GEOMETRIA

Obiettivi formativi

OBIETTIVI GENERALI Lo scopo del corso e’ duplice: da una parte, lo studente apprendera' le tecniche di base dell’algebra lineare, quali ad esempio la risoluzione dei sistemi lineari e la diagonalizzazione di matrici; dall’altra, egli applichera’ tali tecniche allo studio di problemi di varia natura, in particolare, alla geometria analitica del piano e dello spazio, sviluppando in modo rigoroso l’intuizione geometrica tridimensionale. Tali conoscenze di base sono importanti per affrontare i successivi corsi di ingegneria meccanica. L’approccio e’ concreto, basandosi su molti esempi numerici mirati a una graduale assimilazione dei concetti, ma una parte non secondaria del corso e’ volta a contenuti piu’ astratti e teorici, che possano formare lo studente al ragionamento rigoroso. Le lezioni sono tutte frontali, e lo studente e’ invitato a partecipare attivamente con domande ed esercizi pratici da discutere poi in classe, collegialmente, durante l’ultima ora di lezione e in seguito, assistiti dal Tutore nei tempi dedicati. OBIETTIVI SPECIFICI Conoscenza e capacita’ di comprensione. Apprendimento delle tecniche di base dell’algebra lineare, uso delle matrici e della tecnica di diagonalizzazione. Applicazione alla modellizzazione di problemi geometrici e allo sviluppo dell’intuizione geometrica. Introduzione a strutture algebriche piu’ astratte e alle relative metodologie (principalmente, gli spazi vettoriali). 2) Capacita’ di applicare conoscenza e comprensione. Uso delle conoscenze acquisite per risolvere problemi geometrici, ma non solo; l’enfasi e’ sulla capacita’ di affrontare un problema geometrico, partendo dall’intuizione geometrica e procedendo, in modo rigoroso, con i mezzi algebrici acquisiti. 3) Autonomia di giudizio. L’atteggiamento comune dello studente del primo anno e’ quello di memorizzare le tecniche, risolvendo un gran numero di esercizi. Nel corso, invece, l’enfasi e’ su un atteggiamento critico piu’ che mnemonico, incoraggiando lo studente a cercare diverse strategie di risoluzione, e ad accorgersi di eventuali errori e incongruita’ analizzando la coerenza dei risultati ottenuti. 4) Abilita’ comunicative. Enfasi sulla chiarezza e sulla completezza della comunicazione, indicando i passaggi logici svolti e le metodologie utilizzate. Particolare attenzione e’ data alla semplicita’ e alla sintesi nella presentazione. 5) Capacita’ di apprendimento. Sviluppare le competenze logiche necessarie per affrontare problemi che saranno, in futuro, molto diversi dagli specifici esercizi di geometria proposti nel corso. Ancora una volta, lo scopo e’ quello di sviluppare il piu’ possibile una capacita’ critica e un atteggiamento creativo.

Canale 1
ALESSANDRO SAVO Scheda docente

Programmi - Frequenza - Esami

Programma
Si veda la voce corrispondente nella scheda relativa al corso di Geometria I canale
Prerequisiti
Non ci sono prerequisiti.
Testi di riferimento
Si veda la voce corrispondente nella scheda relativa al corso di Geometria I canale.
Modalità insegnamento
Tradizionale o a distanza, a seconda delle disposizioni di Ateneo.
Frequenza
Frequenza facoltativa.
Modalità di esame
L’esame consiste di una prova scritta, della durata complessiva di due ore e trenta minuti, eventualmente divisa in due parti (Algebra Lineare e Geometria Analitica), seguita da una prova orale, riservata agli studenti che hanno ottenuto un punteggio di almeno 15/30 nella prova scritta.
Modalità di erogazione
Tradizionale o a distanza, a seconda delle disposizioni di Ateneo.
LUIGI PROVENZANO Scheda docente
Canale 2
FABIO SCARABOTTI Scheda docente

Programmi - Frequenza - Esami

Programma
Lo scopo del corso e' quello di introdurre lo studente al ragionamento rigoroso e alla risoluzione di problemi geometrici. Ci si aspetta che l'apprendimento sia costante, in concomitanza con le lezioni; essenziale sara' lo svolgimento degli esercizi che settimanalmente verranno assegnati. L'inizio può eventualmente risultare difficile, soprattutto a causa di lacune degli anni di studio precedenti, ma dopo il primo impatto ci si aspetta che il metodo produca un miglioramento e un'abitudine ai temi. Il programma consiste di una parte di algebra lineare (circa 50 ore) e di una parte di geometria analitica (circa 40 ore) che utilizza in modo essenziale gli strumenti introdotti nella prima parte. Argomenti principali. Risoluzione di sistemi lineari, algoritmo di Gauss, matrici, determinante e rango, spazi vettoriali, basi e dimensione, sottospazi, applicazioni lineari tra spazi vettoriali, diagonalizzazione di matrici ed endomorfismi. Prodotto scalare canonico, ortonormalizzazione di basi e teorema spettrale. Rette e piani dello spazio euclideo, e le varie condizioni di parallelismo e perpendicolarita'. Circonferenze e sfere, trasformazioni del piano, coniche e loro riduzione a forma canonica. 1. SISTEMI LINEARI E MATRICI (20 ore). Operazioni elementari sui sistemi lineari. Il metodo di eliminazione di Gauss. Sistemi lineari omogenei. Matrici. Matrice dei coefficienti e matrice completa di un sistema. Operazioni elementari sulle righe di una matrice, matrici a scalini. Operazioni sulle matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto righe per colonne di due matrici. Forma matriciale di un sistema. Determinante di una matrice quadrata. Teorema di Binet. Matrici invertibili. Calcolo della matrice inversa. Teorema di Cramer. Equazioni matriciali. Rango di una matrice. Rango per minori, teorema degli orlati. Il teorema di Rouche'-Capelli. Matrici triangolari. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Sistemi lineari dipendenti da parametri. 2. SPAZI VETTORIALI REALI (12 ore). Assiomi ed esempi. Vettori applicati del piano e dello spazio. Spazi vettoriali di matrici e polinomi. Lo spazio vettoriale R^n. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Generatori di uno spazio vettoriale. Spazi vettoriali finitamente generati. Basi e dimensione. Esistenza di una base. Estensione di una base. Matrice del cambiamento di base. Coordinate di un vettore rispetto a una base. Sottospazi vettoriali. Sottospazi generati da un insieme di vettori. Somma e intersezione di sottospazi. Somma diretta. Formula di Grassmann. Dimensione e rango. 3. APPLICAZIONI LINEARI TRA SPAZI VETTORIALI (8 ore) Nucleo e immagine. Applicazioni lineari iniettive, suriettive. Matrice associata ad un endomorfismo rispetto ad una base. Applicazioni lineari assegnate su una base. Il teorema della dimensione. Endomorfismi di uno spazio vettoriale. Matrici simili. Matrici associate ad uno stesso endomorfismo sono simili. 4. AUTOVETTORI E AUTOVALORI (10 ore). Il polinomio caratteristico di una matrice e di un endomorfismo. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Autospazi. Molteplicita' algebrica e molteplicita' geometrica di un autovalore. Endomorfismi e matrici diagonalizzabili. Basi di autovettori. Criteri di diagonalizzabilita'. Procedimento di diagonalizzazione. 5. IL PRODOTTO SCALARE IN R^N (8 ore) Assiomi. Norma di un vettore. Basi ortogonali. Basi ortonormali e algoritmo di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali e loro proprieta'. Il complemento ortogonale di un sottospazio. Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio. Endomorfismi simmetrici. Ortogonalita' degli autospazi di un endomorfismo simmetrico. Il teorema spettrale. Matrici ortogonali. Diagonalizzazione di endomorfismi simmetrici. Diagonalizzazione di matrici simmetriche. 6. GEOMETRIA ANALITICA DEL PIANO (8 ore) Il prodotto scalare di vettori geometrici. Distanza tra due punti. Area. Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di una retta. Intersezione di due rette. Condizioni di parallelismo e perpendicolarita'. Fasci di rette. Distanza di un punto da una retta. Circonferenze. Retta tangente ad una circonferenza. 7. GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO (12 ore) Il prodotto scalare di vettori geometrici. Distanza tra due punti. Area. Prodotto vettoriale. Equazioni cartesiane e parametriche di rette. Equazione cartesiana di un piano. Parametri direttori di una retta. Parallelismo e perpendicolarita' di rette. Complanarita' di punti. Fasci di piani. Parallelismo e perpendicolarita' di piani. Vettori perpendicolari ad un piano. Condizioni di parallelismo e perpendicolarita' fra una retta e un piano. Rette complanari e sghembe. Proiezione ortogonale di un punto su una retta e su un piano. Distanza di un punto da una retta e da un piano. Distanza di due rette e retta di distanza minima. Proiezione ortogonale di una retta su un piano. Sfere dello spazio. Piano tangente ad una sfera. Sfera per quattro punti. 8. TRASFORMAZIONI DEL PIANO E CONICHE (12 ore) Trasformazioni lineari del piano: rotazioni, proiezioni ortogonali, riflessioni. Formule del cambiamento di coordinate. Forme quadratiche e loro diagonalizzazione. Ellisse, iperbole, parabola e loro equazioni canoniche. Coniche. Matrici di una conica. Teorema di invarianza, teorema di riduzione. Riduzione a forma canonica e classificazione.
Prerequisiti
Non ci sono prerequisiti
Testi di riferimento
Alessandro Savo, Geometria, Ed. Hoepli
Frequenza
Frequenza facoltativa.
Modalità di esame
L’esame consiste di una prova scritta, della durata complessiva di due ore e trenta minuti, eventualmente divisa in due parti (Algebra Lineare e Geometria Analitica), seguita da una prova orale, riservata agli studenti che hanno ottenuto un punteggio di almeno 15/30 nella prova scritta
Modalità di erogazione
Lezioni con la lavagna digitale
ALESSANDRO SAVO Scheda docente

Programmi - Frequenza - Esami

Programma
Si veda la voce corrispondente nella scheda relativa al corso di Geometria I canale
Prerequisiti
Non ci sono prerequisiti.
Testi di riferimento
Si veda la voce corrispondente nella scheda relativa al corso di Geometria I canale.
Modalità insegnamento
Tradizionale o a distanza, a seconda delle disposizioni di Ateneo.
Frequenza
Frequenza facoltativa.
Modalità di esame
L’esame consiste di una prova scritta, della durata complessiva di due ore e trenta minuti, eventualmente divisa in due parti (Algebra Lineare e Geometria Analitica), seguita da una prova orale, riservata agli studenti che hanno ottenuto un punteggio di almeno 15/30 nella prova scritta.
Modalità di erogazione
Tradizionale o a distanza, a seconda delle disposizioni di Ateneo.
  • Codice insegnamento1015375
  • Anno accademico2024/2025
  • CorsoIngegneria Meccanica
  • CurriculumCurriculum unico
  • Anno1º anno
  • Semestre1º semestre
  • SSDMAT/03
  • CFU9
  • Ambito disciplinareMatematica, informatica e statistica