Ingegneria Chimica

• Introduzione. Richiami sugli insiemi: definizioni, notazioni, operazioni. Richiami sugli insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali e reali. Relazione d’ordine. Proprietà di densità dei razionali. Insiemi limitati: estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo. Cenni sulla proprietà di completezza dei reali. Richiami sul concetto di funzione: dominio, codominio, immagine, controimmagine, grafico, iniettività, suriettività, biiettività. Funzioni di variabile reale: funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche. Operazioni sui grafici. Funzioni invertibili e funzione inversa. Funzioni composte. Funzioni elementari (segno, parte intera, impulso, valore assoluto, potenze reali, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche, Funzioni trigonometriche inverse, funzioni iperboliche). Simbolo di sommatoria: somma della progressione geometrica. Fattoriale e coefficiente binomiale. • Numeri complessi. Unità immaginaria. Forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi. Le 4 operazioni elementari. Coniugato e modulo di un numero complesso. Potenze, radici, polinomi, esponenziali; equazioni in campo complesso. Cenni al teorema fondamentale dell’algebra. • Successioni e serie numeriche. Limite di successioni e proprietà di unicità del limite. Successioni limitate. Infinitesimi ed infiniti. Successioni irregolari. Teoremi di confronto (confronto, permanenza del segno, carabinieri e conseguenze). Il simbolo di “o” piccolo. Algebra dei limiti. Casi di indecisione. Successioni monotone: teorema di regolarità. Alcuni limiti notevoli. Formula di Stirling. Cenni di sottosuccessioni. Serie numeriche: definizioni e proprietà. Serie armonica, geometrica e serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini non negativi e teorema di regolarità. Criteri di convergenza per serie a termini non negativi: criterio del confronto e del confronto asintotico, del rapporto, della radice. Serie armonica generalizzata. Serie a termini di segno qualunque: assoluta convergenza, criterio del rapporto e della radice, serie a segni alterni e criterio di Leibniz. • Limiti e continuità delle funzioni di una variabile. La nozione di limite e sue proprietà. Simbolo di “o” piccolo. Definizione di continuità. Continuità e operazioni elementari. Punti di discontinuità. Teorema degli zeri, Teorema dei valori intermedi, Teorema di Weierstrass. Continuità di funzioni composte e di funzioni inverse. Asintoti. • Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Il concetto di derivata e sue proprietà: significato geometrico, derivabilità implica continuità. Derivate elementari. Algebra delle derivate. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Punti di non derivabilità. Caratterizzazione delle funzioni costanti su intervalli. Estremi locali e Teorema di Fermat. Teorema di Lagrange e Criterio di monotonia. Derivate di ordine superiore: concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione di variabile reale. Teorema di De L’Hopital. Formula di Taylor (cenni alle serie di Taylor). • Teoria dell’integrazione. Definizione dell’integrale di Riemann e sue proprietà. Significato geometrico. Classi di funzioni integrabili. Teorema della media. La funzione integrale e la sua derivata. Integrale indefinito: funzioni primitive e loro caratterizzazione. Il Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di integrali per funzioni elementari. Alcuni metodi di integrazione (per parti, per sostituzione, funzioni razionali, funzioni trigonometriche, alcune funzioni irrazionali). Integrali di funzioni discontinue. Integrali impropri: criteri di convergenza al finito e all’infinito. • Equazioni differenziali. Equazioni del primo ordine in forma normale: teoremi di esistenza locale (di Peano) e di esistenza e unicità (di Cauchy) per il problema di Cauchy. Equazioni lineari del primo ordine: caso omogeneo, caso non omogeneo e metodo di variazione delle costanti Equazioni del primo ordine di Bernoulli. Equazioni del primo ordine a variabili separabili. Equazioni del secondo ordine lineari a coefficienti costanti: risoluzione del caso omogeneo, risoluzione del caso non omogeneo col metodo di similitudine e col metodo di variazione delle costanti, principio di sovrapposizione.

La teoria degli insiemi. Gli insiemi numerici: N dei naturali, Z degli interi, Q dei razionali e introduzione a R dei reali. Monomi. Polinomi: operazioni con i polinomi, divisione tra polinomi, teorema di Ruffini e teorema del resto. Prodotti notevoli e scomposizione di polinomi. Frazioni algebriche. Il valore assoluto. I radicali. Esponenziali e logaritmi. Trigonometria. Equazioni e disequazioni: lineari, fratte, letterali, di secondo grado e di grado superiore al secondo, irrazionali, con valori assoluti, con esponenziali e logaritmi, con funzioni trigonometriche, sistemi. Concetto di funzione. Funzioni di una variabile e loro rappresentazione grafica. Proprietà delle funzioni elementari.

Per la teoria: M. Bertsch, A. Dall’Aglio, L. Giacomelli: Epsilon 1, Primo corso di Analisi Matematica, McGraw Hill Per gli esercizi: P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore

Lezioni alla lavagna ed esercitazioni

consigliata

La prova scritta è obbligatoria, consiste in domande aperte, domande a scelta multipla, esercizi ad ha una durata di3 ore. E' superata con votazione maggiore o uguale a 18/30. A discrezione del docente, gli studenti che hanno superato la prova scritta possono essere chiamati a sostenere anche un breve colloquio orale di integrazione dello scritto. Inoltre gli studenti con voto allo scritto maggiore o uguale a 26/30 possono chiedere di sostenere anche la prova orale.

G. Crasta, A. Malusa: Matematica 1. Teoria ed Esercizi, Pitagora Ed. G. Crasta, A. Malusa: Matematica 2. Teoria ed Esercizi, Pitagora Ed M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw Hill M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Esculapio Editore

Lezioni alla lavagna ed esercitazioni