Ingegneria Meccanica

Si studia la descrizione e la determinazione del moto di corpi rigidi, nell'ambito del formalismo matematico Lagrangiano. Si analizza in un certo dettaglio la geometria delle masse dei corpi rigidi e la sua rilevanza per il moto, e anche la struttura delle equazioni del moto. Si considerano anche sistemi di riferimento mobili. Una descrizione più dettagliata del programma può essere trovata nel Diario del corso, su http://www.dmmm.uniroma1.it/~daniele.andreucci/didattica/meccraz/meccraz_index.html Moti come soluzioni di equazioni differenziali ordinarie (25 ore): Questa parte del programma introduce generalità necessarie nel resto del corso, e alcuni argomenti di rilevanza intrinseca come le forze conservative, il piano delle fasi, le equazioni globali della dinamica. Serve anche a addestrare lo studente in alcune tecniche di base per equazioni differenziali. Esempi di moti. Velocità e accelerazione; traiettorie regolari. Sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Leggi di moto. Energia cinetica e lavoro. Sistemi autonomi. Equilibrio e stabilità. Il caso conservativo. Potenziale. Integrali primi. Sistemi unidimensionali. Rappresentazioni nel piano delle fasi. Moti centrali. Rappresentazione in coordinate polari del moto. Velocità areolare. Sistemi di punti. Forze interne e esterne. Equazioni globali della dinamica. Cinematica e dinamica di sistemi olonomi (25 ore): Questa parte rappresenta una delle componenti essenziali del corso. L'obiettivo è l'introduzione dei vincoli olonomi, dal punto di vista geometrico (teorema del Dini), cinematico (spazio degli spostamenti virtuali) e dinamico (ipotesi dei lavori virtuali). Si premette una parte introduttiva sui vincoli elementari (curve e superfici). Moto di un punto vincolato a una curva o a una superficie con vincolo scabro o liscio. Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione di una curva. Terna intrinseca di un curva. Le formule di Frenet Serret. Vettori coordinati tangenti a una superficie regolare. Moto geodetico. Modelli di Coulomb-Morin per l'attrito dinamico e statico. Vincoli per sistemi di punti. Il teorema del Dini e condizioni di non degenerazione. Coordinate indipendenti e gradi di libertà. Coordinate lagrangiane. Quantità meccaniche in coordinate lagrangiane. Atti di moto. Spostamenti virtuali. Concetto elementare di vincoli lisci e proiezione dell'equazione di moto sullo spazio tangente. L'ipotesi dei lavori virtuali. Determinazione del moto. Equazioni di Lagrange. Sistemi di riferimento mobili. Le forze fittizie. Equazioni di Lagrange in sistemi di riferimento mobili. Componenti lagrangiane della forza di Coriolis. Lagrangiane equivalenti. Il caso conservativo. La funzione lagrangiana. Equilibrio e stabilità. Cinematica relativa (10 ore): Questa parte del corso è una componente usata nelle altre; differisce dalla teoria elementare dei cambiamenti di base perché le basi vettoriali e i sistemi di riferimento dipendono dal tempo. Cambiamento di sistemi di riferimento. Terne ortonormali mobili. Velocità angolare. Derivata relativa a una terna mobile. Cinematica relativa. Teorema di Coriolis sulle accelerazioni. Velocità angolare di una terna mobile rispetto a un'altra. Composizione di velocità angolari. Corpi rigidi (30 ore): In questa parte essenziale del corso introduciamo i corpi rigidi, anche estesi (cioè continui, invece che formati di singoli punti materiali). Questo argomento a rigore rientra nei sistemi soggetti a vincoli olonomi, ma merita una trattazione specifica per la sua importanza. È la prima delle grandi famiglie di modelli matematici della meccanica dei solidi e dei fluidi che lo studente incontrerà nel seguito degli studi. Coordinate locali per i corpi rigidi. Sistema di riferimento solidale. Densità e distribuzione di massa. Il tensore d'inerzia. Momenti d'inerzia e deviatori. Assi principali d'inerzia. Distribuzioni di forze. Ipotesi dei lavori virtuali per sistemi di corpi rigidi. Equazioni di Lagrange per sistemi di corpi rigidi. Equazioni globali (o cardinali) per un corpo rigido. Equazioni di Eulero. Moti di un rigido con un punto fisso. Moti polari per inerzia. Ellissoide d'inerzia e moto alla Poinsot. Rotazioni. Campo della velocità di trascinamento. Asse istantaneo di moto. Rigate del moto. Moti rigidi piani.

Importanti: Lo studente deve avere una conoscenza operativa dei seguenti argomenti. Algebra lineare elementare. Sistemi lineari; caratteristica di una matrice e teorema di Rouché-Capelli. Prodotto scalare e vettoriale. Basi di spazi vettoriali, basi ortonormali, matrici di applicazioni lineari e cambiamenti di base. Forme quadratiche. Autovettori e autovalori; diagonalizzazione di matrici simmetriche. Sottospazi ortogonali. Calcolo differenziale e integrale in una e più variabili reali. Risultati principali sui limiti e sulle funzioni continue (per esempio teoremi del valore intermedio, di limitatezza su compatti, di uniforme continuità). Derivate ordinarie e parziali, teoremi di derivazione di funzioni composte e inverse, nel caso scalare e vettoriale. Integrali dipendenti da parametro. Integrali di intervallo, curvilinei, multidimensionali, di superficie. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrali impropri. Formula di Taylor; collegamento alla classificazione dei punti critici. Ricerca di punti di estremo liberi e vincolati. Curve e superfici. Retta tangente, piano tangente. Parametrizzazioni. Coniche. Piani, superfici, curve individuati da loro caratteristiche (per esempio piano normale a un vettore passante per un punto). Equazioni differenziali ordinarie, teoria e tecniche di base. Integrale generale di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ogni ordine. Separazione delle variabili. Integrali primi per equazioni del secondo ordine. Teoremi della divergenza, di Stokes, di Gauss-Green. Campi vettoriali chiusi ed esatti, criteri di esattezza, aperti semplicemente connessi. Indispensabili: propedeuticità di Analisi Matematica I e Geometria.

Meccanica Razionale. Modelli matematici per l'Ingegneria. D.Andreucci Esercizi con risoluzioni D.Andreucci reperibili in: https://www.sbai.uniroma1.it/~daniele.andreucci/didattica/mmmecc/materiale_mm/materiale_mm_index.html La corrispondenza tra testi e lezioni è indicata nella parte analitica del Programma.

Lezioni frontali destinate all'apprendimento della teoria e alla comprensione delle sue motivazioni. Risoluzione di esercizi destinata all'acquisizione della capacità di applicare la teoria, anche in vista del raggiungimento di risultati specifici. Alcuni problemi vengono assegnati per la risoluzione autonoma. L'apprendimento è supportato dalla attività di ricevimento studenti da parte del docente, e dalla disponibilità di esercizi svolti sul sito del corso.

La frequenza avviene secondo le modalità stabilite dalla Presidenza. La frequenza è incoraggiata, ma non contribuisce alla valutazione finale.

+ Strumenti e metodi di accertamento: L'esame scritto consiste di una prova scritta in due parti. La prima di natura teorica rileva la conoscenza e la comprensione da parte dello studente della struttura logico-deduttiva della parte teorica del corso. La seconda di natura tecnica rileva le capacità dello studente di risolvere problemi di meccanica razionale sul moto di punti materiali, corpi rigidi e sulla modellazione relativa applicando i metodi e le tecniche apprese nel corso. La prova orale è destinata ad approfondire il giudizio sulla comprensione delle strutture fondamentali della meccanica razionale da parte del candidato. L'esame è tenuto dopo il termine dell'insegnamento. + Criteri di valutazione: Conoscenza minima (valutazione tra 18 e 20); conoscenza media (21-23); capacità di applicare la conoscenza in maniera sufficiente (24-25); buona capacità di applicare la conoscenza (27-28); ottima capacità di applicare la conoscenza con senso critico (29-30 con lode).

E.N.M. Cirillo, Appunti delle Lezioni di Meccanica Razionale per l'Ingegneria. E. DiBenedetto, Classical Mechanics: Theory and Mathematical Modeling.

Lezioni frontali destinate all'apprendimento della teoria e alla comprensione delle sue motivazioni. Risoluzione di esercizi destinata all'acquisizione della capacità di applicare la teoria, anche in vista del raggiungimento di risultati specifici. Alcuni problemi vengono assegnati per la risoluzione autonoma. L'apprendimento è supportato dalla attività di ricevimento studenti da parte del docente, e dalla disponibilità di esercizi svolti sul sito del corso.