ALGEBRA III

Obiettivi formativi

Obbiettivi generali: acquisire conoscenze in algebra commutativa e teoria algebrica dei numeri Obbiettivi specifici Conoscenza e capacità di comprensione Al termine del corso gli studenti avranno acquisito le principali nozioni base di Algebra Commutativa, riguardanti anelli commutativi con o senza divisori dello zero, estensioni intere di anelli, prodotti tensoriali e piattezza, anelli e moduli Artiniani e Noetheriani, compresa la teoria della dimensione per k-algebra finitamente generate, decomposizione primaria, domini di Dedekind, ramificazioni, numero di classe Capacità di applicare conoscenza e comprensione Al termine del corso gli studenti saranno in grado di applicare le conoscenze acquisite in modo competente e riflessivo e risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche legate all’Algebra Commutativa e alla teoria algebrica dei numeri. Autonomia di giudizio Lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di Geometria o di Teoria Algebrica dei Numeri ed avrà un’idea di come queste importanti branche della Matematica siano anche storicamente profondamente legate. Abilità comunicative • Lo studente sarà in grado di esporre i principali teoremi con le loro dimostrazioni nell’ambito della prova orale di verifica e sarà in grado di comunicare ai non specialisti le idee chiave dell’Algebra Commutativa e della teoria algebrica dei numeri. . Capacità di apprendimento Lo studente sarà in grado di mettere a frutto gli argomenti di Algebra Commutativa e teoria algebrica dei numeri appresi nei numerosi contesti matematici in cui sono utilizzati, sia nell’ambito degli insegnamenti della Laurea Magistrale, sia in una futura attività di ricerca

Canale 1
PAOLO PAPI Scheda docente

Programmi - Frequenza - Esami

Programma
Richiami di teoria degli anelli; nilradicale; anelli locali ideali quoziente, radicale, localizzazione A-moduli: generalità; Lemma di Nakayama prime avoidance Lemma, condizioni sulle catene: moduli Artiniani e Noetheriani Anelli Noetheriani: teorema della base di Hilbert, proprietà e decomposizione primaria di anelli Noetheriani Anelli Artiniani Anelli di interi Richiami su norma e traccia Anelli di valutazione discreta e domini di Dedekind AKLB setup discriminanti Ideali frazionari Fattorizzazione di ideali in domini di Dedekind Ramificazione, grado residuo, relazione fondamentale Teorema di Dedekind Fattorizzazione nei campi quadratici, embedding canonico, teorema di Minkowski, finitezza del gruppo delle classi Esempi di uso del bound di Minkowski; preparazione al teorema di Dirichlet Teorema di Dirichlet sulla struttura del gruppo degli invertibili nell'anello degli interi di un campo di numeri; reciprocità quadratica AKLB setup in estensioni galoisiane, automorfismo di Frobenius, dimostrazione del Teorema di reciprocità quadratica.
Prerequisiti
Buona conoscenza dell'algebra elementare acquisibile nel corso di Algebra: gruppi, anelli, campi. Buona conoscenza dell'algebra lineare, acquisibile nel corso di Algebra Linere. E' auspicabile conoscere la corrispondenza di Galois, almeno per estensioni finite in caratteristica zero. Non ci sono propedeuticità
Testi di riferimento
J.S. Milne, Algebraic number theory M. Atiyah, I Macdonald, Introduction to commutative algebra R.B. Ash A Course in Algebraic number theory
Frequenza
Consigliata
Modalità di esame
L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa tre ore e può essere sostituita da due prove intermedie, entrambe della durata di due ore, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda immediatamente a fine corso. Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti di algebra commutativa e teoria dei numeri, e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.
Bibliografia
Neukirch, Algebraic number theory
Modalità di erogazione
Lezioni frontali. Un terzo delle lezioni sarà dedicato a complementi ed esercizi
  • Codice insegnamento1022448
  • Anno accademico2025/2026
  • CorsoMatematica
  • CurriculumGenerale
  • Anno3º anno
  • Semestre2º semestre
  • SSDMAT/02
  • CFU6