MORE DETAILS ABOUT THE SYLLABUS 1. PARISI CHAPTER 1. From Thermodynamics to Statistical Mechanics. Boltzmann Distrbution. Canonical and microcanonical ensemble. Entropy: continuous and discrete distributions. Shannon Theorem. Extremal principles (with Lagrange multipliers): Boltzmann with minimum entropy at fixed internal energy, or as a maximum of the free energy. F = -T log Z, S = beta**2 * @F/@beta (with @ we denote here a partial derivative) U = -@/@beta log Z. beta defined in statistical mechanics is proportional to the inverse of the temperature defined in thermodynamics. Elements about functional derivatives. 2. PARISI CHAPTER 3. Magnetic systems and phase transitions. Relevan definitions (Hamiltonian, magnetization, susceptibility; constant and site dependent magnetic fields). Correlation functions and connected correlation functions. Thermodynamical fluctuations. Fluctuation dissipation theorem. Spontanoeus symmetry breaking. Infinite volume limit. Free energy singularities at zero magnetic field. Ising model. Gap of the magnetization for h close to zero below the critical temperature. Zeroes of the partition function. Ehrenfest criterion. The role of finite volume and of boundary conditions. The time evolution, and the magnetization as a function of time. Pure states and statistical mixtures. State "+" and state "-": buondary conditions or infinitesinaml magnetic field. The clustering property. Pure states are clustering states. 3. PARISI CHAPTER 3, NOT 3.6. Ising model. Universality and construction of physical models. Hamiltonian for Ising, XY, Heisenberg. Ferromagnets and antiferromagnets. The mean field approximation. Factorized probability distribution. Solution. Di nuovo il campo medio attraverso una identita' esatta e poi una approssimazione (approccio DLR. Dobrushin, Lanford, Ruelle). Discussione dettagliata della soluzione del campo medio, in campo magnetico nullo e non nullo, per temperature sopra e sotto Tc. Massimi e minimi della energia libera. Sviluppi vicino a Tc e vicino a T=0. Stati metastabili, Esponenti critici. beta, gamma, delta. Transizione di fase del secondo ordine e del primo ordine. Un modello risolubile esattamente: forze deboli a lungo raggio: di nuovo il campo medio. Correlazioni deboli. Quando la soluzione di campo medio descrive bene un sistema? Calcolo della dimensione critica superiore per il modello di Ising, Dc=4: risposta lineare, nuova stima delle funzioni di correlazione, spazio dei momenti, il propagatore. Calcolo del calore specifico: comportamento sopra e sotto D=4. decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione ad alte temperature. Per TTc -- 0 quando D tende a infinito come una potenza di 1/D (funzioni di Bessel modificate e loro espansione). Il decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione ad alte temperature grazie a un teorema sul comportamento delle funzioni analitiche. Esponente critico nu. Isotropia vicino a Tc. La lunghezza di correlazione xi. Il gap in magnetizzazione e la lunghezza di correlazione: quando il gap tende a zero xi tende a infinito. Al Tc due soluzioni si fondono in una, e questo implica che la suscettibilita' diverge. Un primo riassunto degli esponenti critici. 4, PARISI CAP.4, ESCLUSO 4.3 E 4.7, CENNI 4.6. Il modello Gaussiano e il modello di Ising: espansioni di bassa e di alta temperatura. Espansione di bassa temperatura per Ising. Calcolo di Z con i primi due contributi. La cancellazione dei termini piu' che estensivi. Conseguenze generali dell'indipendenza della densita' di energia libera da N nei sistemi a corto raggio. Cluster connessi e risommazione dei loro contributi. Il modello Gaussiano e l'espansione di alta temperatura. Definizione del modello Gaussiano. Calcolo algebrico. Riappare il campo medio. Utili identita' matriciali: det(A)= exp(tr(log(A))), d/dz log (A+z) = 1/(A+z). Le funzioni di correlazione a piu' punti (4, 6). Contributi connessi e disconnessi. La definizione generale, a tutti gli ordini delle funzioni di correlazione connesse. Legame con l'energia libera e proprieta' di clustering. Lo sviluppo diagrammatico nello sviluppo di alte T del modello Gaussiano. Funzione di correlazione a due punti. Cancellazione dei diagrammi disconnessi. L'esempio del diagramma a "quadratino" o a "plaquette" (di ordine beta alla quarta). L'espansione di alta temperatura per il modello di Ising. Relazioni fondamentali per variabili binarie. Espansione in caratteri (exp(beta s)=c*(1+t*s) se s=+-1, c=cosh(beta) e t=tanh(beta)). La densita' di energia libera al primo ordine non banale. Cenni alle espansioni ad alti ordini. La struttura della singolarita' e il comportamento asintotico. Le soluzioni esatte (D=1 e la matrice di trasferimento in dettaglio, Onsager in D=2 solo cenni). 5. PARISI CAP. 5 CENNI 5.6 E APPENDICI, ESCLUSI 5.7 E 5.8. La teoria di Landau-Ginzburg e la teoria delle perturbazioni. Da Ising al modello Gaussiano a Landau-Ginzburg. L'Hamiltoniana continua, e la struttura dei suoi minimi. L'Hamiltoniana efficace. Il cutoff Lambda: rapporti con la spaziatura reticolare. Il ruolo della "massa quadra" mu. Regolarizzazione e cutoff nel modello gaussiano. L'energia libera e propagatora con spaziatura non zero e con il cutoff Lambda. La rimozione del cutoff e il limite a -- 0. Da H continua di nuovo al discreto. Le leggi di scala con a: analisi dimensionale. Costante di accoppiamento adimensionale. L'espansione perturbativa in g. La funzione di correlazione a due punti. Primo ordine in g. Calcolo di numeratore e denominatore. Sopravvivono solo i diagrammi connessi: vero in generale. Secondo ordine in g. Le possibile contrazioni. L'hamburger, i due girini e il cactus, con le loro molteplicita'. La simmetria nelle variabili di integrazione. Le regole generali dello sviluppo perturbativo. Lo scambio delle linee interne. Una utilissima regola di somma. Come calcolare nello spazio di Fourier. Gli integrali dei diagrammi ai primi due ordini in g. Le regole generali del calcolo nello spazio di Fourier. I diagrammi irriducibili a una particella (1PI). Come effettuare delle sensate risommazioni parziali. I diagrammi amputati. La risommazione dei girini, e di diagrammi piu' complicati. La rappresentazione grafica della risommazione. mu_c, il punto critico. La funzione di correlazione a 4 punti: 1) diagrammi completamente disconnessi, 2) prodotti di correlazioni a 2 punti e 3) diagrammi completamente connessi. Primo ordine. La conservazione del momento nel vertice. Calcoli nello spazio di Fourier. Secondo ordine e ordini piu' alti. La manipolazione degli integrali nello spazio dei momenti. I parametri di Feynman. Le divergenze ultraviolette/ Il grado di divergenza di un diagramma e di un sottodiagramma. Diagramma divergenti, superficialmente convergenti e convergenti. E+2N=4V. DIV=(D-4)L+4-E. D infinito. Le divergenze infrarosse. Espansione a mu_c come funzione di p. Esempi: la funzione a 4 punti con una e con piu' bolle. Esempio in D=3. L'espansione perturbativa sembra inutile. Hartree-Fock. Forma grafica e forma analitica. Il caso D=3. Il caso generale. gamma calcolato in HF. teorie con n gradi di liberta' interni. L'espansione 1/n. I campi ausiliari alfa. Regole diagrammatiche. Il limite n -- infinito coincide con HF. 7. PARISI CAP. 8. ESCLUSO 8.4 CENNI 8.3 e 8.5 Il gruppo di rinormalizzazione nello spazio dei momenti. Costante di accoppiamento effettiva adimensionale gtilde. I campi rinormalizzati. Una nuova costante di accoppiamento lambda e la mappa da g/m**(4-D) a lambda. L'esponente mu. L'espressione della serie perturbativa in funzione di lambda. La funzione beta, ed il suo comportamento come funzione di gtilde e come funzione di lambda. Il calcolo del valore di lambda critico. lambda e' m**(D-0 * Gamma4R. Tutti i calcoli dettagliati al primo ordine. Funzione a quattro punti. Valutazione di diagrammi, molteplicita', integrali nello spazio dei momenti. nu(1_loop) = 1/2 * 1/(1-(4-D)/6). (non e' stato svolto il calcolo per eta, solo quello per nu). Cenni al calcolo a due looop. 8. PARISI CAP. 9. ESCLUSI 9.3 e 9.5. CENNI 9.4. Quattro dimensioni e la epsilon expansion. Come dare un senso a una dimensione non intera. Coefficienti come polinomi in D. L'espansione in diagrammi di Feynman. Le funzioni di correlazione. Le equazioni del moto per Landau Ginzburg. La rinormalizzabilita'. Le divergenze ultraviolette. Definizione del valore rinormalizzato di un diagramma. Il teorema BHP. Definizione perturbativa della teoria. Le teorie rinormalizzabili, super rinormalizzabili e non rinormalizzabili. Icasi D=4 e D \sim x**(-(D-2)) per x che tende a infinito. Probelmi in D=2. Discussione del teorema di Mermin e Wagner (senza dimostrazione). Isng in una dimensione (n=1, D=1). I bosoni di Goldstone. Simmetrie continue, suscettivita' longitudinale e trasversale. Calcolo esplicito della suscettivita' per un campo magnetico nella direzione di una componente del vettore campo. (n-1) suscettibilita' trasverse divergono quando h tende a zero, in tutta la fase fredda. Teoria delle perturbazioni (senza i calcoli dettagliati, ma con la comprensione della struttura del propagatore). 11. ITZYKSON-DROUFFE, VOL. 1, CAP. 4.1. (FINO AL PARAGRAFO DELLA EQ. 94, ESCLUSO CIOE' IL CALCOLO CON LA REGOLA DI MAGGIORANZA IN H DIVERSO DA ZERO E IL CALCOLO RELATIVO ALLE AMPIEZZE CRITICHE). Relazioni di ricorrenza nello spazio reale. Come riscalare. a -- lambda a. L'esponente termico y_theta. nu = 1/y_theta. Regolarita' delle traiettorie del gruppo di rinormalizzazione. L'esponente magnetico y_h. Le relazioni fra esponenti critici in funzione di esponente termico e esponente magnetico. Gli "scaling fields" o campi scalanti. Il flusso degli accoppiamenti. Accoppiamenti rilevanti, irrilevanti e marginali. Il flusso del gruppo di rinormalizzazione. La varieta' critica. T ed h come parametri rilevanti. L'universalita'. Scaling delle funzioni di correlazione a n spin. Dimensioni dei campi nella teoria libera e nella teoria interagente. La dimensione anomala. Il modello di Potts a q stati. La decimazione unidimensionale esatta. La base ortonormale. La matrice di trasferimento. Calcolo esatto in D=1 per q stati. Il processo di decimazione esatta. Le leggi di scala vicino al punto critico. L'approssimazione di Migdal Kadanoff e lo spostamento dei legami. D1. Una utile diseguaglianza di convessita'. Lo spostamento dei legami paralleli e le relazioni di Migdal Kadanoff. Caso specifico q=2 (e cioe' Ising), D=2, lambda =2, con i calcoli dettagliati. Posizione del punto fisso e stima di nu. La dualita' e un calcolo di decimazione esatta: D=2, q=2, reticoli triangolare e esagonale. beta_c = 1/4 log(3). dualita': (exp(*beta_tilde)-1)*(exp(4*beta)-1)=4. La regola della maggioranza: 2D, reticolo triangolare, lambda = sqrt(3). Calcolo dettagliato della procedura di rinormalizzazione e dell'esponente nu.

Elements of Statistical Mechanics. A good mathematical background (at the level of the mathematical courses of the undergraduate Physics curriculum).

G. Parisi, Statistical Field Theory (Perseus Book, 1998)

Lectures and exercises.

Coming to classes looks like a good idea.

The examination consists of an interview on the most relevant topics illustrated in the course. To pass the exam, the student must be able to present arguments and repeat calculations discussed and explained during the course. The student will be asked to apply the methods learned during the course to exercises or to examples and to situations similar to those that were discussed in the course. The evaluation takes into account: - Correctness and completeness of the concepts discussed by the student; - clarity and rigor of presentation; - analytical development of the theory; - problem-solving skills (method and results).

G. Parisi, Statistical Field Theory (Perseus Book, 1998) Drouffe -Itzykson, Statistical Field Theory Leo Kadanoff - Statistical Physics Daniel Amit and Victor Martin Mayor - Field Theory

Lectures and exercises.