Scienze dell'architettura

Spazi vettoriali. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Base di uno spazio vettoriale. Prodotto scalare. Cenni su spazi metrici e spazi normati. Disuguaglianza di Cauchy Schwarz. Disuguaglianza di Minkowski (dim). Gli spazi delle funzioni Ck. Lo spazio vettoriale euclideo Rn. Base canonica di Rn. Topologia di Rn. Insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti. Insiemi connessi. Funzioni di più variabili reali Funzioni scalari e vettoriali di più variabili reali. Limiti: definizioni e proprietà in R e Rn. Funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema sui valori intermedi. Calcolo differenziale. Derivabilità e calcolo delle derivate parziali. Gradiente di una funzione. Differenziabilità. Continuità delle funzioni differenziabili (dim). Differenziale di funzioni definite in R e in Rn. Teorema del differenziale. Approssimazione lineare e applicazione alla fisica. Calcolo dell’equazione del piano tangente ad una funzione. Derivate direzionali. Teorema sulla derivabilità in ogni direzione delle funzioni differenziabili (dim). Derivate successive. Matrice Hessiana. Teorema di Schwarz. Formula di Taylor (al secondo ordine con il resto secondo Peano). Funzioni vettoriali: curve, superfici, campi vettoriali. Matrice e determinante Jacobiano. Derivazione di una funzione lungo una curva regolare. Ottimizzazione Punti di massimo e di minimo relativo. Punti di sella. Punti critici. Condizione necessarie del primo ordine per l’esistenza di punti di estremo relativo. Cenni sulle forme quadratiche e forma quadratica associata alla matrice Hessiana. Condizioni per l’esistenza di punti di estremo relativo. Punti di massimo e di minimo assoluto. Cenni sul calcolo dei punti di estremi assoluto. Calcolo integrale. Domini normali. Funzioni integrabili in R2, definizione di integrale doppio. Integrabilità delle funzioni continue. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Calcolo di integrali doppi su domini normali di R2 Curve di Rn Definizioni e interpretazione fisica. Equazioni parametriche. Derivata di una funzione differenziabile lungo una curva. Curve equivalenti. Curve semplici, chiuse. Curve regolari e regolari a tratti. Curve orientate. Curve rettificabili. Lunghezza di una curva. Determinazione della retta tangente ad una curva regolare. Integrali curvilinei. Forme differenziali. Integrale curvilineo di forme differenziali in R2 e R3. Interpretazione fisica. Campi conservativi, forme differenziali esatte e loro caratterizzazione. Calcolo del potenziale. Equazioni differenziali ordinarie. Classificazione delle equazioni differenziali ordinarie. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: Teorema sull’integrale generale (dim), Problema di Cauchy, Teorema di esistenza e unicità per equazioni lineari. Equazioni differenziali non lineari del primo ordine: Teorema di esistenza e unicità locale. Risoluzione di equazioni differenziali a variabili separabili.

Tutti gli argomenti previsti in un corso standard di Istituzioni di Matematica 1.

- N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone – Analisi Matematica due – Ed. Zanichelli - P. Marcellini, C. Sbordone – Esercitazioni di Matematica vol II. Ed. Zanichelli - E. Giusti – Analisi Matematica 2 – Ed. Boringhieri

La frequenza non è obbligatoria ma fortemente consigliata.

L'esame prevede una prova scritta obbligatoria che consiste nella risoluzione di problemi tra quelli affrontati in aula durante il corso. Gli studenti che abbiano superato la prova scritta sono ammessi all'esame orale che prevede la discussione dell'elaborato della prova scritta e l'esposizione di alcuni argomenti di teoria (definizioni, enunciati di teoremi fondamentali, eventuale dimostrazioni).

La didattica sarà costituita da lezioni frontali in aula con eventuali eccezioni stabilite dall'Ateneo per lezioni erogate a distanza.